Fungsi, Persamaan Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

1
FUNGSI

• Fungsi, Persamaan Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

2
RELASI DAN FUNGSI

• Kompetensi Dasar
• Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi

• Indikator
• Konsep relasi dan fungsi dibedakan dengan jelas
• Jenis-jenis fungsi diuraikan dan ditunjukkan
  contohnya

3
RELASI DAN FUNGSI
A
B
Perhatikan anak panahnya
8?
? 4
relasinya adalah dua kali dari
4
RELASI DAN FUNGSI
2
x
4
6
8
f(x)
1
2
3
4
f(x)
rumus pemetaannya f(x)
x
5
RELASI DAN FUNGSI

• Ada 3 cara dalam menyatakan suatu relasi
• Diagram panah
• Himpunan pasangan berurutan
• Diagram Cartesius
• Contoh
• Diketahui himpunan A 1,2,3,4,5 dan himpunan B
  becak, mobil, sepeda, motor,bemo. Relasi yang
  menghubungkan himpunan A ke himpunan B adalah
  banyak roda dari. Tunjukkan relasi tersebut
  dengan
• Diagram panah
• Himpunan pasangan berurutan
• Diagram Cartesius

6
RELASI DAN FUNGSI

• Jawab
• a. Diagram panah

c. Diagram Cartesius
Y
banyak roda dari
1.
. becak
becak

2.

mobil
. mobil
3.
motor

. motor
4.
sepeda
. sepeda

5.
. bemo
bemo

X
O
1
2
3
4
A
B
b. Himpunan pasangan berurutan (2, sepeda),
(2, motor), (3, becak) (3, bemo), (4, mobil )
7
Pengertian Fungsi
RELASI DAN FUNGSI
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B
adalah suatu relasi yang memasangkan setiap
elemen dari A secara tunggal , dengan elemen
pada B
. . . . . . .
. . . .
A
B
f
8
Beberapa cara penyajian fungsi
RELASI DAN FUNGSI

• Dengan diagram panah
• f D ? K. Lambang fungsi tidak harus f.
  Misalnya,
• un n2 2n atau u(n) n2 2n
• Dengan diagram Kartesius
• Himpunan pasangan berurutan
• Dalam bentuk tabel

9
Contoh grafik fungsi
RELASI DAN FUNGSI
Gambarlah grafik sebuah fungsi f x ? f(x)
x2 dengan Df 2, 1, 0, 1, 2, Rf 0, 1,
4.
Y
(2,4)
(2,4)

• 4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan juga dari
  2.
• 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan
  dilambangkan f1(4) 2 atau 2.
• Grafik Kartesius merupakan grafik fungsi yf(x)
  hanya apabila setiap garis sejajar sumbu- Y yang
  memotong grafik hanya memotong di tepat satu
  titik saja.

(1,1)
(1,1)
X
(0,0)
O
10
Beberapa Fungsi Khusus
RELASI DAN FUNGSI

• 1). Fungsi Konstan
• 2). Fungsi Identitas
• 3). Fungsi Modulus
• 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
  
• Fungsi genap jika f(?x) f(x), dan
  Fungsi ganjil jika f(?x) ?f(x)
• 5). Fungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat
  Terbesar x b b ? x lt b 1, b bilangan
  bulat, x?R
• Misal, jika ?2 ? x lt ?1 maka x ?2
• 6). Fungsi Linear
• 7). Fungsi Kuadrat
• 8). Fungsi Turunan

11
Jenis Fungsi
RELASI DAN FUNGSI

• 1. Injektif ( Satu-satu)Fungsi fA?B adalah
  fungsi injektif apabila setiap dua elemen yang
  berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen
  yang berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) 2x
  adalah fungsi satu-satu dan f(x) x2 bukan suatu
  fungsi satu-satu sebab f(-2) f(2).

