Introducci

1
Introducción a la InformáticaIntroducción a los
ModelosIntroducción a los Modelos Matemáticos
Discretos
Modelo Matemático Modelo en que se establecen
correspondencias entre los valores de las
variables del modelo y las magnitudes, estados o
propiedades.
2
Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos
Y F(X, E) E T (X,E)
E
X
Y
Modelo matemático de respuesta inmediata
3
Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Matemáticos
Mts.
Mts.
29,6 22,8 15,6 8
Seg.
0 0,2 0,4 0,6 0,8
Seg.
Modelo a intervalos discretos
Modelos a intervalos continuos
4
Introducción a la InformáticaIntroducción a
ModelosModelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
Et
Xt
Yt
Variables a intervalos de tiempo discretos
T 0,1,2,3... El tiempo como una variable
discretea
Conjuntos de variables que toman valores o
enteros Xt variables que describen las entradas
al instante t Yt variables que describen las
salidas en el instante t Et variables que
describen el estado al instante t Yt
F(Xt,Et) las salidas en función de las
entradas y el estado del sistema si se considera
una respuesta inmediata o instantánea. Yt1
F(Xt,E(t) las salidas en función de las
entradas y el estado del sistema si se considera
un tiempo de respuesta de un intervalo. Et1
T(Xt,Et)
5
Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Matemáticos
Xt, Yt coordenadas Vxt, Vyt velocidades
proyectadas en ejes x e y g aceleración de
gravedad
Y
Vy
Vx
m g
X
6
Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos

• Método de Desarrollo de Modelos.
• Descripción gráfica y narrativa del sistema a
  modelar
• Identificación de variables.
• Conjunto de valores para la variables.
• Formular de relaciones variables.
• Definición de escenarios.
• Simulación.
• Ajuste de modelos

7
Introducción a la InformáticaIntroducción a los
ModelosModelos MatemáticosConjuntos de números

• Números naturales.
• Enteros
• Racionales
• Reales
• Imaginarios.
• Complejos.

8
Introducción a la InformáticaIntroducción a los
ModelosModelos MatemáticosConjuntos de números

• Números Naturales
• N 0, 1, 2, 3,, 9, 10, 11, 12,
• Ejemplo La edad de una persona
• Números Enteros.
• Z , -11, -10, -9,, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,,
  9, 10, 11,
• Ejemplo La altura de una ciudad en relación
  al nivel del mar

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Introducción a la InformáticaIntroducción a los
ModelosModelos MatemáticosConjuntos de números

• Números racionales.
• ½, 2/4, 3/6
• Ejemplo El peso de una cantidad de alimento.
• Número irracional
• Pi 3.1459265358979323846
• El conjunto de los números racionales e
  irracionales forman el conjunto de los número
  reales.

