Fastbasindex--Kedjeindex

1
Fastbasindex--Kedjeindex

• Index av de slag vi hitintills tagit upp kallas
  fastbasindex. Viktbestämningar utgår från priser
  och/eller kvantiteter under basåret.
• Vid långa indexserier blir detta ett problem.
  Vikterna måste återspegla förändringen i
  försäljningsvärden.

Obs! ELIN kommer och informerar om Åreresa kl.
11.00 Obs!
2
Länkar och kedjor

• En indexlänk från år t-1 till år t beräknas som
  ett sammansatt index med år t-1 som basår. Länken
  är indexvärdet år t.
• Länken konstrueras som
• där pi,t är priset på vara i år t och pi,t-1
  är priset på vara i år t 1 och wi,t-1,t är den
  vikt som används för varan mellan år t till år t
  1 samt n är antalet varor som skall ingå i
  indexet
• Med t ex Laspeyres viktsystem beräknas årslänken
  som
• Ett (kedje)index för år t med basår 0 fås
  därefter som
• It L0,1 L1,2 Lt-1,t 100

3
Användande av representantvaror

• För företag och branscher med många varor blir
  det opraktiskt att beräkna vikter med alla varors
  priser och försäljningskvantiteter.
• I stället väljs ur varje varugrupp en
  representantvara, vars pris- och
  kvantitetsutveckling speglar varugruppen väl.
• Priserna på representantvaran används i formeln
  för det sammansatta indexet.
• Vikterna bestäms utifrån totalförsäljningen i
  respektive varugrupp.

4
Låt pi,t Priset på representantvaran från grupp
i år t vi,t Värdet hos totala försäljningen av
grupp i år t En årslänk med Laspeyrevikter
beräknas i detta fall som där summeringen görs
över alla grupper av varor (el.
tjänster) Observera att i denna formel (och även
i tidigare formler) summerar vi också i nämnaren
över alla grupper, men för att inte blanda ihop
med den första summan används summationsindexet
j där.
5
Hasses kläder   Försäljningsvärden 
Priser för representantvaror
 
6
Årslänkar
7
Kedjeindex med basår 1998   År Index 1998 100 1999
1.048?100104.8 2000 1.048?1.029?100107.8
8
Relativprisindex Antag att vi har ett framräknat
prisindex för någon vara, tjänst eller grupp av
varor och tjänster. Indexet i sig mäter
prisutvecklingen på just den varan/tjänsten/gruppe
n, men det är ofta intressant att studera
utvecklingen i förhållande till den allmänna
prisutvecklingen (totalt eller för en större
grupp till vilken varan/tjänsten gruppen
hör). Man kan då använda sig av s k
relativprisindex.
9
Låt It0 vara prisindexet för den aktuella
varan/tjänsten/gruppen och låt Itv vara
prisindexet för den större gruppen. Relativprisind
exet blir då (It0 / Itv ) 100 Itv är ofta
konsumentprisindex (se nedan) eller något
branschindex. Relativprisindex är egentligen
bara en variant av deflatering och man skall
tolka det som lokal prisförändring när den
generella prisförändringen har räknats
bort. Användningsområdena är många, men
speciellt blir detta sätt att räkna viktigt i
efterfrågeanalys
10
Exempel Nedan visas det nyligen framräknade
kedjeprisindexet för Hasse s kläder tillsammans
med konsumentprisindex för motsvarande
period. Kedjeprisindex KPI (basår 1980) KPI
(basår 1998) 1998 100 257.3 100 1999 104.8 2
58.5 100.5 2000 107.8 260.8 101.4 Värden
visar direkt att prisutvecklingen hos Hasses är
högre än den allmänna prisutvecklingen. Uttryckt
i ett relativprisindex blir den
alltså 1998 100 1999 (104.8/100.5)100
104.3 2000 (107.8/101.4) 100 106.3
dvs 6.3 högre än den allmänna prisutvecklingen
mellan 98 och 00
11
Konsumentprisindex

