Funciones

1
Funciones
2
Funciones
Tipos
Definición
Formas de expresar
Características
Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas
Funciones Pares e Impares
3
Función

• Definición
• Una función es una relación entre un conjunto
  dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos
  Y (el rango) de manera que a cada elemento x del
  dominio le corresponda uno y solo un elemento del
  rango f(x).
• A cada Pre Imagen le corresponde una sola y solo
  una Imagen.

4
Formas de expresar una función
Una función se puede expresar de 4 distintas
formas
Enunciado
Tabla
Gráfica
Algebraicamente
5
Una función se expresa a través de una tabla,
cuando se dan algunos valores de X con los
valores correspondientes de Y.
Ejemplo
X 0 2 8 10 12
Y 3 4 2 8 10
6
Una función se expresa a través de un enunciado
cuando se describe verbalmente.
Ejemplo Una función, es la relación entre los
elementos del dominio y los del rango.
7
Una función se expresa a través de una formula o
expresión algebraica cuando se da una ecuación en
la que se relacionan las variables X y Y.
Ejemplo
f(x) 4X2 3X 8
f(x) 2X 4
f(x) X3 2X2 4X 3
8
Una función se expresa a través de una gráfica,
cuando se representan los pares (x,y) en el plano
cartesiano. Ejemplo
9
Características de las funciones
Variable dependiente Variable independiente
Imagen Pre Imagen
Conjunto de salida Conjunto de llegada
Dominio Rango
Punto de corte con X Punto de corte con Y
Crecimiento Periodicidad Máximos y mínimos
10

• Son los posibles valores del conjunto de
  llegada. La variable dependiente se llama Y.

Son los posibles valores del conjunto de salida.
La variable independiente se llama X.
Características
11
f
a
1 b
2 c
3

4

• Los elementos principales de una función son los
  posibles valores que pueden tomar ambas
  variables. Estos valores son llamados Imágenes y
  Pre Imágenes.

Y
X
Imagen Los valores del conjunto de llegada que
se relacionan con los valores del conjunto de
salida. Pre Imagen Los valores del conjunto de
salida que se relacionan con los valores del
conjunto de llegada.
Características
12
Rango Conjunto de elementos del conjunto de
llegada que están relacionadas con un valor del
conjunto de salida.
Dominio Conjunto de elementos del conjunto de
salida que están relacionadas con algún elemento
del conjunto de llegada.
Características
13

• Conjunto de Salida Conjunto de Pre Imágenes.
• Conjunto de Llegada Conjunto de
  Imágenes.

Características
14

• Punto de corte con X Se halla cuando Y0. Se
  iguala la función a 0, o se factorisa.

Punto de corte con Y Se halla cuando X0. Se
reemplaza X por 0.
Características
15
Periodicidad Una función es periódica, si su
gráfica se repite en intervalos de amplitud
constante. Periodo Longitud del intervalo que se
repite.
Máximos y mínimos Máximo relativo Es un punto
en el que el valor de la función es mayor que en
los puntos que están próximos. Mínimo relativo
Es un punto en el que el valor de la función es
menor que en los puntos que están próximos.
Crecimiento Función creciente Es creciente
cuando al aumentar los valores de X, aumenta
Y. Función decreciente Es decreciente, cuando al
aumentar los valores de X, disminuye Y.
Características
16

• Funciones Inyectivas
• Una función es Inyectiva si a cada valor del
  dominio le corresponde un valor del rango. No
  puede haber dos o mas elementos del dominio con
  la misma imagen.

• Funciones Sobreyectivas
• Una función es Sobreyectiva si cada elemento del
  rango es como mínimo la imagen de un elemento del
  domino.

X
Y
X
Y
1 2 3 4
D B C
1 2 3
D B C A
17
Función Biyectiva

• Una función es Biyectiva cuando todos los
  elementos del conjunto de salida tienen una
  imagen distinta en el conjunto de llegada
  (inyectiva), sumándole que a cada elemento del
  conjunto de salida le corresponde un elemento del
  conjunto de llegada (sobreyectiva).

X
Y
1 2 3 4
D B C A
18

• Función Par
• Se llama función par a la que para todo x
  perteneciente al Domino de la función, se cumple
  que
• Se produce una simetría con respecto al eje y.
• Ejemplo
• f(x) X2
• f(-2) 4
• f(2) 4
• Todas las funciones pares cumplen la ecuación

• Función Impar
• Se llama función impar a la que para todo x
  perteneciente al Dominio de la función, se cumple
  que
• Se produce una simetría con respecto al origen de
  coordenadas.
• Ejemplo
• f(x) X3
• f(2)8
• f(-2)-8
• Todas las funciones impares cumplen la ecuación

19
(No Transcript)
20
(No Transcript)
21
Tipos de funciones
Por Partes o A Trozos
Exponencial
Racional
Polinómicas
Trigonométricas
Logarítmica
Valor Absoluto
22
Funciones polinómicas
Grado Par
Constante
Grado Impar
Cuadrática
Lineal
Cúbica
Afín
Idéntica
23
Generalidades de una función polinómica

• Se llama función polinómica a toda aquella que
  está definida por medio de polinomios.
• Según el grado del polinomio, las funciones
  polinómicas se pueden clasificar en
• En el conjunto de las funciones polinómicas
  pueden definirse los siguientes tipos de
  operaciones
• Suma de dos funciones f (x) y g (x) produce una
  nueva función (f g) (x).
• Producto de una función f (x) por un número l
  produce una nueva función (l f) (x).
• Producto de dos funciones f (x) y g (x) resulta
  una nueva función (f g) (x).

