FISICA II VIBRACIONES MECANICAS

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FISICA IIVIBRACIONES MECANICAS

• PRESENTADO POR
• OPTACIANO VÁSQUEZ GARCÍA
• Docente de la Facultad de Ciencias de la UNASAM

2010
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OBJETIVOSDespués de finalizada esta unidad el
alumno será capaz de

• Aplicar las leyes de Newton al estudio de las
  vibraciones mecánicas

• Discriminar las diferentes vibraciones que
  aparecen en mecánica

• Resolver ejemplos de vibraciones mecánicas

• Realizar prácticas de laboratorio para estudiar
  las vibraciones mecánicas

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II. INTRODUCCIÓN

• Una vibración es la oscilación repetida de una
  partícula o cuerpo rígido en torno a una posición
  de equilibrio.
• En muchos dispositivos es conveniente que haya
  vibraciones y se generan deliberadamente por
  ejemplo el péndulo de un reloj, el vibrador usado
  para el proceso de compactación.
• En tales problemas el ingeniero tiene por misión
  crear y regular dichas vibraciones

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II. INTRODUCCIÓN

• Sin embargo, en otros elementos las vibraciones
  no son deseables por ejemplo en las máquinas
  rotatorias y en las estructuras, las vibraciones
  son nocivas.
• Si no se equilibran pueden causar molestia y a
  veces dañar las estructuras.
• Las vibraciones que producen en las estructuras a
  causa de los terremotos o de la circulación
  próxima de vehículos puede dañar a aquella e
  incluso destruirla.
• Por ello el ingeniero debe tratar de eliminar las
  vibraciones o al menos reducirlas por ello debe
  realizar un proyecto adecuado

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II. INTRODUCCIÓN

• En las figuras se muestran algunos ejemplos de
  vibraciones.
• La característica común de estos ejemplos es que
  sobre el cuerpo se ejercen fuerzas recuperadoras
  que le hacen volver a su posición de equilibrio

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II. INTRODUCCIÓN

• En muchos casos, la posición o movimiento puede
  quedar especificada completamente con una sola
  coordenada por ejemplo X, y o ?. En este caso se
  dice que los cuerpos tienen un solo grado de
  libertad.
• En otros casos el cuerpo puede vibrar
  independientemente en dos direcciones o cuando se
  conectan dos cuerpos que vibran
  independientemente en una dirección.
• En esta unidad solo estudiaremos sistemas con un
  grado de libertad

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II. INTRODUCCIÓN

• En la figura podemos ver graficas del
  desplazamiento respecto a la posición de
  equilibrio en función del tiempo.
• Las oscilaciones que se repiten uniformen te se
  llaman periódicas y las que o se repiten se
  llaman aleatorias o aperiódicas.

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II. INTRODUCCIÓN

• Una característica importante de una oscilación
  periódica es su período (?) definido como el
  intervalo de tiempo que ha de transcurrir para
  que se repita el movimiento.
• Al movimiento que se completa durante un período
  se llama ciclo .
• El período se expresa en segundos y a la inversa
  se llama frecuencia f , definida como el número
  de ciclos por segundo y se expresa en Hertz (Hz).
• En esta unidad estudiaremos las vibraciones de un
  solo grado de libertad aplicando las leyes de
  Newton

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III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

• Consideremos una partícula de masa sujeta a un
  resorte ideal de rigidez k tal como se muestra en
  la figura.
• Si el movimiento descrito por m es vertical, la
  vibración es de un solo grado de libertad.
• Si se aplica las ecuaciones de equilibrio al DCL,
  se tiene

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III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

• Si ahora se desplaza a m un desplazamiento xm
  menor que dst desde la posición de equilibrio y
  se suelta sin velocidad inicial la partícula se
  moverá hacia arriba y hacia abajo alrededor de la
  posición de equilibrio generando de esta forma
  una vibración libre.
• Para determinar las ecuaciones que gobiernan a la
  vibración consideremos a la partícula en una
  posición arbitraria x medida a partir de la
  posición de equilibrio como se muestra

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III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

• Aplicando la segunda ley de Newton en dirección x
  resulta
• Al remplazar la ecuación (1) en (2), resulta
• Esta ecuación se conoce como movimiento armónico
  simple y se caracteriza por que la aceleración es
  proporcional y de sentido opuesto al
  desplazamiento

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III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

