Transformaciones en tres dimensiones

1
Transformaciones en tres dimensiones

• Graficación

2
Transformaciones en tres dimensiones
La representación de las transformaciones en tres
dimensiones es una generalización de la de dos
dimensiones. Los puntos se representan como
cuartetos y las matrices de transformación son de
4x4. Usaremos el sistema de coordenadas
tridimensional de mano derecha, como se muestra
en la figura.
3
Matrices de transformación en 3D
Traslación Escalamiento
4
Rotaciones en 3D
Rotación en x
Rotación en z
Rotación en y
5
Corte en 3D
Existen tres matrices de corte en 3 dimensiones,
la que se muestra es la de corte en (x, y).
6
Composición de transformaciones en tres
dimensiones

• Se desea trasladar y girar los segmentos de la
  figura para hacerlos coincidir con el eje z y el
  plano yz. Los pasos a seguir son
• Trasladar P1 al origen.
• Rotación sobre el eje y para que P1P2 este en el
  plano yz.
• Rotación sobre el eje x para que P1P2 este en el
  eje z.
• Rotación sobre el eje z para que P1P3 este en el
  plano yz.

7
Trasladar P1 al origen
La traslación es T(-x1, -y1, -z1). P1(0, 0,
0) P2(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) P3(x3 - x1,
y3 - y1, z3 - z1)
8
Rotación sobre y
La rotación es por un angulo de 90 q. Con estos
valores se obtiene la siguiente matriz
9
Rotación sobre x
La rotación es por un angulo de f. Con estos
valores se obtiene la siguiente matriz
10
Rotación sobre z
La rotación es por un angulo a. Con estos valores
se obtiene la siguiente matriz
11
Resultado final
Con
12
Otro método
Otro método consiste en construir la matriz R.
Rx es el vector unitario perpendicular al plano
formado por P1, P2 y P3 y rotará alrededor de x,
entonces
Ya que Rz es el vector unitario a lo largo de
P1P2 que rotara en el eje z positivo,
Finalmente
13
La matriz compuesta
14
Vista tridimensional

• Gráficación

15
Cámara sintética
16
Pasos de la vista tridimensional

• Especificación del tipo de proyección
  perspectiva y ortogonal paralela.
• Especificación de los parámetros de
  visualización posición del ojo del observador y
  ubicación del plano de proyección.
• Recorte en tres dimensiones definición del
  volumen de vista canónico y recorte de los
  elementos fuera de este volumen.
• Proyección y presentación transformación de
  ventana a puerto de visión.

17
Modelo conceptual
18
Proyecciones
a) Proyección en perspectiva. b) Proyección
paralela
19
Proyecciones en perspectiva
20
Construcción de una proyección
21
Perspectiva de 2 puntos
22
Proyecciones paralelas
Proyección ortográfica
23
Proyección isométrica
24
Proyección oblicua
25
Proyecciones geométricas planas
26
Especificación de la vista en 3D
El plano de vista se define mediante el punto de
referencia de vista (VRP, view reference point) y
una normal al plano llamada normal al plano de
vista (VPN, view plane normal). Estos se definen
en el sistemas de coordenadas de referencia de
vista (VRC, viewing-reference-coordinates). El
origen del VRC es el VPR. Un eje del VRC es VNP y
se denomina n. El vector de vista arriba (VUP,
view-up vector) determina el eje v del plano de
vista. El eje u se define de tal manera que u, v
y n forman un sistema de mano derecha. El centro
de la ventana CW, lo determina los valores
mínimos y máximos de u y v.
27
continuación
El punto de referencia de proyección (PRP) define
el centro de proyección y la dirección de
proyección (DOP). Se especifica en el sistema VRC.
28
continuación
El volumen de vista limita la porción del mundo
que se recortará y proyectará sobre el plano de
vista.El plano de recorte anterior y el plano de
recorte posterior definen el volumen finito que
se proyectará. Estos se definen por la distancia
al plano anterior F y la distancia al plano
posterior B.
29
Ejemplos de vistas 3D

