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Title: L gica Matem tica Author: Wilkerson Last modified by: Fred Created Date: 11/12/2003 1:01:53 PM Document presentation format: Apresenta o na tela – PowerPoint PPT presentation

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Transcript and Presenter's Notes

Title: L


1
Lógica Proposicional
  • Métodos para determinação de validade de fórmulas

2
Métodos para determinação de validade de fórmulas
  • Tabela verdade
  • Árvore semântica
  • Método da negação ou absurdo

3
Árvore
1
2 3
4 5
Nós - números Raiz 1 Folhas 2,6,7,8
6 7 8
4
Método da árvore semântica (cont.)
  • Nó 2
  • H(P?Q) ?((?Q)?(?P))
  • T T
  • T FT
  • Nó 3
  • H(P?Q) ?((?Q)?(?P))
  • FT T T TF

1
IPT IPF
2 3
T
5
Método da árvore semântica
1
  • Nó 4
  • H(P?Q) ?((?Q)?(?P))
  • T T T T FT T FT
  • Nó 5
  • H(P?Q) ?((?Q)?(?P))
  • TF F T TF T FT
  • Satisfazível?
  • Contraditória?

IPT IPF
1
2 3
  • IQT IQF T

4 5 T T
6
Método da negação ou absurdo
  • Acabamos de provar a lei da contradição
  • (P?Q) ?((?Q)?(?P)) e portanto
  • P a Q D ?Q a ?P, ou seja
  • Há 2 formas de demonstrar P?Q
  • Demonstrar P a Q normalmente
  • Demonstrar (?Q) a (?P)
  • Método da negação ou absurdo, que é um
  • Método geral de demonstração

7
Método da negação ou absurdo (cont.)
  • Para provar que H é uma tautologia
  • Supõe-se inicialmente, por absurdo que
  • H NÃO é uma tautologia
  • As deduções desta fórmula levam a um fato
    contraditório (ou absurdo)
  • Portanto, a suposição inicial é falsa e
  • H é uma tautologia
  • (A não-validade de H é um absurdo)

8
Exemplo do método da negação ou absurdo
  • Lei da transitividade
  • ((P ? Q)(Q ? R)) ?(P ? R)
  • Por absurdo
  • ((P ? Q)(Q ? R)) ?(P ? R)
  • F
  • I(P ? Q)(Q ? R) T e I(P ? R)F
  • ((P ? Q)(Q ? R)) ?(P ? R)
  • T T T F T F F

9
Exemplo do método da negação ou absurdo (cont.)
  • ((P ? Q)(Q ? R)) ?(P ? R)
  • T T T F T F F
  • T T T T F F T F F
  • T T T T F T F F T F F
  • ? ?
  • Portanto
  • ((P ? Q)(Q ? R)) ?(P ? R)
  • F não pode existir!
  • Então, sempre T!!! (tautologia!)

10
Exercícios
  • Por árvore semântica e por negação
  • ?(?H) ? H
  • (P?Q) ?((?P)?(?Q))

11
Aplicações do método da negação ou absurdo
  • Demonstração da contradição
  • Para provar que H é contraditória
  • Supõe-se que H é satisfazível
  • Existe IHT
  • Fórmulas com o conectivo ?
  • Só existe uma possibilidade de absurdo
  • IAntecedenteT e IConseqüenteF
  • Fórmulas com o conectivo
  • Também 1 só forma IAT e IBT

12
Ausência de absurdo
  • Se uma asserção é negada, mas o absurdo não
    aparece,
  • Nada se pode concluir sobre a veracidade da
    asserção
  • Exemplo (P?Q) ?((?P)?(?Q))
  • Por absurdo F
  • Possibilidade 1 T F F
  • Possibilidade 2 F F T

13
Exemplo de Ausência de absurdo
  • Exemplo H (P?Q) ?((?P)?(?Q))
  • Possibilidade 1 T F F
  • F T T F TF F FT
  • Possibilidade 2 F F T
  • T F F F FT F TF
  • Não se pode concluir que H é tautologia
  • Se IPF e IQT, então IHF

14
Exercício do método de negação ou absurdo
  • H(PQ) ?((?PvQ)) é tautologia?
  • Só se ?H levar a absurdo em TODAS as
    possibilidades
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