• La ecuación (3) puede escribirse en la forma
• En donde ?n se denomina frecuencia natural
  circular o pulsación natural, y se expresa
• La solución de la ecuación diferencial lineal de
  segundo orden con coeficientes constantes dada
  por la ecuación (4) es de la forma

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III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

• A veces es conveniente expresarla en la forma
• La cantidad xm se le denomina amplitud de la
  vibración, el ángulo f se denomina ángulo de
  fase, t es el tiempo.
• La frecuencia natural y el período están dados
  por

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III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

• La graficas velocidad y aceleración en función
  del tiempo pueden ser expresadas en la forma

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Graficas x-t, v-t y a-t para un MAS
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IV. ENERGIA EN MAS

• Cuando un resorte es comprimido o estirado por un
  agente externo, la energía es transferida del
  agente al resorte.
• La energía ganada por el resorte se denomina
  energía potencial elástica.
• Esto implica que un resorte comprimido o estirado
  puede realizar un trabajo sobre un objeto

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IV. ENERGIA EN MAS

• Para un resorte ideal de constante k que ha sido
  comprimido o estirado en una cantidad x respecto
  a su longitud sin deformar la energía potencial
  se expresa
• La energía total esta dada por

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IV. ENERGIA EN MAS

• Cuando la energía mecánica se conserva la energía
  potencial se transforma en energía cinética y
  viceversa
• Así por ejemplo cuando la energía cinética es
  máxima, la energía potencial es mínima (cero) y
  cuando la energía potencial es máxima, la energía
  cinética es mínima

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IV. ENERGIA EN MAS

• La energía en cualquier posición será

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IV. ENERGIA EN MAS

• En general un objeto unido a un resorte puede
  tener un movimiento de traslación y rotación, por
  tanto habrá una energía potencial elástica y
  gravitacional más una energía cinética, entonces
  la energía mecánica se escribe

E ½ m v2 ½ I ?2 m g h ½ k x2
Si el trabajo neto hecho por las fuerzas no
conservativas es nulo, entonces se conserva la
energía mecánica
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V. PENDULO SIMPLE

• Un péndulo simple se define como una partícula de
  masa m suspendida de un punto fijo por medio de
  una cuerda de longitud l y de masa despreciable
  como se muestra en la figura. Si la partícula se
  desplaza un ángulo ?0 de su posición de
  equilibrio y luego se suelta, el péndulo oscilará
  simétricamente respecto a su posición de
  equilibrio.

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V. PENDULO SIMPLE

• En la figura se muestra el DCL y cinético de la
  masa pendular
• Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene

• Para ángulos pequeños

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V. PENDULO SIMPLE (SOLUCIÓN EXACTA
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VI. PENDULO FÍSICO

• Un péndulo compuesto es un cuerpo de dimensiones
  finitas que oscila alrededor de un eje horizontal
  fijo que pasa por un punto del cuerpo debido a la
  acción de la fuerza gravitacional (peso). El
  cuerpo rígido oscilará en un plano vertical
  cuando se le separe de su posición de equilibrio
  un ángulo ?0 y se suelte.

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VI. PENDULO FÍSICO

• Para deducir las ecuaciones que gobiernan al
  péndulo físico consideremos un cuerpo rígido en
  forma de barra de sección rectangular AB de masa
  m, suspendida de un eje transversal que pasa por
  el punto S, tal como se muestra en la figura

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VI. PENDULO FÍSICO

• Aplicando las ecuaciones de movimiento de
  rotación
• Donde IO es el momento de inercia del cuerpo con
  respecto al punto O y ? es la aceleración
  angular, el signo menos se debe a que el peso
  produce un momento de restitución.
• Esta ecuación diferencial es no lineal, por lo
  que no corresponde a una ecuación diferencial de
  un movimiento armónico.

