Construcci

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Construcción de fórmulas

• Profesor Marco Antonio García Juárez

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• Problema 1
• D. Juan el albañil es especialista en
  enlosar patios de forma cuadrada. Su diseño
  favorito consiste en utilizar losas rojas para el
  interior y blancas para los bordes.
• He aquí algunos patios construidos por él

a) Si atendemos al número L de baldosas que tiene
el patio cuadrado en cada lado, podemos hacer la
siguiente tabla, en la que B indique el número de
baldosas blancas empleadas . Complétela L 3
4 5 6 .............
N B 8 12 16 20
............ ?
3
NÚMEROS FIGURADOS

• Karl Friedrich Gauss, llamado el Príncipe de las
  Matemáticas, estaba en la escuela cuando su
  profesor, tal vez con la intención de entretener
  a los niños mientras trabajaba, propuso a la
  clase que sumaran todos los números del
• 1 al 100. El profesor quedó sorprendido
  cuando Gauss, que tenía 11 años, dio la respuesta
  correcta poco después de ser formulada la
  pregunta.
• Cómo lo habrá hecho?

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Seguramente, Gauss procedió de la siguiente
manera
S 101 x 50 5050
Trate de encontrar la regla para calcular la suma
S de los n primeros números, es decir, para
1,2,3,4,5,6.. n
5
Matemática pitagórica
Qué es lo más sabio? el número. Qué es
lo más bueno? la felicidad.
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Seguramente conocerá los números triangulares y
cuadrados que fueron estudiados por los
Pitagóricos en el s. VI a.C.NÚMEROS TRIANGULARES
Dibuje las figuras T4 y T5 que siguen Puede
utilizar fichas de colores
Tn
T1
T2
T3
Para los pitagóricos el diez dispuesto en forma
triangular ( Trianón ) era una figura sagrada por
la que tenían la costumbre de jurar. Complete la
Tabla de los números triangulares Nº 1
2 3 4 5 6 10
n .. T 3 6 10
Tn? ..
7

• La fórmula para el n-ésimo número triangular es
• 1 2 3 ... (n-2) (n-1) n n(n1)
• 
  2
• También es igual al coeficiente binomial
• Complete

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NÚMEROS CUADRADOS
Dibuje la figura C5 que sigue
C1
C2
C3
C4
Nº 1 2 3 4 ....... n
..
C 4 9 16 ..... n  

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El esquema geométrico que muestra la figura
siguiente manifiesta a relación entre los números
triangulares y los cuadrados 
Compruebe la igualdad de forma algebraica
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Suma de dos números triangulares consecutivos
número cuadrado

• La suma de dos números triangulares consecutivos,
  Tn y Tn - 1 es un cuadrado perfecto, o, si se
  quiere en la terminología pitagórica, un número
  cuadrado. Demostrémoslo. Sean

y
Tn
Tn

Sumando Tn Tn - 1
Sumando Tn y T n-1

es decir Tn T n - 1 n
2
11
Construya las fórmulas para encontrar el término
general
Números rectangulares
Puede utilizar fichas de colores
Dibuje la figura que sigue P6
Números pentagonales
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Dibuje la figura que sigue H6
Números hexagonales
Puede utilizar Fichas de colores
Números estrellados
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Números cúbicos
Números tetraédricos
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TÉCNICAS PARA BUSCAR EL PATRÓN
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MÉTODOS GEOMÉTRICOS
El esquema anterior sugiere que un número
pentagonal se expresa como la suma de tres
números triangulares de un orden menor y más la
suma de los puntos de su lado, esto es Pn 3
Pn-1 n , de donde
16
Deduzca del siguiente esquema el patrón de la
secuencia de números estrellados.
17
(No Transcript)
18
PROGRESIONES ARITMÉTICAS

• Una progresión aritmética (PA) es una secuencia
  de números reales
  de manera que cada término de la
• sucesión se obtiene sumándole al anterior
  una cantidad fija, d, llamada diferencia .
• Veamos algunos ejemplos
• -8, -3, 2, 7, 12, 17,... es una PA con a1 -8 y
  d 5.
• 70, 40, 10, -20, -50,...es una PA con a1 70 y d
  -30.
• 3/2, 4, 13/2, 9, 23/2, 14,... es una PA con a1
  3/2 y d 5/2.
• De esta manera se tiene que

