Metodo della bisezione

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IL PIACERE DI INSEGNARE IL PIACERE DI IMPARARE
LA MATEMATICA LA STORIA DELLA MATEMATICA IN
CLASSE DALLE MATERNE ALLE SUPERIORI INTRODUZIO
NE AL CONCETTO DI DERIVATA LEZIONI ISPIRATE AL
PENSIERO E AI LAVORI DI NEWTON Relatore Camicio
ttoli Andrea
2
Introduzione al concetto di derivata

• la filosofia la natura è scritta in questo
  grandissimo libro che continuamente ci sta aperto
  innanzi agli occhi (e dico luniverso), ma non si
  può intendere se prima non simpara a intender la
  lingua, a conoscer i caratteri ne quali è
  scritto.
• Egli è scritto in lingua matematica, e i
  caratteri son triangoli, cerchi e altre figure
  geometriche senza i quali mezzi è impossibile
  intenderne umanamente parola senza questi, è un
  aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.
• (Galileo Galilei)

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Introduzione al concetto di derivata

• LINEE GUIDA DEL LAVORO
• Dare un senso alla matematica proposta ai
  ragazzi
• Trasmettere concetti profondi che lasciano un
  segno

Perché ripercorrere il pensiero di Newton?
Strumento efficace per risolvere problemi di
fisica e descrivere una natura che varia nel tempo
LA DERIVATA qualcosa di più di una semplice
operazione matematica
Strumento per risolvere problemi matematici
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Introduzione al concetto di derivata

• OBIETTIVI DELLE LEZIONI
• Far conoscere il contesto storico la matematica
  si sviluppa con la società
• Fornire uninterpretazione completa della
  derivata velocità di variazione di una grandezza
  e coefficiente angolare della retta tangente
• Conoscere la definizione moderna di derivata
  capire come e perché dallidea iniziale si arriva
  alla definizione di Cauchy
• Saper utilizzare il metodo delle flussioni di
  Newton per risolvere semplici problemi di vario
  tipo