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VI. PENDULO FÍSICO

• Para desplazamientos angulares ? pequeños, la
  función trigonométrica sen ??? , donde ? se
  expresa en radianes. Por tanto la ecuación
  diferencial se escribe
• Esta ecuación es la ecuación diferencial de un
  movimiento armónico simple, movimiento en el cual
  la aceleración angular es directamente
  proporcional al desplazamiento angular y de
  dirección opuesta. La solución de dicha ecuación
  diferencial es de la forma

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VI. PENDULO FÍSICO

• Donde las constante ?max y f se determinan de las
  condiciones iniciales y ?n es la frecuencia
  natural circular expresada por
• El período del MAS será
• A veces es conveniente expresar IS en términos
  del momento de inercia del cuerpo con respecto a
  un eje que pase por su centro de gravedad IG,
  para ello se usa el teorema de los ejes
  paralelos, esto es

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VI. PENDULO FÍSICO

• Donde h es la distancia entre los dos ejes. Por
  otro lado, el momento de inercia también puede
  expresarse en función del radio de giro KG, en la
  forma
• Entonces el momento de inercia se escribe
•  Es decir el período del péndulo puede expresarse
  en la forma

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VI. PENDULO FÍSICO

• La ecuación del período expresa el período del
  péndulo físico en términos de la geometría del
  cuerpo. Es decir, el período es independiente de
  la masa, dependiendo sólo de la distribución de
  masa KG. Por otro lado, debido a que el radio de
  giro de cualquier cuerpo es constante, el período
  del péndulo en función sólo de h. La comparación
  de entre los períodos de un péndulo compuesto y
  un simple nos da
• Algunas veces es conveniente especificar la
  localización del eje de suspensión S en términos
  de la distancia d medida desde uno de los
  extremos de la barra, en lugar de su distancia h
  medida desde el centro de masa.

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VI. PENDULO FÍSICO

• Si las distancia d1, d2 y D son medidas desde el
  extremo superior, la distancia h1 debe ser
  considerada negativa ya que h es medida desde el
  centro de gravedad. De esta forma, si D es la
  distancia fija desde el extremos superior A de la
  barra al centro de gravedad G,
• El período se escribe en la forma

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VI. PENDULO FÍSICO

• Cuando el período T es trazado como función de d,
  son obtenidas un par de curvas idénticas SPQ y
  SPQ como se muestra en la figura. El análisis
  de estas curvas revela varias propiedades
  interesantes y observables del péndulo físico.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Un bloque de 50 kg se mueve entre guías
  verticales como se muestra. Se separa 40 mm hacia
  debajo de su posición de equilibrio y se abandona
  desde el reposo. Determine el período de
  vibración, la velocidad y aceleración máxima del
  bloque en cada uno de los esquemas representados

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Una masa de 2 kg está suspendida en un plano
  vertical por tres resortes, según se muestra en
  la figura. Si el bloque se desplaza 5 mm hacia
  abajo a partir de su posición de equilibrio y se
  suelta con una velocidad hacia arriba de 0,25 m/s
  cuando t 0. Determinar (a) La ecuación
  diferencial que rige al movimiento, (b) El
  periodo y la frecuencia de la vibración, (c) La
  posición de la masa en función del tiempo y (d)
  El menor tiempo t1 gt 0 del paso de la masa por su
  posición de equilibrio

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Una charola A está unida a tres resortes como se
  muestra en la figura. El período de vibración de
  la charola vacía es de 0,75 s. Después de que el
  resorte central C se ha suprimido se observa que
  el período es de 0,9 s. Si se sabe que la
  constante del resorte central es 100 N/m.
  Determine la masa m de la charla.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Las dos masas de la figura se deslizan por
  sendas superficies horizontales exentas de
  fricción. La barra ABC está en posición vertical
  en el equilibrio y su masa es despreciable. Si
  los resortes están sometidos a tracción en todo
  momento, escribir la ecuación diferencial del
  movimiento para la posición X(t) de la masa de 10
  kg y determinar la frecuencia y el período de la
  vibración resultante. (Supóngase oscilaciones de
  pequeñas amplitudes).

