L

1
Lógica Proposicional

• Semântica

2
Semântica

• Existe uma diferença entre os objetos e seu
  significado
• Existe um mundo sintático e um mundo semântico
• Sintático símbolos do alfabeto e fórmulas
  (consideradas apenas como concatenções de
  símbolos)
• Semântico significado dos símbolos e fórmulas
• Em Lógica, semântica é a associação entre um
  objeto sintático e seu significado, de forma a,
  num nível de representação, garantir inferências

3
Gaiarsa
4
Semântica

• P (símbolo sintático) representa
• Está chovendo
• Q representa
• A rua está molhada
• Quando a fórmula (PQ ) é Verdadeira?

5
Interpretação

• Depende das condições climáticas e se a rua é
  coberta, ou seja, depende da interpretação de P e
  Q
• IPT ou IPF (e também IQ)
• A fórmula (PQ ) é Verdadeira, quando
• IPT e IQ T
• Se IPT ou IQF então, como é interpretado
  como a conjunção da interpretação dos fatos P e
  Q, IPQF

6
Interpretação

• Função binária só possui em sua imagem 2
  elementos
• Uma Interpretação I, em Lógica Proposicional, é
  uma função binária tl que
• O domínio de I é o conjunto de fórmulas
  proposicionais
• A imagem é o conjunto T,F
• O valor da interpretação I, tendo como argumentos
  os símbolos de verdade true e false, é dado por
  ItrueT e IfalseF
• Dado um símbolo proposicional P, IP pertence a
  T,F

7
Interpretação de fórmulas

• Dado uma fórmula E e uma interpretação I, então o
  significado de E (IE) é dado pelas seguintes
  regras
• Se EP, onde P é um símbolo proposicional,
  IEIP
• Se Etrue, então IEItrue T, e se
  Efalse, então IEIfalseF
• Se H é uma fórmula e E?H, então
• IEI?HT se IHF e
• IEI?HF se IHT

8
Interpretação de fórmulas (cont.)

• Se H e G são fórmulas, e E(HvG), então
• IEIHvGT se IHT e/ou IGT e
• IEIHvGF se IHF e IGF
• Se H e G são fórmulas, e E(HG), então
• IEIHGT se IHT e IGT e
• IEIHGF se IHF e/ou IGF
• Se H e G são fórmulas, e E(H?G), então
• IEIH?GT se IHF e/ou IGT e
• IEIH?GF se IHT e IGF
• Se H e G são fórmulas, e E(H?G), então
• IEIH?GT se IHIG
• IEIH?GF se IH?IG

9
Tabelas-verdade

• Tabelas verdade associada a conectivos
• Tabelas verdade associada a fórmulas
• Como fazer para obter a tabela verdade associada
  à fórmula H((?P)vQ)?(QP)?
• Colunas intermediárias P,Q,?P, ?PvQ e QP

10
Semântica da implicação

• Olhando a tabela verdade de H?G
• H G H?G
• -----------------
• T T T
• T F F
• F T T
• F F F

• IH?GT se IHT e IGT
• IH?GF se IHT e IGF
• IH?GT se IHF, independente de G
• Se está chovendo, então a rua está molhada.
• (P ?(P v Q))

11
Causalidade e Implicação

• Não há relação entre causalidade e implicação
• Q o sol é redondo
• P Maluf é honesto
• IP?QT, sem relação de causalidade, pois IQT
• R é possível 2 objetos ocuparem o mesmo lugar
  no espaço
• S a lua é redonda
• IR?ST

12
Interpretação de uma fórmula

• Se temos a fórmula H((?P)v(?Q))?R e a
  interpretação IPT,IQF,IRT,IST
• Qual a interpretação de H ?
• Fazer tabela verdade (de uma linha ? )

13
Interpretação de uma fórmula (cont.)

• Se E ((?P)Q)?(RvP) e H(false?P) e as
  interpretações I e J
• IPT,IQF,IRT,IP1F
• JPF,JQT,JRF
• IH?
• JH?
• IP ?true?
• JP ?true?

14
Propriedades semânticas básicas

• Uma fórmula H é uma tautologia (ou é válida) se e
  somente se para toda interpretação I, IHT
• H é factível ou satisfazível se e somente se
  existe uma interpretação I tal que IHT
• H é contraditória se e somente se para toda
  interpretação I, IHF

15
Propriedades semânticas básicas (cont.)

• Dadas 2 fórmulas H e G,H?G se e somente se para
  toda interpretação I, se IHT então IGT
• Dadas H e G,H?G se e somente se para toda
  interpretação I, IHIG
• Dados H e uma interpretação I, I satisfaz H se e
  somente se IHT

16
Propriedades semânticas básicas (cont.)

• Um conjunto de fórmulas bH1,H2,...Hn é
  satisfazível se e somente se existe uma
  interpretação I tal que IH1 IH2 ...
  IHn T
• I satisfaz o conjunto de fórmulas b, ou IbT
• Toda I satisfaz o conjunto de fórmulas vazio

17
Exemplo de Tautologia

• A fórmula HPv?P é uma tautologia, pois toda
  IHT
• IHT DIPv?PT
• D IPT e/ou I?PT D
  IPT e/ou IPF
• (D aqui quer dizer o mesmo que, equivale a)
• Como I é uma função binária com imagem T,F,
  então IPT e/ou IPF é verdade e IHT.