• Konsumentprisindex Sverige
• Indelning av marknaden i grupper av varor och
  tjänster görs med jämna mellanrum
• Val av representantvaror/tjänster från varje
  grupp (regelbunden revision av val)
• Basår byts med långa intervall F n 1980, innan
  dess 1949
• Beräkning för hela marknaden men också för
  diverse undergrupper (Nationalräkenskaperna)
• Indexets utformning
• Uppdelning i långtidsindex (årsvisa) och
  korttidsindex (månadsvisa)
• Båda är kedjeprisindex
• Årslänkar beräknas f n med Edgeworths viktsystem
  (ett medelvärde av Laspeyres och Paasches
  vikstsystem)
• Månadslänkar beräknas f n med Laspeyres
  viktsystem
• Sammanjämkning i januari och december

12

• Konsumentprisindex används för att
• Mäta inflation
• Omräkna värden i löpande priser till värden i
  priser för ett visst år. Detta används bl. a. för
  att bedöma försäljningsutveckling och
  efterfrågan.
• Konsumentprisindex kan bestämmas implicit genom

13

• Efterfrågeanalys, Elasticitetsmodeller
• (Framställningen här görs med annorlunda symboler
  än i AJÅ)
• Nationalekonomisk framställning
• Efterfrågan, Q försäljningsvolym av aktuell
  vara, tjänst eller grupp av varor/tjänster beror
  av
• Priset, P, på varan, tjänsten, eller priserna i
  gruppen av varor/tjänster
• Inkomstnivån, I , i den population av
  konsumenter som efterfrågar varan/tjänsten/gruppen
  .
• Priset, P2 , på en annan vara relaterad till
  varan/tjänsten/gruppen. Ett substitut eller ett
  komplement
• Tiden, t, som sammanfattande indikator på
  smakförändringar.

14
Prisvariablerna är sällan enskilda styckepriser
för produkten ifråga utan oftare ett
prisindex. Speciellt använder man ett
relativprisindex där effekter av inflation har
filtrerats bort (prisindex/KPI) Detta gäller
förstås samtliga prisvariabler i listan
ovan Inkomstvariabeln utgörs som regel av
realinkomsten per capita i den population av
konsumenter som efterfrågar varan/tjänsten/gruppen
Realinkomst erhålls genom att deflatera nominell
inkomst med KPI.
15

• Modeller
• Man kan tänka sig en linjär modell
• där ? som vanligt antas vara en slumpkomponent
  med väntevärde 0 och konstant varians, oftast N
  (0,? ).
• men vilka problem kan finnas med en sådan?
• Vad händer då
• priset, P, ökar från värdet 1 till värdet 2?
• priset, P, ökar från värdet 11 till värdet 12?
• priset, P, ökar från värdet 101 till värdet 102?

16

• 2) Man skulle också kunna tänka sig följande
  modell
• där C, EP , EI , EP2 och ? är konstanter och ?
  är en slumpkomponent som har egenskapen att log
  (? ) har väntevärde 0 och konstant varians,
  oftast N (0,? ).
• Vad händer i denna modell om
• priset, P, ökar från värdet 1 till värdet 2?
• priset, P, ökar från värdet 11 till värdet 12?
• priset, P, ökar från värdet 101 till värdet 102?

17

• Exempel
• Antag följande två modeller där efterfrågan (Q)
  förklaras av pris (P)
• Q10 0.2P
• 2. Q10P1.1
• Om priset ökar från 1 till 2 minskar efterfrågan
  med
• 0.2 enheter enligt modell 1 ty Q2 Q1 (10
  0.2 2)
• (10 0.2 2) 0.2
• 53 enligt modell 2 ty Q2/Q1(1021.1)/(10
  11.1) ? 0.47
• Om priset ökar från 10 till 11 minskar
  efterfrågan med
• 0.2 enheter enligt modell 1 ty ty Q2 Q1 (10
  0.2 11)
• (10 0.2 10) 0.2
• 10 enligt modell 2 ty Q2/Q1(10111.1)/(10
  101.1) ? 0.90