• Gráficación

30
Proyección de una casa
Proyección en perspectiva de dos puntos de una
casa (figura 1), la casa esta definida en
coordenadas de mundo de acuerdo con la figura 2.
Figura 1
Figura 2
31
Vista por omisión
Parámetros valor VRP(WC) (0,0,0) VPN(WC)
(0,0,1) VUP(WC) (0,1,0) PRP(WC)
(0.5,0.5,1.0) Ventana (0,1,0,1) Tipo paralela
32
Proyecciones en perspectiva
Parámetros valor VRP(WC) (0,0,0) VPN(WC)
(0,0,1) VUP(WC) (0,1,0) PRP(WC)
(8,6,84) Ventana (-50,50,-50,50) Tipo
perspectiva
33
continuación
Parámetros valor VRP(WC) (0,0,54) VPN(WC)
(0,0,1) VUP(WC) (0,1,0) PRP(WC)
(8,6,84) Ventana (-1,17,-1,17) Tipo perspectiva
34
Dos posibles definiciones
35
Perspectiva de un punto
Parámetros valor VRP(WC) (16,0,54) VPN(WC)
(0,0,1) VUP(WC) (0,1,0) PRP(WC)
(20,25,20) Ventana (-20,20,-5,35) Tipo
perspectiva
36
Perspectiva de 2 puntos
Parámetros valor VRP(WC) (16,0,54) VPN(WC)
(1,0,1) VUP(WC) (0,1,0) PRP(WC)
(0,25,20?2) Ventana (-20,20,-5,35) Tipo
perspectiva
37
Proyecciones paralelas
Parámetros valor VRP(WC) (0,0,0) VPN(WC)
(0,0,1) VUP(WC) (0,1,0) PRP(WC)
(8,8,100) Ventana (-1,17,-1,17) Tipo paralela
38
Volúmenes de vista finitos
Parámetros valor VRP(WC) (0,0,54) VPN(WC)
(0,0,1) VUP(WC) (0,1,0) PRP(WC)
(8,6,84) Ventana (-1,17,-1,17) Tipo
perspectiva F(VRC) 1 B(VRC) -23
39
Matemáticas de las proyecciones
Puede verse que se cumplen las siguientes razones
debido a la semejanza de triángulos
40
Matriz de la proyección
La forma matricial de esta transformación es
El punto homogéneo es
El punto real es
41
Volúmenes canónicos
Volumen de vista canónico en proyección paralela
Volumen de vista canónico en proyección en
perspectiva
42
Implantación
43
Caso de proyección paralela

• Los pasos para efectuar la proyección paralela
  son
• Traslade VRP al origen
• Rote VRC tal que el eje n (VPN) coincida con el
  eje z, u sea el eje x, y v el eje y.
• Corte de tal manera que la dirección de
  proyección coincida con el eje z.
• Traslade y escale a un volumen canónico de
  proyección paralela.

44
continuación
El paso 1 se realiza mediante una matriz de
traslación T(-VRP). El paso 2 se realiza mediante
una matriz de rotación R dada por
Donde
45
continuación
El paso 3 es efectuado con una matriz de corte
dada por
Donde
46
Corte para alinear al volumen de vista.
47
continuación
El paso 4 se hace mediante una traslación seguida
de un escalamiento. Las transformaciones son
En suma,las transformaciones para obtener Npar
son
48
Volumen de vista después de los pasos de
transformación 1 a 3.
49
Resultados de las transformaciones
Situación original
50
Paso 1, trasladar VRP al origen
51
Paso 2, alinear sistema (u,v,n) con (x,y,z).
52
Paso 3, hacer DOP paralelo a eje z.
53
Paso 4, escalado y traslación a volumen canónico.
54
Imagen resultante
55
Proyección en perspectiva
1. Traslade VRP al origen 2. Rote VRC tal que el
eje n (VPN) coincida con el eje z, u sea el eje
x, y v el eje y. 3. Traslade para que el centro
de proyección (COP), dado por PRP, este en el
origen. 4. Corte de tal manera que la dirección
de proyección coincida con el eje z. 5. Traslade
y escale a un volumen canónico de proyección en
perspectiva, la pirámide truncada definida por
los 6 planos definida anteriormente. Los pasos 1
y 2 son los mismos que para el caso paralelo. El
paso 3 es solo una traslación T(-PRP). Es fácil
ver el paso 4 es la matriz de corte SHpar.
56
Sección transversal del volumen de vista después
de los pasos 1, 2 y 3 de la transformación.
57
Sección transversal del volumen de vista antes y
después del escalamiento.
58
Situación original
59
Paso 1, trasladar VRP al origen
60
Paso 2, alinear sistema (u,v,n) con (x,y,z).
61
Paso 3, traslación del centro de proyección COP
al origen.
62
Paso 4, hacer DOP paralelo a eje z.
63
Paso 5, escalado y traslación a volumen canónico.
64
Imagen resultante
65
Tarea
Genere las vistas de la casa que se muestran en
los acetatos.
66
Tarea
Escriba una archivo de texto con la
especificación de un objeto en 3D, el formato
es Número de puntos Lista de coordenadas de
puntos Número de aristas Lista de aristas
12 1 2 2 3 3 4 4 1 1 5 2 6 3 7 4 8 5 6 6 7 7 8 8 5
8 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
Datos para un cubo