Grado Nombre Expresión 0
Constante y a 1
Lineal y ax b 2
Cuadrática y ax2 bx c 3
Cúbica y ax3 bx2 cx d
24
Función Constante

• Es una función polinómica de grado cero que no
  depende de ninguna variable.
• Se define por la ecuación y a

Elementos
Dominio IR Rango a Conjunto de Salida
IR Conjunto de Llegada IR Punto de corte con x
no existe Punto de corte con y a
EJEMPLO
25
Constante
Análisis y 6 Dominio-Conjunto de salida
IR Conjunto de llegada IR Rango 6 Punto de
corte con y 6
26
Función Afín

• La función afín viene dada por la ecuación y
  mxn
• Donde X y Y son las variables
• m es la pendiente
• n es la ordenada en el origen

La m de una recta determina la inclinación de la
misma, entonces Si mlt0 decreciente Si mgt0
creciente Si m0 constante m se calcula
Elementos

• Dominio IR
• Conjunto de Salida IR
• Rango IR
• Conjunto de Llegada IR
• Punto de corte con y n

EJEMPLO
27
Afín
Análisis y 6x 2 Dominio-Conjunto de salida
IR Rango-Conjunto de llegada IR Punto de corte
con y 2 Punto de corte con x -1/3 Pendiente 6
28
Funciones de grado par

• Las funciones de grado par son las funciones en
  las que el mayor grado del polinomio es par.
• Se definen por la ecuación

y ax(2n) bx(2n)-1 cx(2n)-2 dx e
EJEMPLO
29
grado par
y 2X4 4x3 6x2 x 8
30
Función Cuadrática

• Es una función polinómica que se define mediante
  un polinomio de segundo grado como
• Es una parábola vertical, orientada hacia arriba
  o hacia abajo según sea el signo de a.
• El vértice de una parábola se halla mediante la
  ecuación

• Dominio IR
• Rango (máximo o mínimo relativo,
• Conjunto de salida IR
• Conjunto de llegada IR
• Punto/s de corte con x y 0, se halla/n mediante
  la formula cuadrática
• Punto de corte con y c

Elementos
EJEMPLO
31
Cuadrática
Análisis y x2 3x 4 Dominio-Conjunto de
salida IR Rango-Conjunto de llegada IR Punto de
corte con y -4 Punto de corte con x -4,
1 Mínimo relativo -3/2
32
Funciones de grado impar

• Las funciones de grado impar son las funciones en
  las que el mayor grado del polinomio es impar.
• Se definen por la ecuación

y ax(2n-1) bx(2n-1)-1 cx(2n-1)-2 dx e
EJEMPLO
33
grado impar
y 3x3 2x2 x 4
34
Función Lineal
Es la función que se define por la ecuación y
mx
Elementos
Dominio IR Rango IR Conjunto de Salida
IR Conjunto de Llegada IR Punto de corte con Y
0 Punto de corte con X 0
EJEMPLO
35
Lineal
Análisis y 4x Dominio-Conjunto de salida
IR Rango-Conjunto de llegada IR Punto de corte
con y 0 Punto de corte con x 0 Pendiente 4
36
Función Idéntica

• Es la función que asigna como imagen a cada
  elemento del dominio el mismo elemento.
• Se define por la ecuación y x
• Su pendiente es m1
• Su gráfica es la recta bisectriz de los
  cuadrantes primero y tercero.

Elementos

• Dominio IR
• Conjunto de Salida IR
• Rango IR
• Conjunto de Llegada IR
• Punto de corte con X y Y 0

EJEMPLO
37
Idéntica
Análisis y x Dominio-Conjunto de salida
IR Rango-Conjunto de llegada IR Punto de corte
con y 0 Punto de corte con x 0
38
Función Cúbica

• Función que tiene la forma, o puede ser llevada a
  la forma
• con a ? 0 , a,b,c,d ? IR

Elementos
Dominio IR Conjunto de Salida IR Rango
IR Conjunto de Llegada IR Punto de corte con y d
EJEMPLO
39
Cúbica
Análisis y x3 3x2 4x 6 Domino-Conjunto
de salida IR Rango-Conjunto de llegada IR Punto
de corte con y 6 Punto de corte con x -2.5
40
Referencias de consulta

• http//es.wikipedia.org/wiki/FunciC3B3n_impar
• http//www.x.edu.uy/lineal.htm
• http//thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-0
  2/indice.htm
• http//personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logar
  itmica.htm
• http//es.wikipedia.org/wiki/FunciC3B3n_par
• http//www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-i
  mpar
• http//www.amschool.edu.sv/Paes/f8.htm
• http//matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_Funcio
  nes.pdf
• http//docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf
  /1_2.pdf
• http//www.vitutor.com/fun/2/c_4.html
• http//www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracion
  al.html
• http//descartes.cnice.mec.es/materiales_didactico
  s/Funciones_formas_de_expresar/elementos.htm
• http//es.wikipedia.org/wiki/FunciC3B3n_inyectiv
  a
• http//es.wikipedia.org/wiki/FunciC3B3n_biyectiv
  a
• http//es.wikipedia.org/wiki/FunciC3B3n_sobreyec
  tiva