Matematika II.

1
Matematika II.
Geodézia szakmérnöki szak 2010/2011.
tanév/ Muszaki térinformatika ágazat tavaszi
félév

• 1. eloadás

2
Lineáris programozás

• Miért lineáris ?
• Lássunk egy példát!
• A feladat
• Szendvicsek gyártása egy házibulira!
• Alapanyagok
• 120 dkg vaj
• 100 dkg sonka
• 200 dkg sajt
• 20 db fott kemény tojás

3
Lineáris programozás

• A szendvicsek típusai
• A típus (x1 darab)
• 3 dkg vaj
• 3 dkg sonka
• 2 dkg sajt
• 1/4 db tojás
• B típus (x2 darab)
• 2 dkg vaj
• 1 dkg sonka
• 5 dkg sajt
• 1/2 db tojás

4
Lineáris programozás

• Mi a feladat?
• A leheto legtöbb szendvics elkészítése az
  alap-anyagokból (kenyér korlátlanul rendelkezésre
  áll).
• Matematikai modell
• x1 gt 0 x2 gt 0 (negatív mennyiség ?)
• 3x1 2x2 lt 120 (vajas feltétel)
• 3x1 x2 lt 100 (sonkás feltétel)
• 2x1 5x2 lt 200 (sajtos feltétel)
• 1/4x1 1/2x2 lt 20 (tojásos feltétel)
• Célfüggvény z x1 x2 ? max.

5
Lineáris programozás

• Grafikus megoldás

1. lépés a vajas egyenes
A félterek irányítása
2. lépés a többi egyenes
A lehetséges megoldások halmaza
A célfüggvény egyenesei
3. lépés Optim. megoldás
6
Lineáris programozás

• Tapasztalatok a feladat kapcsán
• A lehetséges megoldások halmaza a síknak
  egyenesekkel határolt tartománya
• Az azonos célfüggvény-értékkel rendelkezo pontok
  egy párhuzamos egyenes-sereg valamelyik egyenesén
  fekszenek
• A max. célfüggvény-értéket ezen egyenesek
  párhuzamos eltolásával kaphatjuk meg

7
Lineáris programozás

• A grafikus megoldás elemzése

8
A Szimplex módszer

• A feladat
• Adott egy m egyenlotlenségbol álló n változós
  lineáris egyenlotlenségrendszer és egy n változós
  lineáris függvény
• Az egyenlotlenségrendszer együtthatómátrixa
  legyen A
• Az egyenlotlenségrendszer jobb oldalán álló
  paraméterek m dimenziós vektora legyen b
• A célfüggvény paramétereit fejezze ki a c n
  dimenziós sorvektor

9
A Szimplex módszer

• A lineáris programozás általános feladata ezek
  alapján a következo
• A x lt b x gt 0
• z c x ? max.!
• Észrevételek
• A feltételrendszerben lehetnek lt és gt irányú
  egyenlotlenségek is.
• Az esetleges egyenletek helyettesíthetok két
  megfelelo egyenlotlenséggel.
• A maximum-feladat helyett szerepelhet
  minimum-feladat is, ha a -c vektorral dolgozunk.

10
A Szimplex módszer

• A lineáris programozási feladatat kanonikus
  alakja a következo
• A x b x gt 0
• z c x ? max.!
• Észrevételek
• Az általános alakkal szemben itt csak egyenletek
  szerepelnek
• Az általános alak mindig átalakítható
  kanonikusra, néhány új változó bevonásával.

11
A Szimplex módszer

• Az átalakításhoz tekintsünk egy olyan általános
  feladatot, amelyben a következo feltételek
  szerepelnek
• A1 x b1
• A2 x lt b2
• A3 x gt b3
• x gt 0
• z c x ? max.!.

12
A Szimplex módszer

• Az elozo feltételrendszer új változók
  bevezetésével átalakítható az alábbira
• A1 x b1
• A2 x Eq u b2
• A3 x - Er v b3
• x gt 0 u gt 0 v gt 0
• z c x ? max.!.

13
A Szimplex módszer
A Szimplex módszer induló táblája az alábbi
14
A Szimplex módszer

• Az algoritmus lépései
• A megoldás optimális, ha a c minden együtthatója
  negatív
• Ha van cj gt 0, akkor a legnagyobb ilyen oszlopát
  vizsgáljuk
• Megkeressük azt a ak,jgt 0 számot, amelyre az
  xk/ak,j hányados minimális lesz, ez lesz a
  generáló elem
• Elvégezzük az elemi bázistranszformációt úgy,
  hogy a j. és a k. elemet cseréljük ki egymással
• Az eljárást az elejével folytatjuk.

15
A Szimplex módszer

• Megállási feltétel
• Nincs cj gt 0 elem, ekkor találtunk optimális
  megoldást
• Bár még van cj gt 0, de ebben az oszlopban minden
  ak,j lt 0 Ebben az esetben a célfüggvény nem
  korlátos, tehát nincs optimális megoldás

16
Példa a Szimplex módszer alkalmazására

• Egy üzemben öt különbözo terméket lehet három
  korlátozott mennyiségben rendelkezésre álló
  eroforrás segítségével eloállítani. Az
  eroforrások mennyiségét, a fajlagos
  ráfordításokat és az egyes termékek fajlagos
  hozamát a következo táblázat foglalja össze.
  Készítsük el az optimális termelési tervet, amely
  a maximális hozamot eredményezi!

17
Példa a Szimplex módszer alkalmazására

• A mintapélda alapadatai

18
Példa a Szimplex módszer alkalmazására

• Az induló Szimplex tábla, amely egyben egy
  lehetséges megoldást is tartalmaz

Mivel van cj gt 0, a megoldás még nem optimá-lis.
Válasszunk generáló elemet!
19
Példa a Szimplex módszer alkalmazására

• Az elso transzformáció nyomán kapott Szimplex
  tábla

Ismét van cj gt 0, a megoldás még mindig nem
optimális. Válasszunk újabb generáló elemet!
20
Példa a Szimplex módszer alkalmazására

• A második transzformáció nyomán kapott Szimplex
  tábla

Még van cj gt 0, a megoldás még mindig nem
optimális. Válasszunk újra generáló elemet!
21
Példa a Szimplex módszer alkalmazására

• A harmadik transzformáció nyomán kapott Szimplex
  tábla

Itt már az összes cj lt 0, a megoldás tehát
opti-mális.
22
A mintapélda megoldása

• Az optimális termelési stratégia az elobbiek
  alapján tehát az, ha a vállalat a
  következo-képpen jár el
• I. termék 20 egység
• II. termék 30 egység
• V. termék 50 egység
• Ekkor a tiszta hozam
• z 230

23
Módosított mintapélda

• A módosított mintapélda alapadatai (a IV. termék
  fajlagos tiszta hozama 1-rol 2-re no)

Állítsuk elo a megoldást!