NORMALSP

1
Byggnadsmekanik gk 5.1
NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR
snitt
INTRODUKTION

• xy är symmetrisk plan för balken och lasten.
• y är symmetrisk axel för tvärsnittet.
• Med dessa förutsättningar har man ett plan
• problem, böjningen äger rum i planen xy.

Den vertikala lasten P ger upphov till en
tvärkraft V och ett böjande moment M i
balken. Tvärkraften V ger upphov till små
skjuvdeformationer som ofta kan försummas, och
till skjuvspänningar som kommer att studeras vid
nästa föreläsningen. Böjande momentet M ger
upphov till töjningar ? och normalspänningar ?
som studeras i denna kapitel.
2
Byggnadsmekanik gk 5.2
REN BÖJNING
Vi förutsätter först att belastningen ger upphov
till ett konstant böjande momentet M i balken.
Detta innebär att tvärkraften V är noll (V
dM/dx).
Exempel
( Ren böjning mellan de två krafter )
3
Byggnadsmekanik gk 5.3
KRÖKNING
Balken brevid utsätts för ett konstant böjande
moment M - Mo Dragning råder i överkanten av
balken. Tryckning råder i underkanten av balken.
? krökningen ? krökningsradien
I detta fall är M lt 0 och ? gt 0
Moment diagram
M - Mo
Det böjande momentet ritas på dragnings sida (om
x-axeln representerar medellinjen)
4
Byggnadsmekanik gk 5.4
TÖJNING
Balken a b c d utsätts för ett konstant böjande
moment M - Mo
Dragning råder i delen a e f c. Tryckning råder i
delen e b d f. Medellinjen ef behåller sin längd
dx under deformationen och blir en cirkelbåge med
radie ?. Medellinjen tas som x-axeln. Snitten
ab och cd är fortfarande plana och vinkelrätta
till medellinjen efter deformationen.
längd för mn efter deformationen
töjning för mn
5
Byggnadsmekanik gk 5.5
NORMALSPÄNNING
Normalkraften N är noll
Materialet är linjärt och elastikt

• O är tvärsnittets tyngdpunkt. Medellinjen
• går genom tvärsnittets tyngdpunkt

Samband mellan M och ?
I Yttröghetsmoment kring z-axeln
6
Byggnadsmekanik gk 5.6
ICKE KONSTANT BÖJANDE MOMENT
Exempel 1
Analysen som har gjorts gäller balkar som utsätts
för ett konstant böjande moment M. Om balken
utsätts för ett icke konstant moment, närvarandet
av tvärkraften V ger upphov till skjuvspänningar
och skjuv-deformationer. Man kan visa att
inflytandet av dessa effekter på normalspänningen
är försumbart och att resultaten i sidorna 6.4
och 6.5 kan användas även om balken utsätts för
ett icke konstant böjande moment.
Maximala dragspänning och tryckspänning i balken
med I eller R tvärsnitt ?
7
Byggnadsmekanik gk 5.7
Det böjande momentet måste först ritas för att
hitta snittet där de maximala spänningarna finns.
Spänningsfördelning i snitt B
Slutstas de maximala spänningarna finns i snitt
B.
För samma area, ger I-tvärsnittet maximala
spänningar som är 34 lägre en ett rektangulärt
tvärsnitt.
8
Byggnadsmekanik gk 5.8
KOMBINATION AV N OCH M
Exempel 2
Om belastningen ger upphov till både en
normalkraft N och ett böjande moment M i balken,
kan normalspänningen ? erhållas genom att
superponera spänningen som kommer från N och
spänningen som kommer från M.
Akta detta samband förutsätter en viss
konvention för M och y - M gt 0 ?
dragning på underkanten. - y neråt.
Maximala dragspänning och tryckspänning i balken ?
9
Byggnadsmekanik gk 5.9
omedelbart till vänster om B ( N 0 )
N och M diagram
Slutsats kritiska snitt i del AB omedelbart
till vänster om B kritiska snitt i del BC
omedelbart till höger om B
10
Byggnadsmekanik gk 5.10
omedelbart till höger om B ( N - P )
Maximal dragspänning i balken snitt omedelbart
till vänster om B, överkanten. Maximal
tryckpänning i balken snitt omedelbart till
höger om B, underkanten.
Slutsatser
11
Byggnadsmekanik gk 5.11
Exempel 3
Utan tryckkraften P
Betong balk
De maximala spänningarna finns i snitt A
Lasten q skapar dragspänningar i överkanten av
balken. Dessa spänningar är maximala vid stödet.
Eftersom betongen inte kan ta emot
dragspänningar, behövs en tryckkraft P.
Varför behövs det en tryckkraft P ?
12
Byggnadsmekanik gk 5.12
Med tryckkraften P
Kraften P kommer från förspända kablar som
placeras vid ett avstånd e 0.1 m från
tvärsnittets tyngdpunkt. Kraften P ger upphov
till en konstant normalkraft N P och ett
konstant böjande moment M P e i balken.
Med kraften P finns ingen dragspänning i balken
och den maximala tryckspänningen minskar.
snitt A