En general tenemos que
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En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la
suma de los n primeros términos de una PA
Esto nos permite averiguar cómodamente el valor
de Tn 1 2 3 .... n. Observamos que el
enésimo número triangular se construye sumando
los n primeros términos de la sencilla PA 1, 2,
3, 4, ......, n, de primer término 1, enésimo
término n y diferencia 1. Si aplicamos la fórmula
anterior se tiene que
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Utilicemos lo estudiado para hallar el la
expresión del enésimo número pentagonal

• P1 1
• P2 14
• P3 147
• P4 14710
• P5 1471013

Si consideramos la PA 1, 3, 4, 7,10, 13,... de
primer término 1 y diferencia 3, tenemos que Pn
se corresponde con la suma de los n primeros
términos de la sucesión. En virtud de las
fórmulas que hemos visto
Hallar, mediante una técnica similar, el término
general de los números hexagonales y estrellados
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DIFERENCIAS FINITAS

• Comencemos estudiando las diferencias entre los
  términos consecutivos de una PA cualquiera, por
  ejemplo, la 8, 12, 16, 20,...

La primera diferencia es constante
Veamos la tabla de diferencias de la sucesión de
números hexagonales
La segunda diferencia es constante
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Sucesión de números cúbicos..
La tercera diferencia es constante
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• En general, si una secuencia a1 , a2 , a3 ,
  a4,... Tiene las primeras diferencias fijas
  podemos concluir que la secuencia es una
  progresión aritmética de diferencia d y primer
  término a1

• Realiza la tabla de diferencias para las
  secuencias de término general
• 2 n 5,
• 3 n - 1 y
• -6 n 9.
• d) Cómo son las secuencias de término general
  an a n b?

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• Veamos que cuando el término general de una
  secuencia viene dada por un polinomio de segundo
  grado en n,
• an a n 2 b n c, las segundas
  diferencias son constantes

Recíprocamente, si las segundas diferencias son
constantes el término general será del tipo  an
a n2 b n c. Se pueden hallar los coeficientes
a, b y c de la siguiente forma la diferencia
segunda es el doble del valor de a, para obtener
el valor de b hay que restarle 3a al primer
valor de D1. Por último, para obtener el
coeficiente c, se restan a y b al primer término
de la secuencia.
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• Comprueba lo anterior con la tabla de diferencias
  para las secuencias de término general
•   a) n2 3n 2
• b) -n2 7
• Investiga utilizando diferencias el patrón de la
  secuencia de los números tetraédricos.
• Estudia las diferencias de una sucesión de
  término general an a n3 b n2 c n d
• Halla el término general de las secuencias
• 2, 9, 20, 35, 54, 77,....
• 4, 5, 8, 13, 20, 29,....

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• Llamamos números poligonales a los que se generan
  mediante un polígono triangulares, cuadrados,
  pentagonales, hexagonales, etc. Comprueba que, si
  en la fórmula
• cambiamos b por 1 obtenemos la expresión
  general de los números triangulares si la
  cambiamos por 2 obtenemos la de los números
  cuadrados si lo hacemos por 3 se obtiene la de
  los pentagonales, ...
• Comprueba que se verifican las siguientes
  relaciones
• CnTn Tn-1
• PnCn Tn-1
• HnPn Tn-1

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• No siempre nos valen las diferencias
• Cuando el término general de una secuencia no
  sea un polinomio en n no podremos utilizar la
  técnica de las diferencias finitas. Veremos
  algunos casos en que esto ocurre y aprovecharemos
  para estudiar dos tipos de secuencias que también
  son muy frecuentes en la literatura matemática
  las progresiones geométricas y las sucesiones
  recurrentes.
• Estudiemos ahora el siguiente caso
• supongamos infinito el proceso de
• construcción de cuadrados (el
• cuadrado grande tiene lado 1).
• Cuánto mide, cuando llevamos
• n cuadrados, la longitud de la línea
• negra?
• Y si considerásemos a la infinidad
• de ellos?
• Resuelve la cuestión cuando leas el
• siguiente apartado

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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

• Una progresión geométrica (PG) es una secuencia
  de números reales de manera que cada término de
  la sucesión se obtiene multiplicando el anterior
  una cantidad fija, r, llamada razón.
• De esta manera se tiene que

29

• En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la
  suma de los n primeros términos de una PG

