Cap. 5

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Cap. 5 Introdução à análise diferencial de
escoamentos
5.1 Conservação da massa
5.2 Função corrente
5.3 Movimento de um elemento fluido - Cinemática
5.4 Equação da Quantidade de Movimento
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5.1 Conservação da massa
5.1.1 Coordenadas retangulares
Expansão em série de Taylor
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Desprezando termos de ordem superior
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Fluxo de massa através da superfície de
controle de um volume de controle diferencial
retangular
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(No Transcript)
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Fluxo de massa total através da superfície de
controle de um volume de controle diferencial
retangular
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Conservação da massa para um volume de controle
diferencial retangular
No volume de controle diferencial a massa
específica é independente do volume
Equação diferencial para o princípio da
conservação da massa
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Operador GRADIENTE (sobre campo escalar U)
Operador DIVERGENTE (sobre campo vetorial A)
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Princípio da conservação da massa (forma compacta)
Escoamento incompressível , r constante
Escoamento compressível , regime permanente
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Um amortecedor a gás na suspensão de um
automóvel comporta-se como um dispositivo
pistão-cilindro. Num instante em que o pistão
está em L0,15 m afastado da extremidade fechada
do cilindro, a massa específica do gás é uniforme
em 18 kg/m3 e o pistão começa a mover-se,
afastando-se da extremidade fechada do cilindro,
com V12 m/s.
A velocidade do gás é unidimensional e
proporcional à distância em relação à extremidade
fechada varia linearmente de zero, na
extremidade, a uV no pistão. Avalie a taxa de
variação da massa específica do gás nesse
instante. Obtenha uma expressão para a massa
específica como uma função do tempo.
Determinar a) a taxa de variação da massa
específica b) r (t).
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Escoamento unidimensional
Não há variação espacial de r no volume
Como
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Com esta derivada obtém a taxa de variação da
massa específica no instante inicial (item a)
Notando que L é variável no tempo
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5.1.2 Coordenadas cilíndricas
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Princípio da conservação da massa em coordenadas
cilíndricas
Escoamento incompressível , r constante
Escoamento compressível , regime permanente
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5.2 Função corrente para escoamento
incompressível bidimensional
O objetivo é descrever matematicamente várias
configurações geométricas de escoamentos
bidimensionais
Se uma função contínua, chamada função corrente,
for definida de modo que
A função corrente satisfaz a equação da
continuidade (eq. da cons. da massa)
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As linhas de corrente são linhas traçadas no
campo de escoamento tais que, em um dado
instante, são tangentes à direção do escoamento,
em cada ponto.
Assim, a equação de uma linha de corrente em um
escoamento bidimensional é
Substituindo as equações da função corrente,
tem-se, para um linha de corrente
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As linhas de corrente instântaneas
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Em coordenadas cilíndricas
Princípio da Conservação da Massa, escoamento
bidimensional
Velocidade radial, tangencial e respectiva função
corrente
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Do campo de velocidade dado
Integrando com relação a y
A função f(x) pode ser avaliada usando-se a
equação para v
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(No Transcript)
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5.3 Movimento de um elemento fluido
Cinemática
Elemento infinitesimal de fluido
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5.3.1 Aceleração de uma partícula fluida em
um campo de velocidade
Translação
Rotação
Deformação Linear
Deformação Angular
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(No Transcript)
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(No Transcript)
25
(No Transcript)
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Em coordenadas retangulares (três componentes da
aceleração total)
Em coordenadas cilíndricas (três componentes da
aceleração total)
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Dados Escoamento permanente, unidimensional,
incompressível, através do duto convergente
mostrado.
Determinar (a) A componente x da aceleração de
uma partícula movendo-se no campo de
escoamento (b) Para a partícula localizada em
x0 em t0, obtenha uma expressão para a
sua (1) Posição , xp , como uma função do
tempo. (2) Componente x da aceleração, axp .
como uma função do tempo.
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5.3.2 Rotação dos fluidos
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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5.3.3 Deformação dos fluidos
A deformação angular de um elemento fluido
envolve variações no ângulo entre duas linhas
perpendiculares
Taxa de deformação angular
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Taxa de deformação angular no plano xy será
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Determinar (a) As posições dos pontos a,b,c
e d em t 1,5 s. (b) Taxa de deformação
angular. (c) Taxa de rotação de uma partícula
fluida.
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5.4 Equação da quantidade de movimento
Uma equação dinâmica descrevendo o movimento do
fluido pode ser obtida aplicando-se a segunda lei
de Newton a uma partícula
A quantidade de movimento do sistema é
Para um sistema infinitesimal de massa dm
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5.4.1 Forças atuando sobre uma partícula fluida
As forças que atuam sobre um elemento fluido
podem ser classificadas como de massa ou de
superfície.
As de superfície incluem tanto as normais quanto
as tangenciais (de cisalhamento).
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Balanço de forças (dir.x) que atuam nas 6
superfícies do elemento
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Força infinitesimal resultante de superfície na
direção x
Forças infinitesimais resultante (de campo e de
superfície) nas direções x,y e z
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5.4.2 Equação diferencial da Quantidade de
Movimento
Equação diferencial da Quantidade de Movimento
nas direções x,y e z
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5.4.3 Fluidos Newtonianos a Equação de
Navier-Stokes
Para um fluido newtoniano, as tensões viscosas
são proporcionais às taxas de deformação angular.
As tensões podem ser expressas em termos dos
gradientes de velocidade e das propriedades dos
fluidos (em coordenadas retangulares), como segue
(p é a pressão termodinâmica local)
Correlações para tensões superficiais no elemento
fluido infinitesimal
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Substituindo as correlações para tensões
superfíciais na equação diferencial para
quantidade de movimento do elemento fluido
infinitesimal
Estas equações do movimento fluido são chamadas
de equações de Navier-Stokes.
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As equações de Navier-Stokes são simplificadas
quando aplicadas a escoamento incompressível
(rcte) e fluidos de viscosidade também
constante.