Cap

1
La Distribución Normal

• Capítulo 6

2
Continuaremos el estudio de las distribuciones de
probabilidad analizando una
distribución de probabilidad contínua
muy importante
3
Distribuciones de Probabilidad
Distribuciones de Probabilidad
Distribuciones de Probabilidad Continuas
Distribuciones de Probabilidad Discretas
CAP. 5
CAP. 6
Binomial
Normal
Poisson
4
La distribución normal
5
Repasemos
Una variable aleatoria contínua es aquella que
puede asumir un número infinito de valores
dentro de cierto rango específico.
6
Ejemplos

• La presión ejercida por un
• brazo robot en manufactura

• El peso del equipaje en un avión

• El tiempo transcurrido en
• procesar una orden de compra

7
En esta unidad estudiaremos

• las características principales de la
  distribución de probabilidad normal
• la distribución normal estándar
• cómo se utiliza la distribución normal para
  estimar probabilidades binomiales

8
La distribución normal se usa en
? Psicología ? Biología
? Economía y finanzas ? Astronomía
? Ciencias de la nutrición ?
Ciencias sociales y administrativas
9
La familia de las distribuciones
de probabilidad normal

• No existe una sola distribución
• de probabilidad normal, sino más bien
• se trata de toda una familia de ellas.

• Cada una de las distribuciones puede
• tener una media distinta (u)
• y desviación estándar distinta (o).

• Por tanto, eI número de distribuciones
• normales es ilimitado.

10
(No Transcript)
11
La familia de las distribuciones
de probabilidad normal
Al variar los parámetros µ and s, obtenemos
diferentes distribuciones normales
12
La familia de las distribuciones
de probabilidad normal
Cambiando µ movemos la distribución lhacia la
izquierda o derecha.
f(X)
Cambiando s aumentamos o disminuímos su altura..
s
X
µ
13
La distribución de probabilidad normal y la
curva normal que la acompaña tienen las
siguientes características

• La curva normal tiene forma de campana y un sólo
  pico en el centro de la distribución.

14

• El promedio aritmético, la mediana y la moda de
  la distribución son iguales y se ubican en el
  pico.

Características (cont.)
15
Características (cont.)

• La mitad del área bajo la curva se
• encuentra a la derecha de este
• punto central y la otra mitad está a la
• izquierda de dicho punto.

16
Características (cont.)
Es simétrica en torno a su promedio. Si se corta
Ia curva normal de manera vertical por el valor
central, las dos mitades serán como imágenes en
un espejo.
17
Características (cont.)
La curva normal desciende suavemente en ambas
direcciones a partir del valor central. Es
asintótica, Ia curva se acerca cada vez más al
eje de X pero jamás llega a tocarlo. Es decir,
las colas de Ia curva se extienden de manera
indefinida en ambas direcciones.
18
Características (cont.)
19
La distribución de probabilidad
normal estándar
Sería físicamente imposible proporcionar una
tabla de probabilidades para cada combinación de
u y (como para Ia distribución binomial o
para Ia de Poisson) .
s
Es posible utilizar un sólo miembro de Ia
familia de distribuciones normales para todos
los problemas en los que se aplica Ia
distribución normal.
20
La distribución de probabilidad
normal estándar
Tiene una media de 0 y una desviación estándar de
1
f(Z)
1
Z
0
Los valores mayores al promedio tienen valores Z
positivos y, valores menores al promedio tendrán
valores Z negativos.
21
La distribución de probabilidad
normal estándar
Todas las distribuciones normales pueden
convertirse a distribución normal estándar
restando Ia media de cada observación y
dividiendo por Ia desviación estándar.
Utilizando un valor z, se convertirá, o
estandarizará, Ia distribución real a una
distribución normal estándar.
Transformamos unidades X en unidades Z
22
El valor z
Un valor z es Ia distancia a partir de Ia media,
medida en las unidades de desviación estándar.
23
El valor z
Valor z Ia distancia entre un valor
seleccionado (x) y Ia media (u), dividida por la
desviación estándar (o).
24
Límites sigma
25
Límites dos sigma
26
Límites tres sigma
27
Al determinar el valor z empleando Ia fórmula
anterior, es posible encontrar eI área de
probabilidad bajo cualquier curva normal haciendo
referencia a Ia distribución normal estándar en
el apéndice D (página 523).
28
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
APENDICE D Areas debajo de la curva normal
29
Ejemplo
Supongamos que se calculó el valor z y el
resultado es 1.91. CuáI es eI área bajo la
curva normal entre u y X?
30
Utilizamos el apéndice D.
Baja por Ia columna de la tabla encabezada con Ia
Ietra z hasta llegar a 1.9.
Luego muévete en dirección horizontal a la
derecha y lee Ia probabilidad en Ia columna con
el encabezado 0.01.
Es 0.4719.
31
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
APENDICE D Areas debajo de la curva normal
32

• Esto signitica que 47.19 por ciento del área bajo
  Ia curva se encuentra entre u y eI valor X,1.91
  desviaciones estandar a la derecha de Ia media.
• Esta es Ia probabilidad de que una observación
  esté entre 0 y 1.91 desviaciones estándar de Ia
  media.