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Introduzione al concetto di derivata
I PROBLEMI APERTI DEL XVII secolo
LO STUDIO DELLA CINEMATICA
Studio del moto dei corpi celesti per la
navigazione
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
Perfezionamento della balistica
IL PROBLEMA DELLA TANGENTE AD UNA CURVA
Problema classico che non ha soluzione generale
Applicazioni per lottica
PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
LA SOLUZIONE DI QUESTI PROBLEMI PROMETTE VANTAGGI
ECONOMICI I SIGNORI SONO DISPOSTI AD INVESTIRE
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Introduzione al concetto di derivata
LAVORO A CASA
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
(De quadratura curvarum)
The length of the space described being
continually (that is all times) given to find
the velocity of the motion at any time
proposed. And hence it is, that in what follows,
I consider Quantities as if were generated by
continual increase, after the manner of a space,
which a Body or Thing in Motion describes.
(The methods of fluxions)
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Introduzione al concetto di derivata
LA CINEMATICA CON LE FLUSSIONI
tutte le difficoltà possono essere ridotte
soltanto a due problemi Data continuamente la
lunghezza dello spazio descritto (ovvero in ogni
istante), trovare la velocità del moto ad ogni
tempo proposto. Sia data la velocità del moto
continuamente, trovare la lunghezza dello spazio
descritto ad ogni tempo proposto.
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
Grandezze variabili nel tempo
Fluenti
Velocità di variazione
Flussioni
Incrementi dopo un tempo o
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Introduzione al concetto di derivata
LA CINEMATICA CON LE FLUSSIONI
Consideriamo una pallina che si muove su un
piano inclinato e chiamiamo y lo spazio
percorso e x il tempo la relazione tra le
due grandezze è
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
Svolgendo i calcoli e semplificando si ottiene
Si divida per o e sia diminuita la quantità o
allinfinito e trascurati i termini evanescenti
Velocità istantanea del moto accelerato
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Introduzione al concetto di derivata
LA CINEMATICA CON LE FLUSSIONI
Un cannone spara un colpo da una torre alta 20m
in direzione orizzontale. Il proiettile arriva ad
una distanza di 40m dalla torre. Con quale
velocità iniziale è stato sparato?
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
Svolgendo i calcoli si ottiene
Sapendo che
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Introduzione al concetto di derivata
Nel seguito io considero Quantità come generate
da un continuo incremento allo stesso modo dello
spazio da un corpo in movimento. Le linee sono
descritte e sono generate non da un'apposizione
di parti ma dal movimento continuo dei punti, le
superfici dal movimento delle linee, i solidi dal
movimento delle superfici, gli angoli dalla
rotazione dei lati, i tempi da un flusso continuo
e così via. Queste generazioni hanno il loro
posto nella natura e si compiono quotidianamente
nel movimento dei corpi e si manifestano
apertamente ai nostri occhi. questa
concezione, che le quantità sono generate dal
moto locale, è una nozione molto fertile e un
eccellente artificio per scoprire le loro
proprietà. ( I. Newton )
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
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Introduzione al concetto di derivata
LA RETTA TANGENTE
La curva è generata dal moto di un punto...
Quando il punto che si trova in d si muove
indietro verso D la retta diventa tangente.
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
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Introduzione al concetto di derivata
LAVORO A CASA Data la parabola di
equazione Determina lequazione della retta
tangente nei punti di ascissa 0 e di ascissa 3
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
Data la relazione tra le grandezze Determina la
relazione tra le loro flussioni
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Introduzione al concetto di derivata
MASSIMO E MINIMO DI UNA FUNZIONE
Quando una quantità assume il più grande valore
che può avere in un dato istante, essa non fluirà
né in avanti né indietro. Se fluisse in avanti o,
in altre parole, aumentasse il proprio valore,
proverebbe che non aveva raggiunto il valore
massimo e che sarà maggiore immediatamente dopo.
Al contrario, se fluisse indietro o stesse
diminuendo, quindi resta soltanto da trovare la
sua flussione e supporre che sia nulla.
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
PROBLEMA DI FERMAT dato un segmento si
richiede di trovare un punto su di esso tale che
il rettangolo che ha come lati i due segmenti in
cui il punto divide il segmento dato sia massimo.
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Introduzione al concetto di derivata
PROBLEMA DI FERMAT dato un segmento si
richiede di trovare un punto su di esso tale che
il rettangolo che ha come lati i due segmenti in
cui il punto divide il segmento dato sia massimo.
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
ponendo
Il rettangolo di area massima è il QUADRATO
da cui
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Introduzione al concetto di derivata
LAVORO A CASA
Determina il rettangolo di area massima
inscritto in un triangolo o in un ramo di una
curva risulta difficile scegliere la
variabile x e scrivere la funzione che la lega
allarea del rettangolo
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
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Introduzione al concetto di derivata
LE CRITICHE AL CALCOLO
cosa sono queste flussioni? La velocità di
incrementi evanescenti. E cosa sono questi
incrementi evanescenti? essi non sono quantità
finite, non sono infinitesimi, non sono
niente. (Berkley)
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
O è zero o no?
questo metodo ha il grande inconveniente di
considerare le quantità nello stato in cui
cessano, per così dire, di essere quantità
infatti, anche se possiamo sempre concepire
propriamente i rapporti di due quantità fintanto
che esse rimangono finite, il rapporto non offre
alla mente nessuna idea chiara e precisa quando i
suoi termini diventano entrambi
contemporaneamente nulli. (Lagrange)
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Introduzione al concetto di derivata
LE SPIEGAZIONI DI NEWTON
Si obietta che non esiste l'ultimo rapporto di
quantità evanescenti, in quanto esso, prima che
le quantità siano svanite non é l'ultimo, e
allorché sono svanite non c'é affatto (...) per
ultimo rapporto di quantità evanescenti si deve
intendere il rapporto delle quantità non prima di
diventare nulle e non dopo, ma quello col quale
si annullano
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
Gli ultimi rapporti con cui quelle quantità si
annullano sono i limiti ai quali si possono
avvicinare per più di qualunque differenza data,
e che, però, non possono mai superare, né toccare
prima che le quantità siano diminuite
all'infinito
Nel seguito, se talvolta menzionerò le quantità
quanto più piccole possibili o evanescenti o
ultime, bada a intendere quantità determinate in
grandezza ma pensa sempre a quantità che debbano
diminuire senza limite.
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Introduzione al concetto di derivata
Nel 1821 Cauchy definisce la derivata
I problemi aperti La cinematica con le
flussioni Retta tangente ad una curva Problemi
di massimo e minimo Le critiche
Le flussioni di Newton sono lantenato della
derivata, tutte le proprietà viste per le
flussioni sono valide anche per la derivata
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Introduzione al concetto di derivata
La verifica
1 ) Spiega cosè la derivata di una funzione. 2
) Descrivi brevemente i motivi che hanno portato
lo sviluppo del calcolo infinitesimale. 3 )
Spiega la differenza tra il concetto di flussione
secondo Newton e il moderno concetto di derivata.
Risultati (16 studenti)
Quesito 1 7 risposte corrette 6 risposte
corrette ma con imprecisioni 3 risposte
errate   Quesito 2 16 risposte
corrette   Quesito 3 13 risposte corrette 3
risposte errate o non date
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Introduzione al concetto di derivata
Conclusioni

• Lapproccio storico utilizzato ha il vantaggio
  di trasmettere unidea ampia del concetto di
  derivata e fa capire limportanza del concetto di
  limite
• Viene recepito e ricordato abbastanza bene
• Possibilità di trarre spunti per eventuali
  approfondimenti collegamenti interdisciplinari
  (traduzioni dai testi originali)
• Il lavoro ha richiesto 6 ore di lezione che per
  un corso di matematica di liceo classico sono
  numero consistente (ne servirebbero anche di più)
• è indispensabile un elevato numero di esempi che
  sono lo strumento più efficace per una chiara
  comprensione