Pewarnaan graph Pertemuan 20: (Off Class)

1
Pewarnaan graph Pertemuan 20 (Off Class)

• Mata kuliah K0144/ Matematika Diskrit
• Tahun 2008

2
Learning Outcomes

• Mahasiswa dapat meyimpulkan arti dari pewarnaan
  graph dan contoh tentang penyelesaian sesuatu
  masalah dengan menggunakan warnaan graph..

3
Outline Materi

• Arti pewarnaan graph
• Jenis pewarnaan graph
• Pewarnaan titik, rusuk daerah
• Bilangan kromatik
• Aplikasi pewarnaan graph..

4
Graph Coloring Problem

• Graph coloring is an assignment of "colors",
  almost always taken to be consecutive integers
  starting from 1 without loss of generality, to
  certain objects in a graph. Such objects can be
  vertices, edges, faces, or a mixture of the
  above.
• Application examples scheduling, register
  allocation in a microprocessor, frequency
  assignment in mobile radios, and pattern matching

5
Vertex Coloring Problem

• Assignment of colors to the vertices of the graph
  such that proper coloring takes place (no two
  adjacent vertices are assigned the same color)
• Chromatic number least number of colors needed
  to color the graph
• A graph that can be assigned a (proper)
  k-coloring is k-colorable, and it is k-chromatic
  if its chromatic number is exactly k.

6
Vertex Coloring Problem

• The problem of finding a minimum coloring of a
  graph is NP-Hard
• The corresponding decision problem (Is there a
  coloring which uses at most k colors?) is
  NP-complete
• The chromatic number for Cn 3 (n is odd) or 2
  (n is even), Kn n, Km,n 2
• Cn cycle with n vertices Kn fully connected
  graph with n vertices Km,n complete bipartite
  graph

C5
C4
K4
K2, 3
7
Vertex Covering Problem

• The Four color theorem the chromatic number of a
  planar graph is no greater than 4
• Example G1 chromatic number 3, G2 chromatic
  number 4
• (Most proofs rely on case by case analysis).

G1
G2
8
Edge Coloring

• Pewarnaan rusuk yaitu mewarnai rusuk-rusuk
  suatu graph, sedemikian hingga rusuk-rusuk yang
  insiden warna berlainan dan banyak warna minimum.
• Contoh

9
Edge Coloring Problem (2)

• Pewarnaan rusuk untuk graph lengkap (Kn).

10

• Pewarnaan Daerah
• Pewarnaan daerah dilakukan dengan terlebih dahulu
  membentuk graph tersebut menjadi graph planar
  kemudian melakukan pewarnaan untuk tiap daerah
  yang berbeda pada daerah yang berdekatan. Jumlah
  warna diambil yang paling minimum.
• Contoh Lakukan pewarnaan graph secara daerah
  untuk kasus gambar graph sebelumnya.

11
BILANGAN KROMATIK

• Bilangan kromatik dari G adalah jumlah warna
  minimum yang diperlukan untuk mewarnai graph G,
  dilambangkan dgn (G) adalah huruf
  Yunani chi
• Berapa bilangan kromatik dari graph lengkap K6,
  K10 dan Kn ?
• (Kn) n

12
ALGORITMA WELCH-POWELL

• Algoritma Welch-Powell adalah sebuah cara efisien
  untuk mewarnai sebuah graph G
• Algoritma Welch-Powell
• Urutkan simpul-simpul G dalam derajat yang
  menurun. Urutan ini mungkin tidak unik karena
  bbrp simpul mempunyai derajat sama
• Gunakan satu warna untuk mewarnai simpul pertama
  dan untuk mewarnai, dalam urutan yang berurut
  setiap simpul dari daftar yang tidak berelasi
  dengan simpul sebelumnya.
• Mulai lagi dengan dengan daftar paling tinggi dan
  ulangi proses pewarnaan simpul yang tidak
  berwarna sebelumnya dengan menggunakan warna
  kedua.
• Terus ulangi dengan penambahan warna sampai semua
  simpul telah diwarnai

13
Contoh
Graph H
Simpul V1 V4 V5 V6 V2 V3 V7
Derajat 5 4 4 4 3 3 3
Warna a b c d b c a
Jadi ?(H) 4
14
Contoh

• Graph G

Simpul V1 V6 V2 V3 V4 V5
Derajat 4 4 3 3 3 3
Warna a a b b c c
Jadi ?(G) 3
15
Contoh

• Graph H

Simpul V1 V2 V3 V4 V5 V6
Derajat 3 3 3 3 3 3
Warna a b b a a b
Jadi ?(H) 2
16
Contoh

• Graph G

Simpul V1 V5 V2 V6 V3 V4
Derajat 4 4 3 3 2 2
Warna a b b c c a
Jadi ?(G) 3
17
Contoh

• Graph H

Simpul H A D F B C E G
Derajat 5 4 4 4 3 3 3 2
Warna a b b c a c c a
Jadi ?(H) 3
18
Contoh

• Adakah graph dengan 1 warna????

19
Informasi/ Penutup

• Untuk menambah materi yang telah ada, Anda dapat
  melihat materi lain yang ada pada alam web
  berikut ini, dan klik http//www.math.getech.edu/
  thomas/FC/fourcolor.html

20
Terima kasih Semoga berhasil