Le equazioni di Maxwell

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Le equazioni di Maxwell

• Realizzato da Luigi Lombardo
• Rev. 5/11/15

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Maxwell

• Nato a Edimburgo nel 1831, morì a Cambridge nel
  1879.
• Maxwell pubblica le sue equazioni nel 1865.

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Prima di Maxwell

• Teorema di Gauss per il campo elettrico
• Teorema di Gauss per il campo magnetico
• Legge di Faraday-Neumann-Lenz
• Teorema di Ampère

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Cosa trova Maxwell

• Prima delle equazioni di Maxwell, le leggi che
  descrivevano lelettromagnetismo erano quelle
  appena elencate.
• La prima descrive il campo elettrostatico, la
  seconda e la quarta descrivono il campo
  magnetostatico.
• Solo la terza indica come un campo magnetico
  variabile generi un campo elettrico, cioè
  lelettromagnetismo.

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Manca qualcosa

• Maxwell nota la non simmetria di queste equazioni
  (in fisica la simmetria è importante!)
• Perché un campo magnetico variabile dovrebbe
  generare un campo elettrico, e non viceversa?
• Nota quindi che manca qualcosa.

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Lesperimento mentale(gedankenexperiment)

• Maxwell immagina quindi di eseguire il seguente
  esperimento mentale (un esperimento che non si
  svolge in laboratorio, ma solo nella mente).
• Prende un circuito contenente un condensatore che
  viene caricato a corrente costante (vedi schema
  seguente).

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Lo schema dellesperimento
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La natura non fa salti.

• Maxwell nota che la circuitazione del campo
  magnetico lungo S1 prima e dopo il condensatore è
  costante, mentre è nulla lungo S2.
• Ricordando il fondamentale principio della
  fisica, la natura non fa salti (Natura non
  facit saltus), ipotizza lesistenza, allinterno
  del condensatore, di una nuova corrente, di
  valore pari a quella di carica del condensatore.

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Alla ricerca del termine mancante.

• Lunica cosa presente nel condensatore è il campo
  elettrico.
• Pertanto trova la relazione tra questo e la
  corrente di carica i.
• La variazione di carica sul condensatore vale
• Il campo E vale
• dove la densità di carica vale
• dove A è larea dellarmatura del condensatore.

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La variazione del flusso.

• Quindi la variazione del flusso del campo
  elettrico nel condensatore è pari a (ci si poteva
  arrivare direttamente con Gauss)

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Il calcolo della corrente di spostamento.

• E, ricordando che
• segue
• Ed esplicitando la corrente i, segue
• Maxwell la chiama corrente di spostamento, che
  indicheremo col simbolo is. Quindi

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Il teorema di Ampère-Maxwell

• Pertanto Maxwell modifica il teorema di Ampère
  nel seguente modo
• Sostituendo is otteniamo
• Così modificato prenderà il nome di teorema di
  Ampère-Maxwell.

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Le equazioni di Maxwell

• Le quattro equazioni iniziali diventano pertanto
• Così riscritte prenderanno (giustamente) il nome
  di equazioni di Maxwell.

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La simmetria

• Si può notare come ora queste equazioni sono più
  simmetriche di prima.
• Infatti, non solo un campo magnetico variabile
  genera un campo elettrico, ma anche il viceversa,
  un campo elettrico variabile genera un campo
  magnetico.

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Limportanza di Maxwell

• Con laggiunta del suo termine mancante, Maxwell
  modifica profondamente le equazioni dei campi
  elettrici e magnetici, mostrando
  linterdipendenza tra i due.
• Per questo da Maxwell in poi si potrà parlare di
  campi elettromagnetici.
• Questo è il motivo per cui le precedenti
  equazioni, scoperte dai predecessori di Maxwell,
  dove Maxwell aggiunge solo un piccolo termine,
  giustamente prendono il nome di equazioni di
  Maxwell.

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Cosa succede nel vuoto?

• La simmetria di cui si è parlato è ancora più
  evidente riscrivendole nel caso ci si trovi nel
  vuoto.
• In tal caso non ci sono sorgenti, cioè Q 0 ed i
  0, e le costanti sono quelle nel vuoto.

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Le equazioni nel vuoto.

• Pertanto le equazioni si riscrivono nel seguente
  modo

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Lipotesi delle OEM

• Lo stesso Maxwell scopre, solo dal punto di vista
  matematico, che queste equazioni hanno, come una
  delle possibili soluzioni, delle onde
  elettromagnetiche (OEM), cioè variazioni
  sinusoidali dei campi elettrici e magnetici, in
  particolare con fronti donda piani, allora
  ignote.

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Le OEM

• Il modello matematico di queste onde è

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La velocità della luce

• Si dimostra che queste equazioni sono compatibili
  con le equazioni di Maxwell, se la velocità c con
  cui si propagano è uguale a
• Valore questo (stranamente) uguale alla velocità
  della luce nel vuoto, cosa che gli fa ipotizzare
  la natura elettromagnetica della luce.

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La scoperta delle OEM

• Nel 1885 Hertz scoprì sperimentalmente le OEM,
  aprendo la strada allinvenzione della radio,
  confermando così le geniali intuizioni di
  Maxwell, inclusa la natura elettromagnetica della
  luce.

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Conclusioni.

• La maggior parte dei turisti che visitano
  labbazia di Westminster, vanno a trovare la
  tomba di Newton.
• Pochi vanno a visitare il cenotafio di Maxwell,
  che si trova nella stessa abbazia, sebbene la
  genialità di Maxwell non sia inferiore a quella
  di Newton.
• Se visitate labbazia di Westminster, andate a
  trovare il cenotafio di Maxwell!