18
Modellen kallas elasticitetsmodell och
parametrarna EP , EI och EP2 är förstås i tur och
ordning priselasticitet, inkomstelasticitet och
korselasticitet. Parametrarna antas vara
konstanta i denna modell och efterfrågesambandet
säges då vara isoelastiskt. Inom Mikroekonomin
väljer man ofta att arbeta med mer generella
modeller med varierande elasticiteter. Ovanstående
modell blir dock lämplig som förklaringsmodell
till efterfrågan runt jämviktspunkten.
Parametern ? relaterar till smakförändringar
över tiden.
19
Den fullständiga modellen enligt används främst
vid Mikroekonomiska jämviktsanalyser. Vi
reducerar därför här till modellerna Anpassni
ng med regressionsanalys kan göras av de
logaritmerade sambanden. För de två första
används enkel linjär regressionsanalys. För den
tredje används multipel regressionsanalys.
20
Betrakta den första modellen Logaritmera (Vilket
logaritm som används spelar ingen roll. Här
använder vi 10-logaritmen lg) lg ? antas precis
om i den exponentiella modellen vara N (0,? ). Om
vi tillfälligt ignorerar denna term och deriverar
bägge sidor av modellen ?
Derivatorna om ln används istället för lg fås
genom att ta bort ln 10 ur uttrycken
dQ uttrycker en mycket liten förändring i Q, dvs
ett litet ?Q dP uttrycker motsvarande ett mycket
litet ?P
21

• dQ/Q uttrycker alltså en mycket liten relativ
  förändring i Q
• dP/P uttrycker motsv. en mycket liten relativ
  förändring i P
• Modellen ger att för små prisförändringar blir
  sambandet ungefär
• ( förändring i Q) ? EP( förändring i P)
• Den logaritmerade modellen
• kan skrivas
• och anpassas till

22
där Anpassad modell i originalskala blir
då
23
Spelar det någon roll hur vi väljer
prisvariabeln? Vi kan tänka oss att använda Pris
dividerat med KPI (eller motsvarande
inflationsmätande index) eller ett prisindex
dividerat med KPI. Värdet på b1 (dvs. (eP )
kommer att bli detsamma oavsett vilka av dessa
två prisvariabler som används. Det spelar heller
ingen roll vilka basår vi har i Prisindexet resp.
i KPI (de kan alltså vara olika) Det enda som
förändras är (c ), dvs. den nivåjusterande
konstanten i modellen
24
Exempel Konsumtion av margarin i Storbritannien.
25
Konsumtionen minskar med realpris, men det är
naturligtvis ingen skarp ickelinjär
efterfrågekurva.
26
Logaritmera nu konsumtions- och prisvärdena och
plotta log Q mot log P
Obs! Det är inte självklart att man ser att detta
samband blir mer linjärt. Man får oftast lita på
att modellen är förnuftig.
27
I modellen skall vi skatta Ep och log C (dvs ?0
) Vi beräknar och får
28
Sett till punktskattningen av EP 0.6503 skulle
inte margarin tolkas som en priselastisk
vara. Mikroekonomi EP Typ av vara gt
1 oelastisk, ej priskänslig
1 enhetselastisk, normalt priskänslig lt
1 priselastisk, priskänslig Dock förstår vi
att värdet 0.6503 borde analyseras djupare än
bara som det punktskattade värdet.
29
Allt som hittills gjorts i kursen om t-test,
F-test, konfidens- och prognosintervall kan också
tillämpas här. Skillnaden ligger i att vi
använder logaritmerade data i beräkningarna och
att konfidens- och prognosintervall i första hand
görs i denna skala och får sedan
tillbakatransformeras. I formelsamlingen ges
flera av formlerna på logaritmerad form, men inte
samtliga. Viktigt att lära sig sambanden ? Övriga
formler kan enkelt översättas!
30
Minitab-analys av datamaterialet MTB gt regress
c4 1 c5 SUBCgt predict 2.04139. Regression
Analysis lg Q versus lg p The regression
equation is lg Q 1.87 - 0.649 lg P Predictor
Coef SE Coef T
P Constant 1.8708 0.2304 8.12
0.000 lg P -0.6494 0.1132 -5.73
0.000 S 0.03943 R-Sq 67.3
R-Sq(adj) 65.2 Analysis of Variance Source
DF SS MS F
P Regression 1 0.051109 0.051109
32.88 0.000 Residual Error 16
0.024870 0.001554 Total 17
0.075979 Predicted Values for New
Observations New Obs Fit SE Fit
95.0 CI 95.0 PI 1 0.54518
0.00934 ( 0.52538, 0.56499) ( 0.45929,
0.63108) Values of Predictors for New
Observations New Obs lg P 1 2.04
lg 110
31
Tydligt att EP är skild från 0, men är detta
intressant? Vi vill snarare testa H0 EP 1
mot t.ex. H0 EPgt 1 Testfunktionen blir
då som m h a datakörningen beräknas till
Test på 5 nivå ?Jämför t med t0.05161.746
(Enkelsidigt test) 3.10gt1.746 ? H0 förkastas.
Margarin är inte priskänsligt i UK.
32
I analysen beräknas ett 95 prognosintervall för
konsumtionen då realpriset är 110. I logaritmisk
skala blir intervallet (0.45929, 0.63108) För
att få intervallet i originalskala transformerar
vi enligt (100.45929, 100.63108) ? (2.88 ,
4.28) Obs! Ni förväntas alltså själva kunna
räkna ut SSE, sb1 etc. för att kunna göra test
och intervall i analyser där efterfrågan skall
förklaras av en variabel (pris eller
inkomst). Övningarna RT1, RT2, RT3 illustrerar
detta.
33