2. Surjektif (Onto)Fungsi f A?B maka apabila
f(A) ? B dikenal fungsi into. Jika f(A) B maka
f adalah suatu fungsi surjektif. Fungsi f(x)
x2 bukan fungsi yang onto
3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)Apabila f
A? B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka
f adalah fungsi yang bijektif
12
FUNGSI LINEAR

• 1.Bentuk Umum Fungsi Linear
• Fungsi ini memetakan setiap x R kesuatu
  bentuk ax b dengan
• a ? 0, a dan b konstanta.

Grafiknya berbentuk garis lurus yang disebut
grafik fungsi linear dengan Persamaan y mx c,
m disebut gradien dan c konstanta
2. Grafik Fungsi Linear Cara menggambar
grafik fungsi linear ada 2 1. Dengan tabel
2. Dengan menentukan titik- titik potong
dengan sumbu x dan sumbu y
13
FUNGSI LINEAR

• Contoh
• Suatu fungsi linear ditentukan oleh y 4x 2
  dengan daerah asal
• Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan
  diatas .
• Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram
  Cartesius.
• Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan
  sumbu Y.

x \-1 x 2, x R.
Jawab
a. Ambil sembarang titik pada domain


-1
0
1
2
X
2
-6
-2
Y 4x-2
6
Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6),
(0,-2), (1,2), (2,6)
14
FUNGSI LINEAR
Y
c. Titik potong dengan sumbu x ( y 0 ) y
4x 2 0 4x - 2 2 4x x

• b.

6

2

Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0)
X
1
2
O
Titik potong dengan sumbu Y ( x 0 )
y 4x 2 y 4(0) 2
y -2 Jadi titik potong dengan sumbu Y
adalah (0,-2)
-2
-1
-2


-6
15
FUNGSI LINEAR

• 3. Gradien Persamaan Garis Lurus
• Cara menentukan gradien
• (i). Persamaan bentuk y mxc, gradiennya
  adalah m.
• (ii). Persamaan bentuk axbyc0 atau axby-c
  adalah m
• (iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik
  (x1,y1) dan (x2,y2), gradiennya adalah m

• Contoh
• Tentukan gradien persamaan garis berikut
• a. y 3x 4
• b. 2x 5y 7
• 2. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan
  titik (-2,3) dan (1,6)

16
FUNGSI LINEAR

• Jawab
• 1a. Y 3x 4
• gradien m 3
• b. 2x - 5y 7, a 2 dan b - 5
• m -

2. m
1
17
FUNGSI LINEAR

• 4. Menentukan Persamaan Garis Lurus
• Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan
  gradien m adalah y y1 m ( x x1 )
• Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan
  (x2,y2) adalah

Contoh 1 Tentukan persamaan garis yang melalui
titik ( -2, 1 ) dan gradien -2
Jawab y y1 m ( x x1 ) y 1
-2 ( x (-2)) y - 1 -2x 4 y
-2x - 3
18
FUNGSI LINEAR

• Contoh 2
• Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2,
  3) dan Q(1,4)

Jawab
3(y 3) 1(x 2) 3y
9 x 2 3y - x 11 0
19
FUNGSI LINEAR

• 5. Kedudukan dua garis lurus
• Dua garis saling berpotongan jika m1 ? m2
• Dua garis saling sejajar jika m1 m2
• Dua garis saling tegak lurus jika m1. m2 -1
  atau m1 -

• Contoh
• Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik
  (2,-3) dan sejajar dengan garis x 2y 3 0
• Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik
  (-3,5) dan tegak lurus pada 6x 3y 10 0

20
FUNGSI LINEAR

• Jawab
• 1. Diketahui persamaan garis x 2y 3 0
• maka
• Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien
  adalah
• y y1 m ( x x1)
• y 3 ½ ( x 2 )
• y 3 ½ x 1
• 2y 6 x 2
• x 2y 8 0
• Jadi persamaan garis lurus yang sejajar dengan
  garis x 2y 3 0 dan melalui titik (2,-3)
  adalah x 2y 8 0

21
FUNGSI LINEAR

• 2. Diketahui persamaan garis 6x 3y 10 0.
• Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik
  (-3,5) dan bergradien -½, maka persamaannya
  adalah
• y y1 m(x x1)
• y 5 -½ (x 3)
• y 5 -½x -
• 2y 10 -x 3
• x 2y 10 3 0
• x 2y 7 0
• Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik
  (-3,5) dan tegak lurus garis 6x 3y 10 0
  adalah x 2y 7 0.

