Incomensurabilidade entre o lado e a diagonal do pent

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Incomensurabilidade entre o lado e a diagonal do
pentágono.

• Introdução O que é um pentagrama?

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O Pentagrama

• O pentagrama é uma figura geométrica que está
  intimamente relacionada aos pitagóricos
• O pentagrama é a figura formada pela união das
  diagonais de um pentágono regular
• A construção deste pentágono utilizando somente
  régua e compasso está detalhada no ambiente
  Cabri.

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Figura 1 Pentagrama.
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A matemática envolvida

• O pentagrama é uma de difícil construção, porém
  ele é repleto de boas propriedades, que serão
  detalhadas posteriormente
• Paralelamente, construímos um pentagrama no
  ambiente Geometers Sketchpad semelhante ao da
  Figura2.

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Figura2 O pentagrama e a incomensurabilidade.
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Propriedades do pentagrama

• O pentagrama é baseado em triângulos isósceles
  cujos ângulos da base são o dobro do ângulo
  remanesnescente
• Todos os ângulos na Figura2 são múltiplos do
  ângulos fundamental BÂC 36 graus.
• Por semelhança de triângulos, temos que AF BE.
  

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Incomensurabilidade

• Aplicando o algoritmo de antifairese entre o lado
  AB e a diagonal AD temos
• AB AE EB AD EG onde EG é a diagonal do
  pentágono menor e é menor do que AD
• AD AF FE onde FE é o lado do pentágono menor
  e é menor do que AF.

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Conclusão

• Aplicando o algoritmo de antifairese, entre a
  diagonal e o lado do pentágono teremos, após dois
  passos, que repetir o processo para o pentagrama
  menor, e este processo continua indefinidamente.
• Usando isso como critério de incomensurabilidade
  temos que o lado e a diagonal do pentágono são
  incomensuráveis.
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