• Mer om icke-linjära modeller
• Polynomregression, t ex
• som vi har avhandlat som vanlig multipel
  regression.
• Exponentiell modell
• där ?0 och ?1 är konstanter (parametrar) som
  tidigare och ? är en slumpkomponent som antas ha
  väntevärde 1 och som är sådan att
• lg(?) har väntevärde 0 och konstant varians,
  oftast N (0,?).

34

• Naturligtvis kan en exponentiell modell ha flera
  termer (faktorer) med x-variabler
• Hur kan man analysera?
• logaritmera modellen (vilken logaritm som
  används spelar ingen roll, här används
  10-logaritmen lg)
• Sätt y ' lg y, ? ?0' lg ?0 , ?1 lg ?1 ,
  ? lg ? ?

35

• Anpassa denna modell med vanlig regression ?
• y ' b0'b1'x
• Transformera tillbaka till originalskala. Vi
  antar att vi har använt 10-logaritmen här, dvs
  glg h ? h10g
• Konfidensintervall och hypotesprövning för ?0
  och ?1 kan göras i den logaritmerade modellen,
  likaså kan konfidensintervall och
  prognosintervall för E(y0) resp. y0 göras och
  dessa kan transformeras tillbaka till
  originalskala.
• Förklaringsgrader skall hanteras med
  försiktighet (se kurslitteraturen) och kan inte
  tas direkt från en datoranalys.

36

• Varför en exponentiell modell?
• klarar av mer invecklade icke-linjära samband
• kan hantera explosiva samband, t ex mycket
  expansiva marknader.
• Exempel
• Antag att ett företag har under en tioårsperiod
  placerat en viss kapitalmängd på litet olika
  sätt. Genom att sälja och köpa diverse former av
  värdepapper har man hoppats kunna förränta
  kapitalet bättre än genom en fast placering under
  dessa år.
• Hur skulle man kunna uppskatta en
  räntesatsekvivalent?

37
Antag att följande värden hos kapitalet har
gällt År Kapital 1 27.7 2 33.9 3 34.0
4 42.9 5 48.7 6 60.3 7 67.8 8 76.0
9 81.0 10 95.1
38
En modell för data skulle i och för sig kunna
vara linjär men vi vet ju att en teoretisk
räntemodell har formen Kapital år
tGrundkapital ? (1r)t där r är räntesatsen. Vi
använder därför modellen y ?0 ?1 t ? där ?1
1r. Modellen logaritmeras som ovan vilket
innebär att vi måste beräkna log y för alla
y-värden.
39
År (t) Kapital (y) lg y t2 (lg y)2 tlg y
1 27.7 1.442 1 2.079 1.442 2 33.9
1.530 4 2.341 3.060 3 34.0 1.531
9 2.344 4.593 4 42.9 1.632 16 2.663
6.528 5 48.7 1.688 25 2.849 8.440
6 60.3 1.780 36 3.168 10.680
7 67.8 1.831 49 3.353 12.817
8 76.0 1.881 64 3.538 15.048
9 81.0 1.908 81 3.640 17.172 10 95.1 1.978 10
0 3.912 19.780 Summor 55 17.20 385 29.89 99.
57
40
Modellen (med
y' lg y) anpassas nu till y ' b0'b1't där
41

• och en anpassad modell i originalskala
• erhålls genom att beräkna
• och vi kan tolka 1.14810.148 som den skattade
  räntesatsekvivalenten, dvs 14.8
• b024.55 tolkas som ingångskapitalet.