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Una barra uniforme AB de 0,75 kg de masa está
  articulada en A y unida a dos resortes, ambos de
  constante elásticas k 300 N/m. Halle (a) la
  masa m del bloque C para que el período de las
  pequeñas oscilaciones sea T 0,4 s, (b) Si el
  extremo se desplaza 40 mm y se suelta desde el
  reposo, halle la velocidad máxima del bloque C.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Un bloque de 25 kg está soportado por un cable,
  que se enrolla sobre un disco circular de 35 kg y
  0,5 m de radio y está sujeto a un resorte como se
  muestra en la figura. Se tira el bloque hacia
  abajo 0,2 m desde su posición de equilibrio y se
  suelta. Determine (a) la ecuación diferencial
  para el movimiento del bloque, (b) el período
  natural de la vibración y (c) la velocidad máxima
  del bloque.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Un cilindro escalonado de 3 kg se mantiene sobre
  un plano inclinado mediante un resorte cuya
  constante es k 400 N/m. El radio de giro del
  cilindro con respecto a su centro de masa es KG
  125 mm los radios son r1 100 mm y r2 200
  mm. Determine (a) La ecuación diferencial del
  movimiento del carrete, (b) El período y la
  frecuencia para pequeñas oscilaciones.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Los dos bloques mostrados en la figura se
  deslizan por sendas superficies horizontales sin
  fricción. Las barras de conexión tienen peso
  despreciable y en la posición de equilibrio, ABC
  está vertical. Supóngase oscilaciones de pequeña
  amplitud y determine. (a) la ecuación diferencial
  del movimiento del bloque de 75 N y (b) la
  pulsación propia de la oscilación.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Un bloque que pesa 100N se desliza por una
  superficie horizontal sin fricción como se
  muestra. Los dos resortes están sometidos a
  tracción en todo momento y las poleas son
  pequeñas y sin rozamiento. Si se desplaza el
  bloque 75 mm hacia la izquierda de su posición
  de equilibrio y se suelta con velocidad de 1,25
  m/s hacia la derecha cuando t 0, determine (a)
  La ecuación diferencial que rige el movimiento
  (b) El período y la amplitud de la vibración,
  (c) La posición del bloque en función del tiempo

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Una esfera A de 400 g y una esfera C de 280 g
  están unidas a los extremos de una varilla rígida
  de masa despreciable que puede girar en un plano
  vertical alrededor de un eje que pasa por B.
  Hallar el período de las pequeñas oscilaciones de
  la varilla.

43
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Un cilindro uniforme de 13,6 kg puede rodar sin
  deslizar por un plano inclinado 15º. A su
  perímetro está sujeta una correa y un muelle lo
  mantiene en equilibrio como se muestra. Si el
  cilindro se desplaza hacia abajo 50 mm y se
  suelta. Determinar (a) El período de la
  vibración, (b) La aceleración máxima del centro
  del cilindro

44
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Un peso de 6 kg pende de un cilindro de 4 kg
  como se muestra en la figura, mediante un pasador
  sin fricción que pasa por su centro. Escriba la
  ecuación diferencial del movimiento para la
  posición YG(t) del centro de masa del cilindro y
  determine el período y la frecuencia del
  movimiento vibratorio resultante

45
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Una barra uniforme esbelta de 3 kg está
  atornillada a un disco uniforme de 5 kg. Al disco
  está sujeto un muelle de constante 280 N/m que
  está sin deformar en la posición representada. Si
  el extremo B de la varilla recibe un pequeño
  desplazamiento a la izquierda y se suelta, halle
  el período de la vibración del sistema.
•  

46
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Un cilindro uniforme de 4 kg pende en un plano
  vertical en el seno de un hilo ligero, como se
  muestra en la figura. Si el cilindro de 250 mm de
  radio no se desliza por el hilo, escribir la
  ecuación diferencial del movimiento para la
  posición YG(t) del centro de masa del cilindro y
  determinar el período y la frecuencia de la
  vibración resultante.
•  

47
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• La barra uniforme AB de 8 kg está articulada en C
  y sujeta en A a un resorte de constante K
  500N/m. Si el extremo A recibe un pequeño
  desplazamiento y se suelta, hallar (a) La
  frecuencia de las pequeñas oscilaciones, (b) El
  mínimo valor de la constante K del resorte para
  el que habrá oscilaciones.
•  

48
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Dos barras uniformes cada una de masa m 12 kg y
  longitud L 800 mm, están soldadas formando el
  conjunto que se muestra. Sabiendo que la
  constante de cada resorte K 500N/m y que el
  extremo A recibe un pequeño desplazamiento y
  luego se suelta, determine la frecuencia del
  movimiento subsiguiente.
•  

49
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Determine la pulsación natural ?n del sistema
  mostrado en la figura. Se desprecian la masa de
  las poleas y el rozamiento en ellas.
•  

50
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Si los dos resortes están sin deformar cuando la
  masa se halla en la posición central
  representada, determine el desplazamiento
  estático de la misma, Cuál es el período de las
  oscilaciones en torno a la posición de
  equilibrio?.
•  

51
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Una barra uniforme AB de 8 kg está articulada en
  A a un soporte fijo mediante los pasadores B y C
  a un disco de 12 kg y 400 mm de radio. El muelle
  sujeto en D mantiene el equilibrio de la barra el
  a posición representada. Si el punto B se mueve
  25 mm hacia abajo y se suelta, halle (a) el
  período de la vibración, (b) la velocidad máxima
  del punto B.
•  

52
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Hallar el período T del sistema si la pieza
  articulada AB de masa m2 está horizontal en la
  Posición de equilibrio estático representada. El
  radio de giro de AB con respecto a O es K0 y su
  centro de gravedad está ubicado en el punto G.
  Suponga pequeñas oscilaciones.