18
Exemplo de Satisfatibilidade

• A fórmula H(PvQ) é satisfazível, pois há
  interpretações que a interpretam como verdadeira.
• H é tautologia? Por quê?

19
Exemplo de Contradição

• A fórmula H(P?P) é contraditória
• Suponham (por absurdo) que exista IHT
• IHT D IP?PT
• D IPT e I?PT D IPT e
  IPF
• Como I é uma função binária, ocorre apenas um dos
  valores, i.e. IPT ou IPF. Então IPT e
  IPF é falsa, e portanto IHT também é falsa.

20
Exercícios

• Quais das fórmulas abaixo são válidas,
  satisfazíveis ou contraditórias?
• H1P1P2Q?Q
• H2P1P2Q??Q
• H3(Pv?P)?(Q?Q)

21
Implicação

• Se E((PQ)VQ) e
• H(PQ) e
• G(P?Q)

• E ?G?
• E ?H?
• H ?G?
• H ?E?
• G ?H?

22
Exercício

• Prove que se temos as fórmulas proposicionais
  H(PQ) e GP, então H ? G
• Se HF, G?

23
Equivalência

• Exemplo (Lei de Morgan)H(?P?Q) e G?(PvQ)
• Temos que demonstrar que, para toda interpretação
  I, IHIG
• Casos IHT e IHF

24
(?P?Q) ? ?(PvQ) ?

• Caso IHT
• IHT
• D I?P?QT
• D I?PT e I?QT
• D IPF e IQF
• D IPvQF
• D I?(PvQ)T
• D IGT
• D IHT
• D IHIG

• Caso IHF
• Exercício ou
• Olhar tabelas verdade das 2 fórmulas

25
Exemplos de Satisfatibilidade e
Insatisfatibilidade

• Qual(is) conjunto(s) são (in)satisfazíveis
• H1P, H2?P e H3Q
• E(P ? Q), H(Q ? R) e G(R ? P)

26
Relações entre as Propriedades Semânticas

• Validade e factibilidade
• H é válida D ?H é contraditória
• H é válida a H é satisfazível
• (a quer dizer se então)
• ?H não é satisfazível D ?H é contraditória

27
Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.)

• Dadas 2 fórmulas H e G,
• H implica G D (H ? G) é tautologia
• H equivale a G D (H ? G) é tautologia
• Provar que (H ? G) e (G ? H)
• Transitividade da equivalência
• E ? H e H ? G a E ? G

28
Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.)

• Satisfabilidade e factibilidade
• Seja H1,H2,...Hn um conjunto de fórmulas
• H1,H2,...Hn é satisfatível D H1H2...Hn é
  satisfatível

29
Equivalências

• D aqui quer dizer o mesmo que, equivale a e a
  quer dizer se então
• Cuidado Há uma diferença entre eles
• H equivale a G D
• H é tautologia D G é tautologia? (1)
• H equivale a G a
• H é tautologia D G é tautologia? (2)

30
Equivalência e Validade

• H equivale a G D
• H é tautologia D G é tautologia (1)
• é dividida em 2 implicações
• H equivale a G a
• H é tautologia D G é tautologia (2)
• e
• H é tautologia D G é tautologia a
• H equivale a G (3)

31
Contra-exemplo de Equivalência e Validade

• H é tautologia D G é tautologia a H equivale a
  G (3)
• HP e GQ, que não são equivalentes
• H equivale a G é falsa
• No entanto, o antecedente é verdadeiro
• H e G não são tautologias
• (Falso D Falso) a Falso
• Verdadeiro a Falso, o que é falso

32
Proposição 1 Equivalência e Validade

• H equivale a G a H é tautologia D G é
  tautologia (2)
• Prova do tipo
• prop3 aprop2 e prop2 aprop1

• Passos
• prop2, prop2 aprop1 1
• prop3, prop3 aprop2 2
• Portanto, prop3, 3 prop3
  aprop2, prop2 aprop1

33
Proposição 2 Implicação e Validade

• H equivale a G a
• H é tautologia aG é tautologia(4)
• Porque isso equivale a
• G equivale a H a
• G é tautologia aH é tautologia (5)
• Portanto,
• H equivale a G a
• H é tautologia D G é tautologia (2)
• E prop2 aprop1

34
Implicação e Validade (cont.)

• Se H é tautologia aG é tautologia(4) e G é
  tautologia aH é tautologia (5) então
• H é tautologia D G é tautologia (2)
• E portanto,
• H equivale a G a
• H é tautologia D G é tautologia (2)

35
Lema (implicação)

• (A ?(B ?C)) equivale a ((AB) ? C)
• Olhar tabelas verdade
• H equivale a G a
• H é tautologia aG é tautologia(4) é
  exatamente deste tipo!
• Portanto, (4) equivale a
• H implica G e H é tautologia a G é
  tautologia
• prop3 aprop2

36
Proposição 3 Implicação e Validade

• Dadas 2 fórmulas H e G, então
• H implica G e H é tautologia aG é
  tautologia
• Supondo
• H implica G e
• H é tautologia
• Para
• G é tautologia
• ser verdade, então
• G é tautologia D toda IGT

37
Proposição 3 Implicação e Validade (cont.)

• G é tautologia D toda IGT
• Mas se H é tautologia, toda IHT
• Como H implica G, então toda IGT
• G é tautologia
• prop3 aprop2
• prop2 aprop1