L

1
Lógica Proposicional

• Métodos para determinação de validade de fórmulas

2
Métodos para determinação de validade de fórmulas

• Tabela verdade
• Árvore semântica
• Método da negação ou absurdo

3
Árvore
1
2 3
4 5
Nós - números Raiz 1 Folhas 2,6,7,8
6 7 8
4
Método da árvore semântica (cont.)

• Nó 2
• H(P?Q) ?((?Q)?(?P))
• T T
• T FT
• Nó 3
• H(P?Q) ?((?Q)?(?P))
• FT T T TF

1
IPT IPF
2 3
T
5
Método da árvore semântica
1

• Nó 4
• H(P?Q) ?((?Q)?(?P))
• T T T T FT T FT
• Nó 5
• H(P?Q) ?((?Q)?(?P))
• TF F T TF T FT
• Satisfazível?
• Contraditória?

IPT IPF
1
2 3

• IQT IQF T

4 5 T T
6
Método da negação ou absurdo

• Acabamos de provar a lei da contradição
• (P?Q) ?((?Q)?(?P)) e portanto
• P a Q D ?Q a ?P, ou seja
• Há 2 formas de demonstrar P?Q
• Demonstrar P a Q normalmente
• Demonstrar (?Q) a (?P)
• Método da negação ou absurdo, que é um
• Método geral de demonstração

7
Método da negação ou absurdo (cont.)

• Para provar que H é uma tautologia
• Supõe-se inicialmente, por absurdo que
• H NÃO é uma tautologia
• As deduções desta fórmula levam a um fato
  contraditório (ou absurdo)
• Portanto, a suposição inicial é falsa e
• H é uma tautologia
• (A não-validade de H é um absurdo)

8
Exemplo do método da negação ou absurdo

• Lei da transitividade
• ((P ? Q)(Q ? R)) ?(P ? R)
• Por absurdo
• ((P ? Q)(Q ? R)) ?(P ? R)
• F
• I(P ? Q)(Q ? R) T e I(P ? R)F
• ((P ? Q)(Q ? R)) ?(P ? R)
• T T T F T F F

9
Exemplo do método da negação ou absurdo (cont.)

• ((P ? Q)(Q ? R)) ?(P ? R)
• T T T F T F F
• T T T T F F T F F
• T T T T F T F F T F F
• ? ?
• Portanto
• ((P ? Q)(Q ? R)) ?(P ? R)
• F não pode existir!
• Então, sempre T!!! (tautologia!)

10
Exercícios

• Por árvore semântica e por negação
• ?(?H) ? H
• (P?Q) ?((?P)?(?Q))

11
Aplicações do método da negação ou absurdo

• Demonstração da contradição
• Para provar que H é contraditória
• Supõe-se que H é satisfazível
• Existe IHT
• Fórmulas com o conectivo ?
• Só existe uma possibilidade de absurdo
• IAntecedenteT e IConseqüenteF
• Fórmulas com o conectivo
• Também 1 só forma IAT e IBT

12
Ausência de absurdo

• Se uma asserção é negada, mas o absurdo não
  aparece,
• Nada se pode concluir sobre a veracidade da
  asserção
• Exemplo (P?Q) ?((?P)?(?Q))
• Por absurdo F
• Possibilidade 1 T F F
• Possibilidade 2 F F T

13
Exemplo de Ausência de absurdo

• Exemplo H (P?Q) ?((?P)?(?Q))
• Possibilidade 1 T F F
• F T T F TF F FT
• Possibilidade 2 F F T
• T F F F FT F TF
• Não se pode concluir que H é tautologia
• Se IPF e IQT, então IHF

14
Exercício do método de negação ou absurdo

• H(PQ) ?((?PvQ)) é tautologia?
• Só se ?H levar a absurdo em TODAS as
  possibilidades