TEMPS FORT MATHEMATIQUE cycle 2 l

1
TEMPS FORT MATHEMATIQUE cycle 2lapproche de la
soustraction à travers des situations problèmes

• Animation pédagogique
• Mercredi 28 novembre 2012

2
Références théoriques

• BO N3 19 juin 2008
• Equipe ERMEL INRP
• Dominique VALENTIN (Membre de lEquipe de
  Didactique des Mathématiques de l'INRP )
• Gérard VERGNAUD (Directeur de recherche au CNRS,
  spécialiste de psychologie cognitive et de
  didactique )
• Le nombre au cycle 2, SCEREN
• Site TFM (Télé Formation en Mathématiques)

3
BO N3 19 juin 2008

• La résolution de problèmes joue un rôle essentiel
  dans lactivité mathématique.
• La résolution de problèmes fait lobjet dun
  apprentissage progressif et contribue à
  construire le sens des opérations
• Conjointement, une pratique régulière du calcul
  mental est indispensable.

4
Equipe de didactique des Mathématiques ERMEL

• Le rôle de la résolution de problèmes dans la
  construction des connaissances
• Selon G.Vergnaud (Directeur de recherche au
  CNRS, spécialiste de psychologie cognitive et de
  didactique  le savoir se forme à partir de
  problèmes à résoudre, cest-à-dire de situations
  à maîtriserLes conceptions des élèves sont
  façonnées par des situations quils ont
  rencontrées .

5

• Les  problèmes pour apprendre 
• Les problèmes qui permettent de construire de
  nouvelles connaissances les  problèmes pour
  apprendre  - doivent à la fois permettre à
  lélève dutiliser ses connaissances pour
  comprendre ce quil sagit de trouver mais aussi
  lamener à prendre conscience de linadéquation
  ou de linsuffisance de ces mêmes connaissances.
• (Selon D.Valentin Un problème est une
  situation initiale avec un but à
• atteindre, demandant à un sujet délaborer une
  suite dactions et dopérations
• pour atteindre ce but. Il ny a problème que dans
  un rapport sujet/situation où la
• solution nest pas disponible demblée mais
  possible à construire. )

6

• Ces  problèmes pour apprendre  sont donc
• entièrement sous la responsabilité de
  lenseignant qui
• les construit spécifiquement pour chaque objectif
  précis.
• Ce sont souvent des situations de manipulation
  dont nous nous efforçons de faire de réelles
  situations danticipation.

7

• PROGRESSION DANS LES APPRENTISSAGES
• La progression conduit à se dégager
  progressivement des
• manipulations et à amener lélève à dépasser le
  simple stade
• de laction afin de sengager dans un processus
  de
• conceptualisation (il faut donc redéfinir la
  place du
• problème dans une séquence structurée de
  Mathématiques)

8

• 1 mettre en œuvre une situation  problème pour
  apprendre 
• - manipulations encadrées (tutelle
  indispensable)
• - construction dune nouvelle
  notion/connaissance
• - en début de situation dapprentissage ou de
  séance
• 2 conduire les élèves à identifier
  progressivement des catégories de problèmes
• Variété maîtrisée des problèmes proposés
  diversité des situations additives regroupant les
  problèmes daddition et de soustraction.

9

• 3 une fois les manipulations suffisantes
• A travers les situations multiples proposées,
  recenser les diverses procédures personnelles
  pour aller vers une procédure experte
• ? construction dune affiche de référence
  collectant les différentes procédures (allant du
  schéma, dessin, addition à trous, soustraction)
• Proposer des situations de réinvestissement, d
  automatisation, de transfert
• - problèmes dapplication (entraînement à
  la maîtrise du sens dune connaissance nouvelle
  après la construction dune connaissance)

10

• - problèmes de réinvestissement
  (utilisation dune connaissance dans un contexte
  différent de celui dans lequel on la découverte
  pour enrichir le sens dune connaissance et son
  champ dapplication)
• - problèmes complexes ou dintégration
  (utilisation conjointe de plusieurs
  connaissances après un travail sur diverses
  connaissances.)
• - problèmes ouverts (pour apprendre à
  chercher indépendamment des apprentissages
  notionnels. Ce sont souvent des problèmes à
  solutions multiples ou nayant pas de solution,
  )
• Pratiquer des situations dévaluation
  (vérification des acquisitions des connaissances)

11
II traiter conjointement les problèmes additifs
et soustractifs Les problèmes additifs et
soustractifs relèvent du même domaine conceptuel
il ny a donc pas lieu de les séparer au niveau
des apprentissages. Les savoirs se construisent
en interaction les uns avec les autres, par
 ressemblances  et par  différenciation .
(Pour mieux comprendre le signe , il lui faut un
 concurrent  ils se mettront alors en valeur
réciproquement.) Il ne sagit pas denseigner
prématurément la soustraction, mais de proposer
aux élèves de résoudre des problèmes
 soustractifs  avec leurs moyens propres et de
disposer dune écriture utilisable dans certains
contextes où elle soppose à lécriture
additive.
12