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Halla el perímetro del copo de nieve de n capas
En la fórmula de la suma de los n primeros
términos de una PG , si -1 lt r lt 1, se tiene que
, es decir, r a la n se
acercará a cero tanto como queramos, tomando n
suficientemente grande. En consecuencia la
fórmula de la suma de los infinitos términos de
una PG sería Calcula la longitud de la línea
quebrada cuando el proceso de inscribir cuadrados
se hace infinito. Cómo será el perímetro del
copo en ese mismo caso?
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SUCESIONES RECURRENTES

• De manera algo imprecisa podemos definir las
  sucesiones recurrentes como aquellas en las que
  un término se expresa en función de términos
  anteriores. Veamos un par de casos que aclaren la
  idea
• Averiguar el número de caminos distintos que se
  pueden tomar desde los vértices numerados para
  llegar hasta 0 (no vale retroceder)

En el esquema se muestra que C n C n-1 C n-2
(cada término es la suma de los dos
anteriores) Según esto la secuencia es 1, 2, 3,
5, 8, 13, ... Comprueba que al hacer las
diferencias termina apareciendo la propia
sucesión, con lo que no se hacen constantes y es
imposible determinar, de esta manera, su término
general.
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Las Torres de Hanoi 

• Hay que traspasar los discos a otro poste, de
  forma que queden en la misma posición. Los discos
  sólo pueden situarse descansando en alguno de los
  tres postes, sin que un disco mayor pueda
  colocarse sobre otro menor.
• Hallar la secuencia
• Nº. De discos 1 2
  ............................ n
• Nº. mínimo de
• movimientos 1 3
  ............................
• superpresentaciones power point!!!\animaciones
  Juegos\torrehanoi.pps

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• METODOLOGÍA
• Comenzar por pocos discos.
• Observar que antes de terminar el juego con n
  discos, hay que hacerlo con n -1, siendo
• A n A n-1 1 A n-1 1 2 A n-1 .
• Observar que de A1 1 A2 3 A3 7 A4 15
• A5 15 etc, se sigue que An 2 n - 1.
• Del hecho de que A n 1 2 A n-1 se deduce
  que las diferencia primera será
• D A n1 - A n 1 2 A n - A n 1 A n que
  no se hace constante. Puedes estudiar lo que
  ocurre con las demás diferencias y comprobarás
  que ocurre lo mismo.
• Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones
  recurrentes y, en el caso de las torres de Hanoi,
  hemos hallado una expresión para su término
  general An 2 n - 1.

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Problemas

• Veamos otro clásico problema Un hortelano vendió
  al primero de sus compradores la mitad de las
  manzanas de su jardín más media manzana al
  segundo la mitad de las restantes más media, al
  tercero la mitad de las que quedaban más otra
  media manzana, etc. El séptimo comprador, al
  adquirir la mitad de las manzanas sobrantes más
  media manzana, agotó la mercancía. Cuántas
  manzanas tenía el jardín? 
• Determina la expresión de An

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• Demuestra que si multiplicas por ocho un número
  triangular, y sumas uno, obtienes un número
  cuadrado. Intenta demostrarlo mediante un esquema
  geométrico. (NOTA la demostración algebraica
  requiere expresar  4n2 4n 1 como cuadrado
  perfecto)
• Realiza las sumas
• 135.....(2n1)
• 345.....(n2)
• 5811....(3n2)

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• Cuántos trozos, no necesariamente iguales, se
  pueden obtener como máximo al realizar n cortes
  sobre una tarta?

Intenta obtener el máximo con 5 y 6 cortes y
comprueba si lo has conseguido, sabiendo que las
diferencias segundas de dicha secuencia se hacen
constantes.
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• Se necesitaron 20 cubos para construir esta torre
  de 4 capas. Expresa el número de cubos necesario
  para realizar una de n capas.

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• Halla An (número máximo de regiones obtenidas por
  intersección de n círculos)

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• A veces las apariencias engañan. Si
  observamos el número máximo de
• regiones que se pueden obtener al unir n
  puntos de una circunferencia, la observación de
  los 5 primeros términos parece indicar que la
  secuencia sigue la fórmula An 2n-1. Claramente
  se ve que el término sexto no cumple ya esa
  regla. Determina la expresión general de la
  sucesión, sabiendo que sus primeros términos son
  1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256,... y que
  sus cuartas diferencias son constantes.

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• Muchas gracias