22
FUNGSI KUADRAT

• 1.Bentuk umum fungsi kuadrat y f(x)
  ?ax2bxc dengan a,b, c ? R dan a ? 0 Grafik
  fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris

2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat
Berdasarkan nilai a (i) Jika a gt 0 (positif),
maka grafik terbuka ke atas. Fungsi kuadrat
memiliki nilai ekstrim minimum, dinotasikan ymin
atau titik balik minimum. (ii) Jika a lt 0
(negatif), maka grafik terbuka ke bawah. Fungsi
kuadrat memiliki nilai ekstrim maksimum,
dinotasikan ymaks atau titik balik maksimum.
23
FUNGSI KUADRAT
Berdasarkan Nilai Diskriminan (D) Nilai
diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D b2
4ac

• Hubungan antara D dengan titik potong grafik
  dengan sumbu X
• Jika D gt 0 maka grafik memotong sumbu X di dua
  titik yang berbeda.
• Jika D 0 maka grafik menyinggung sumbu X di
  sebuah titik.
• Jika D lt 0 maka grafik tidak memotong dan tidak
  menyinggung sumbu X.

24
Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X
FUNGSI KUADRAT
a gt 0 D 0
a gt 0 D lt 0
a gt 0 D gt 0
X
a lt 0 D 0
a lt 0 D gt 0
a lt 0 D lt 0
25
3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
FUNGSI KUADRAT

• Langkah-langkah menggambar
  grafik fungsi kuadrat
• (i) Menentukan titik potong dengan sumbu
  X (y 0)
• (ii) Menentukan titik potong dengan sumbu
  Y (x 0)
• (iii) Menentukan sumbu simentri dan
  koordinat titik balik
• Persamaan sumbu simetri adalah x
• Koordinat titik puncak / titik balik adalah
• (iv) Menentukan beberapa titik bantu lainnya
  (jika di perlukan)

26
FUNGSI KUADRAT

• Contoh

Gambarlah grafik fungsi kuadrat y x2 4x
5.
Jawab
(i) Titik potong dengan sumbu X (y 0)
x2 4x 5 0 (x
1)(x 5) 0 x -1 atau x
5 Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah
titik (-1, 0) dan (5, 0).

• Titik potong dengan sumbu Y (x 0)
• y 02 4(0) 5
• y -5
• Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah titik (
  0, -5 )

27
FUNGSI KUADRAT

• (iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik

Jadi, sumbu simetrinya x 2 dan koordinat titik
baliknya (2, -9).
(iv) Menentukan beberapa titik bantu. Misal
untuk x 1, maka y -8. Jadi, titik
bantunya (1, -8).
28
FUNGSI KUADRAT

• Grafiknya

Y
X


-1 0 1 2 3
4 5
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9





29
FUNGSI KUADRAT

• Persamaan fungsi kuadrat f(x) ax2 bx c
  apabila diketahui grafik fungsi melalui tiga titik

Contoh
Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik
(1,-4), (0,-3) dan (4,5)
Jawab
f(x) ax2 bx c f(1) a(1)2 b(1) c -4
a b c -4 . . . 1) f(0) a(0)2
b(0) c -3 0 0 c -3
c -3 . . . 2) f(4) a(4)2 b(4)
c 5 16a 4b c 5 . . . 3)
30
FUNGSI KUADRAT

• Substitusi 2) ke 1)
• a b 3 -4
• a b -1 . . . 4)
• Substitusi 2) ke 3)
• 16a 4b 3 5
• 16a 4b 8 . . . 5)

Dari 4) dan 5) diperoleh a b -1 x
4 4a 4b -4 16a 4b 8 x 1 16a
4b 8 _
-12a -12
a 1
Substitusi a 1 ke 4) 1 b -1
b -2 Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) x2
-2x -3
31
FUNGSI KUADRAT

• Persamaan fungsi kuadrat f(x) ax2 bx c
  apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu
  X dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan
  rumus berikut .