• Les différentes catégories de problèmes additifs
  et soustractifs
• 1 Recherche de létat final connaissant la
  transformation positive et létat initial.
•  Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5
  billes. Combien de billes a maintenant Léo? 
• 2 Recherche de létat final connaissant la
  transformation négative et létat initial.
•  Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à
  Juliette. Combien de billes a maintenant Léo? 
• 3 Recherche de létat initial connaissant la
  transformation positive et létat final.
•  Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné
  5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de
  billes avait Léo? 
• 4 Recherche de létat initial connaissant la
  transformation positive et létat final.
•  Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à
  Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien
  avait-il de billes? 
• 5 Recherche de la transformation positive
  connaissant létat initial et létat final.
•  Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné
  des billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de
  billes Juliette a-t-elle données à Léo? 
• 6 Recherche de la transformation négative
  connaissant létat initial et létat final.
•  Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes
  à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes. Combien de
  billes Léo a-t-il données à Juliette? 
• 7 Recherche de la composée de 2 états.
•  Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de
  billes ont Léo a-t-il données à Juliette? 

13

• 8 Recherche dun état connaissant un second
  état et la composée des 2 états.
•  Léo et Juliette ont 17 billes ensemble.
  Juliette a 8 billes. Combien Léo a-t-il de
  billes? 
• 9 Recherche de létat à comparer connaissant
  létat comparé et la comparaison positive.
•  Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que
  lui. Combien de billes Juliette a-t-elle? 
• 10 Recherche de létat à comparer connaissant
  létat comparé et la comparaison négative.
•  Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins
  que lui. Combien de billes Juliette a-t-elle? 
• 11 Recherche de létat comparé connaissant
  létat à comparer et la comparaison positive.
•  Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que
  Juliette. Combien de billes Juliette a-t-elle? 
• 12 Recherche de létat comparé connaissant
  létat à comparer et la comparaison négative.
•  Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que
  Juliette. Combien de billes Juliette a-t-elle? 
• 13 Recherche de la comparaison positive
  connaissant les 2 états.
•  Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de
  billes Juliette a-t-elle de plus que Léo? 
• 14 Recherche de la comparaison négative
  connaissant les 2 états.
•  Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de
  billes Juliette a-t-elle de moins que Léo? 

14
LA SOUSTRACTION

• Les trois sens de la soustraction
• Il y a 3 manières de concevoir la soustraction.
  Il est préférable de les
• aborder simultanément et non les unes derrière
  les autres.
• Le sens  enlever   jutilise la soustraction
  pour calculer le reste dune quantité dobjets.

Un paquet de bonbons contient 12 bonbons. Léa en donne 5 à sa soeur. Christophe avait 52 billes et il en perd 18 pendant la récréation. Combien lui en reste-t-il ? Ce sens est rapidement compris des élèves et permet dintroduire facilement le signe - . Pour obtenir le résultat, lélève peut dessiner des images et en barrer ou bien, sil effectue un réel calcul, décompter (12, 11, 10). Il y est dautant plus invité quon trouve dans lénoncé la présence de mots inducteurs  donne ,  perd .
12 5 7 Il reste 7 bonbons Ce sens est particulièrement adapté lorsquon enlève peu.
15

• Le sens  pour aller à   jutilise la
  soustraction pour calculer un complément ou ce
  qui manque

Stéphanie avait 34 images. Sa maman lui en donne dautres. Stéphanie a maintenant 50 images. Combien dimages lui a données sa maman ? Jai 25 pour acheter un jeu vidéo qui coûte 42. Combien me manque t-il ? Le sens  pour aller à  est bien adapté à la compréhension des problèmes arithmétiques nécessitant de chercher ce quon a ajouté ou de chercher une partie connaissant le tout et lautre partie. Du point de vue du calcul, ce sens facilite la recherche du résultat dune soustraction dans e cas où on enlève beaucoup.
34 pour aller à 50 42 25 17 Il me manque 17 Une recherche sur bande numérique est adaptée.
16

• Le sens  écart   jutilise la soustraction
  pour calculer un écart ou une différence.

Paul et Ingrid comparent leurs tailles. Paul mesure 164 cm et Ingrid 152 cm. Antoine a 13 images et Lucas a 28 images. Qui a le plus dimages ? Combien en a- t-il en plus ? Le sens de la différence ou écart intervient dans des problèmes de comparaison. Rien, dans ce type dénoncé ninvite à la soustraction. On peut transformer le problème en une situation dégalisation Ex combien faut-il donner dimages à Antoine pour quil en ait autant que Lucas?
Je peux calculer  164 152 12 Entre Paul et Ingrid, il y a 12 cm décart. 13 pour aller à 28 ou 28 13 15 On se rapproche alors de la situation  pour aller à . 
17
En conclusion
Lapprentissage de la technique opératoire ne
peut être dissocié de la résolution de problèmes
qui donnent du sens aux techniques de calcul. Il
est indispensable dentretenir les connaissances
et de reprendre ces types de problèmes et leur
classification régulièrement, tout au long de
lannée, dans des contextes variés et différents.
Cest un ancrage à long terme qui est
visé. Enfin, cette logique peut être transposée
au champ multiplicatif (lapproche de la
division, groupement/partage, nouvelle au CE1, se
prête particulièrement à cette démarche.