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Introducción a la InformáticaIntroducción a los
ModelosIntroducción a Modelos MatemáticosDiscret
osEjemplo de Variable, Constante y Parámetro
Variable Const. Param.
Mes Producc. Mat. Imp. () Costo mat. importada Precio Dolar
Enero 2000 0.25 500 1900
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Diciembre 5000 0.25 1250 1900
11
Introducción a la InformáticaIntroducción a los
ModelosIntroducción a Modelos MatemáticosDiscret
osEjemplo de Variable, Constante y Parámetro
Variable Const. Param.
Modelo Precio Intereses Número Meses
Modelo 1 30000000 0.25 12,24,36
Modelo 2 40000000 - - - - - 12,24,36
Modelo 3 50000000 0.25 12,24,36
12
Introducción a la InformáticaIntroducción a los
ModelosIntroducción a Modelos MatemáticosDiscret
osConceptos de Escenario y Simulación
Escenario Caracterización del experimento a
simular. Objetivo de la simulación La simulación
tiene como principal objetivo, la producción, es
decir, puede mostrar la que sucedera en un
sistema real cuando se realicen determinados
cambios bajo determinados cambios.
13
Introducción a la InformáticaIntroducción a
ModelosModelos Matemáticos a Intervalos
DiscretosEjemplo No. 1
1. Descripción narrativa del sistema
Velocidad inicial eje X
Velocidad eje X t
Velocidad inicial eje X
Velocidad eje Y t
Proyectil
Gravedad
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Introducción a la InformáticaIntroducción a
ModelosModelos Matemáticos a Intervalos
DiscretosEjemplo No. 1
2. Identificar las variables.
Xt, Yt coordenadas Vxt, Vyt velocidades
proyectadas en ejes x e y g aceleración de
gravedad
15
Introducción a la InformáticaIntroducción a
ModelosModelos Matemáticos a Intervalos
DiscretosEjemplo No. 1
3. Conjunto de valores para las variables X,Y
Conjunto de los número racionales. Vx, Vy
Conjunto de los número naturales. G Gravedad
(Constante) Conjunto de los número naturales
16
Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
DiscretosEjemplo No. 1
4. Formular relaciones entre la variables.
Vxt1 Vxt No hay roce ni fuerza que
se oponga sobre
el eje x, luego la velocidad es
constante. Vyt1 Vyt gt La velocidad
sobre el eje y crece o decrece según la
aceleración de gravedad g. Esta es una
aproximacióon si dt tiende a cero. Xt1
Xt Vxtdt Cambio de posición en eje
X. Yt1 Yt Vytdt Cambio de posición en
eje, éstas son aproximacione válidas si dt
es muy pequeño.
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Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
1. Descripición gráfica del problema
Alumnos que ingresan
Alumnos que egresan
Alumnos en cada año.
Alumnos que abandonan
Modelo de un año
Año 2
Año 1
Año3
Año4
Año5
Modelo para los 5 años
18
Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
APi-1,t-1
APi,t
ALi,t
ABi,t
19
Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
2. Identificación de las variables (año de
estudio i en al año calendario t).
ALi,t Alumnos cursan año de estudios i en año
t IN1,t Alumnos que ingresan al primer año de
estudios en t. ABi,t Alumnos que abandonan
la carrera el año t, estando en años de estudios
i APi,t Alumnos que aprueban el año de
estudios i en año t RE i,t Alumnos que repiten
el año de estudios i en año t
20
Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
3. Conjunto de valores para la las variables
ALi,t Conjunto de los números naturales.
IN1,t Conjunto de los números
naturales. ABi,t Conjunto de los números
naturales. APi,t Conjunto de los números
naturales. RE i,t Conjunto de los números
naturales.
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Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
4. Formular relaciones entre las variables.
HIPOTESIS ABAND i Tasa de abandono en año de estuidos i
APROB i Tasa de aprobación en año de estudios i
REPET i Tasa de repitencia en años de estudios i
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Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
4. Establecer relaciones entre las variables
(Cont.).
a) APi,t APROBiALi,t Alum. que aprueban el año de estudios en año t
b) ABi,t ABANDiALi,t Alum. que abandonan la carrera en año t, cursando el año de estudios i.
c) REi,t REPETIALi,t Alum. que repiten el curso i (año de estudios) el año t
d) AL1,t INtRE1,t-1 Alum. Del primer año de estudios son los que ingresan más los que repitieron el añon anterior.
e) ALi,t APi-1,t-1 REi,t-1 Alumnos del año de estudios i, son los que aprobaron el curso i-1 anterior al año anterior más los que repitieron el curso i el año anterior.
ALi,t APi-1,t-1 REi,t-1 Los alumnos del año de est. I, son los que aprob. El curso i-1 anterior más los que reptitieron el curso i en el año anterior
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Introducción a la InformáticaIntroducción a
ModelosModelos Matemáticos Simulación -
Ejemplos
5.Definición de escenario.
Año de estudio 1 2 3 4 5
de repitencia 20 15 10 10 15
de repitencia 10 5 5 5 5
de repitencia 70 80 85 85 80
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Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
1. Descripción gráfica y narrativa del sistema a
modelar. Deuda Total 23. 000 M