Contoh
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong
sumbu X di titik A (1,0), B(-3,0), dan memotong
sumbu Y di titik (0,3)
32
FUNGSI KUADRAT

• Jawab
• Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x)
  menjadi
• f(x) a(x 1)(x 3) . . . 1)
• Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1)
  menjadi
• 3 a(0 - 1)(x 3)
• 3 -3a
• a -1
• Persamaan fungsi kuadratnya menjadi
• Jadi fungsi kuadratnya adalah

33
FUNGSI KUADRAT

• Persamaan fungsi kuadrat f(x) ax2 bx c
  apabila diketahui titik puncak grafik (xp yp)
  dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan
  rumus berikut.

34
FUNGSI KUADRAT
Contoh
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik
puncaknya (-1, 9) dan melalui (3, -7)
Jawab

• f(x) a(x xp)2 yp (xp , yp)
  (-1, 9)
• f(x) a(x 1 )2 9 . . . 1)
• 
  
• Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1)
  menjadi
• -7 a(3 1)2 9
• -16 16 a
• a 1

35
FUNGSI EKSPONEN
?2 3
?22
f(x) 2X
?2 1
?20
?21
?22
?23
...
?2n
D domain
K kodomain
36
FUNGSI EKSPONEN

• Grafik f x ? f(x) 2x
• untuk x bulat dalam 0, 5
• adalah

x
0
1
2
3
4
5
F(x)2x
16
1
2
4
8
32
37
FUNGSI EKSPONEN
Grafik f(x) dan g(x)
x
38
FUNGSI EKSPONEN
Kedua grafik melalui titik (0, 1)
Sifat
Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y
Grafik f x ? 2x merupakan grafik naik/mendaki
dan grafik g x ?
x
merupakan grafik yang menurun, dan keduanya
berada di atas sumbu X (nilai fungsi senantiasa
positif)
Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai nilai
2x dan nilai
untuk berbagai nilai x real
Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil
perpangkatannya diketahui. Atau menentukan nilai
logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma
2.
39
FUNGSI LOGARITMA

• Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen.
• Fungsi logaritma juga merupakan kebalikan
  dari fungsi eksponen.

Secara umum fungsi logaritma didefinisikan
sebagai berikut
Untuk a gt 1, a R
40
FUNGSI LOGARITMA

• Secara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi
  logaritma adalah sebagai berikut

41
FUNGSI LOGARITMA

• Contoh 1

• Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk
  logaritma yang ekivalen
• 8 23
• ¼ 2-2

• Jawab
• 8 23 2 log 8 3
• ¼ 2-2 2 log ¼ -2

• Contoh 2
• Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk
  perpangkatan yang ekuivalen
• 4 2 log 16
• -6 2 log

• Jawab
• 4 2log 16 24 16
• -6 2log 2-6

42
FUNGSI LOGARITMA

• Contoh 3

Gambarkan grafik fungsi f(x) 2 log x2
Jawab Sebelum menggambar grafik kita dapat
menggunakan bantuan tabel berikut.







x
f(x) 2 log x2
¼
0
½
1
1
2
2
3
4
4
5
8
43
FUNGSI LOGARITMA

• Grafiknya

Y
6

5
4
3
2
1
X
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2
44
FUNGSI TRIGONOMETRI
Grafik y sin x
1
amplitudo
0
900
1800
2700
3600
-1
1 periode
45
FUNGSI TRIGONOMETRI
Grafik y 2 sin x
Periode 3600
2
Amlpitudo 2
1
0
900
1800
2700
3600
-1
Ysin x
-2
46
FUNGSI TRIGONOMETRI
Grafik y sin 2x
pereode
amplitudo
450
1350
2250
3150
Ysin x
47
FUNGSI TRIGONOMETRI
Grafik y cos x
1
amplitudo
-900
-900
00
900
1800
2700
-1
1 periode
48
FUNGSI TRIGONOMETRI
Grafik y 2cos x
periode
2
amplitudo
Ycos x
-2