53
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Una varilla delgada uniforme tiene una masa de 3
  kg. Halle la posición x en que debe encontrarse
  el cursor de 1 kg de masa para que el período del
  sistema sea 0,9 segundos. Suponer pequeñas
  oscilaciones en torno a la posición horizontal de
  equilibrio representada.

54
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Una barra uniforme ABC de 2 kg está sujeta por
  un pasador en B y sujeta en C a un muelle. En A
  está conectada a un bloque DE de 2 kg, que puede
  rodar sin deslizar, unido a un muelle. Sabiendo
  que ambos muelles pueden trabajar a tracción o a
  compresión, determine la frecuencia de las
  pequeñas oscilaciones del sistema cuando la barra
  se gira levemente y s suelta.

55
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Una masa de 4 kg está suspendida en un plano
  vertical según se muestra. Los dos resortes están
  sometidos s y tracción en todo momento y las
  poleas son pequeñas y sin fricción. Si se lleva a
  la masa a 15 mm por encima de su posición de
  equilibrio y se suelta con una velocidad de
  750mm/s hacia abajo cuando t 0. Halla (a) La
  ecuación que rige al movimiento, (b) el periodo y
  la amplitud de la vibración resultante, (c) la
  posición de la masa en función del tiempo.
•  

56
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Un cilindro de masa m y radio R está conectado
  con muelles idénticos de constante k y gira sin
  rozamiento alrededor del punto O. Para pequeñas
  oscilaciones, cuál será la frecuencia natural?.
  El cordón que soporta a W1 está enrollado
  alrededor del cilindro.
•  

57
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Hallar la frecuencia natural fn de las
  oscilaciones verticales del cilindro de masa m.
  despreciar la masa del cilindro escalonado y el
  rozamiento del mismo.
•  

58
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Una barra de 1 m de longitud y 120 N de peso se
  mantiene en posición vertical mediante dos
  muelles idénticos cada uno de los cuales tiene
  una constante k igual a 50 000 N/m. Qué fuerza
  vertical P hará que la frecuencia natural de la
  barra alrededor de A se aproxime a un valor nulo
  para pequeñas oscilaciones.
•  

59
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• El hilo ligero atado al bloque de 50 N de la
  figura está arrollado a un cilindro uniforme de
  35 N. Si el hilo no se desliza por el cilindro,
  escribir la e. D del movimiento para la posición
  y(t) del bloque de 50 N y determine el período y
  la frecuencia de la vibración resultante.
•  

60
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Una partícula de masa m, esta soportada tal como
  se muestra, a dos alambres fuertemente tensos.
  Determine la pulsación natural ?n de las pequeñas
  oscilaciones verticales del sistema bajo la
  hipótesis de que la tracción T en ambos alambres
  se mantiene constante. Es necesario calcular el
  pequeño desplazamiento estático de la partícula?

61
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• La boya cilíndrica flota en agua salada
  (densidad, 1030 kg/m3) y tiene una masa de 800 kg
  con un centro de masa bajo para que se mantenga
  estable en la posición vertical. Hallar la
  frecuencia fn de sus oscilaciones verticales.
  Suponga que la superficie del agua permanece
  tranquila en sus proximidades.

62
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Con la ausencia de deslizamiento, hallar la masa
  m del bloque a colocar encima del carrito de 6 kg
  para que el período del sistema sea 0,75 s. Cuál
  es el coeficiente de rozamiento estático mínimo
  ?s del sistema para el cual el bloque no resbala
  sobre el carrito cuando éste se aparta 50 mm de
  su posición de equilibrio y luego se suelta?.

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(No Transcript)
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http//www.walter-fendt.de/ph14s/index.html
68
http//www.dailymotion.com/video/x6m8cf_resonancia
-magnetica_school
69
http//www.colegioheidelberg.com/deps/fisicaquimic
a/applets/OscilacionesMAS/oscilacionestotal.htm
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