US Exportaciones 6.000 M US Importaciones
4.500 M Plazo de contratación de la deuda
Entre 5 y 20 años. Tasa de interés 8 y
16 Monto a pagar este año 2.5000 M en
intereses y 2.000 M en amortizaciones Capital
disponible 1.500 M
25
Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
1. Descripción gráfica y narrativa del sistema a
modelar (Cont.)
Ingresos exporataciones
Pagos
Otros paises
País
Bancos
Gastos importaciones
26
Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
2 y 3. Identificación de las variables y
parámetros y conjunto de valores que puede tomar
las variables.
DEUDA t Deuda total al año t.
INTDE t Intereses a pagar por la deuda en año t.
AMORT t Amortización a pagar por la deuda en año t
EXPTR t Valor de exportaciones tradicionales en año t.
EXPNO t Valor de exportaciones no tradicionales en año t.
IMPORT t Valor de importaciones en año t
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Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
2 y 3. Identificación de variables y parámetros y
conjunto de valores que puede tomar (Cont).
I tasa de interés de deuda, a negociar (6 a
9). P fracción del valor de las exportaciones
que se dedica a pagos de la deuda externa (10 a
20). AT tasa anual de invremento de
exportaciones tradicionales (0,5 a 1). AN tasa
anual de incremento no tradicionales (3 a
6). Todas las variables toman valores de los
conjunto de números reales.
28
Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
3. Formulación de relaciones entre variables
EXPTRt1 EXPTRt1 ATEXPTRt Crecimiento de exportaciones no tradicionales.
EXPNOt1 EXPNOt ANEXPNOt Crecimiento de exportaciones no tradicionales.
INTDEt IDEUDAt Interés de pagar por la deuda en año t.
AMORTt P(EXPTRtEXPNOt INTDEt Se amortiza lo disponible luego de pagar los intereses siempre se paga una fracción P de las exportaciones. Si no se cubren los intereses, la amortización es negativa e implica capitalización de intereses
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Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
Formulación de relaciones entre variables (Cont.)
IMPORTt (1-P)(EXPTRtEXPNOt) Las importaciones son una fracción de las exportaciones.
DEUDAt1 DEUDAt AMORTt La deuda se amortiza cada año t.
30
Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
5. Definición de escenarios Condiciones
iniciales EXPTR1 4200 EXPONO1 1800
DEUDA1 23.000 Parámetros I 0,06 (6) AN
0,06 (6) AT 0 0,01 (1) P 0,2 (20) Variables
exógenas no hay.
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Introducción a la InformáticaIntroducción a
Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos
Discretos
1. Descripción gráfica del sistema a modelar.
Ct Población de conejos en el periodo t Lt
Población de lobos en el periodo t CLt Conejos
que se comen los lobos en el periodo t
CLt Conejos cazados
Conejos Ct
Lobos Lt
Caza Lt
32
Introducción a la InformáticaIntroducción a
ModelosModelos Matemáticos a Intervalos Discretos
2 y 3. Identificación de las variables y
conjuntos de valores que pueden tomar Ct
población de conejos en el periodo t Lt
población de lobos en el periodo t CLt
conejos que se comen los lobos en el periodo
t Todas las variables toman valores del conjunto
de números naturales
33
Introducción a la informáticaintroducción a
ModelosModelos Matemáticos Simulación -
Ejemplos
4. Formulación de relaciones entre las variables.
CLt DCtLt Conejos cazados por lobos en periodo t.
Ct1 CtACt- CLt Los conejos en el periodo t1 son Los conejos del periodo t Mas el aumentos de conejos en periodo t Menos los que son cazados en periodo t
Lt1 Lt BLt ECLt Los lobos al periodo t1 son Los lobos del período y Menos los que mueren en periodo t Mas el aumento de acuerdo al alimento consumido
34
Intoducción a la informáticaIntroducción a
ModelosModelos Matemáticos Simulación -
Ejemplos
5. Definición de escenarios Situación inicial
C1 1000 L1 100 Parámetros y
coeficientes A 0,2 B 0,07 D 0,002 E
0,02
35
Intoducción a la InformáticaIntroducción a los
Modelos Modelos Matemáticos Discretos
Ingresos
Dinero
Egresos
Ganancia
Pérdida
Tiempo
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Intoducción a la InformáticaIntroducción a los
Modelos Modelos Matemáticos Discretos-
Ejercicio
Inventario Inicial Bs. 40.000.000
Num. Inicial Vídeos 2.000
Costo Video Bs. 20.000
Costos Fijos Mes Bs. 5.000.000
Num. Inic. Cltes. 500
Incr. Mens. Cltes. 2
Num. Interc. Sem. 3
Costo Interc. Bs. 2000
Costo Bolsa Bs. 500
Inflac. Mens. 2
37
Intoducción a la InformáticaIntroducción a los
modelos Modelos Matemáticos Discretos-
Ejercicio2 y 3 Identificacón de Variables y
conjunto de valores que puede tomar
Inventario Inicial Constante, Natural
Num. Inicial Vídeos Constante, Natural
Costo Video Constante, Natural
Costos Fijos Mes Constante, Natural
Num. Inic. Cltes. Constante, Natural
Incr. Mens. Cltes. Parametro
Num. Interc. Sem. Constante, Natural
Costo Interc. Constante, Natural
Costo Bolsa Constante, Natural
Inflac. Mens. Parametro
Tiempo Retorno Variable, Natural
38
Intoducción a la InformáticaIntroducción a los
modelos Modelos Matemáticos Discretos-
Ejercicio4. Establecer relaciones entre las
variables