33
Ejercicios
Area bajo Ia curva
Valor z calculado
2.84
.4977
.3413
1.00
0.49
.1879
34

• Ahora calcularemos eI valor z dada
• Ia media de Ia población, u,
• la desviación estándar de ésta, o,
• y una X seleccionada.

35
Ejercicios
Los ingresos semanales de los gerentes de nivel
intermedio tienen una distribución
aproximadamente normal con una media de 1,000.00
y una desviación estándar de 100.00. Cuál es
el valor z para un ingreso X de 1,100.00? Y,
para uno de 900.00?
36
Utilizando la fórmula
Para X 1,100 1100 1000 100 1.00
Para X 900 900 - 1000 100 - 1.00
37
La z de 1.00 indica que un ingreso semanal de
1,100.00 para un gerente de nivel intermedio
está una desviación estándar a la derecha de Ia
media. La z de -1.00 indica que un ingreso de
900.00 está una desviación estándar a la
izquierda de Ia media. Ambos ingresos (1,100 y
900) están a Ia misma distancia (100) de Ia
media.
38
900
1,100
1,000
39
(página 200) Auto evaluación 6-1
Ejercicios 3 a) b) 4
40
La primera aplicación de Ia distribución normal
estándar es encontrar el área bajo Ia curva
normal entre una media y un valor seleccionado,
designado como X.
Utilizando Ia misma distribución que en eI
ejemplo anterior del ingreso semanal (u 1
000, o 100) CuáI es el área bajo Ia curva
normal entre 1,000 y 1,100?
41
Ya se calculó el valor z para 1,100 utilizando
la fórmula z 1.00
La probabilidad asociada con el valor z de 1.00
se encuentra en el apéndice D. Para ubicar el
área, desciende por la columna de Ia izquierda
hasta 1.0. Luego muévete a Ia derecha y lee el
área bajo Ia curva en Ia columna marcada 0.00.
Es 0.3413.
42
0.5
0.5
La media divide Ia curva normal en dos mitades
idénticas. El área bajo Ia mitad a Ia izquierda
de Ia media es 0.5 y eI área a Ia derecha de Ia
media es tambien 0.5.
43
Ejercicios

• Utilizando nuevamente el ingreso medio de
• 1,000 al mes y Ia desviación estándar de 100 al
  mes
• Cuál es Ia probabilidad de que un ingreso
  semanal específico elegido aI azar esté entre 790
  y 1,000 dólares?

44
Pregunta 1
Calculamos eI valor z para 790 utilizando Ia
fórmula
790 1000 - 210 -2.10
100 100
45

• El signo negativo en 2.10 indica que el área está
  a Ia izquierda de Ia media.

46
-2.10
900
1,100
1,000
47

• El área bajo Ia curva normal entre u y X que
  corresponde a un valor z de -2.10 es (apéndice
  D).

.4821
48
.4821

900
1,100
1,000
-2.10
49

1. CuáI es Ia probabilidad de que eI ingreso sea
   menos de 790 dólares?

50
0.5
0.5
La media divide Ia curva normal en dos mitades
idénticas. El área bajo Ia mitad a Ia izquierda
de Ia media es 0.5 y eI área a Ia derecha de Ia
media es tambien 0.5.
51
Por tanto, 0.5000 - 0.4821 0.0179
52
.4821
.0179

900
1,100
1,000
-2.10
53
(página 202) Auto evaluación 6-2
Ejercicios 5 a) b) c) 7 a)
b) c)
54
Continuemos

• Una segunda aplicación de Ia distribución normal
  estándar es
• combinar dos áreas
• - una a Ia derecha
• - y Ia otra a Ia izquierda de Ia media.

55
Regresemos a Ia distribución de ingresos
semanales (u 1,000 o 100) CuáI es
el área bajo Ia curva normal entre 840 y 1,200?
56
Es necesario dividir Ia pregunta en dos partes.
Para el área entre 840 y Ia media de 1,000
840 -1000 -160 1.60
100 100
Para el área entre 1,200 y Ia media de 1,000
1,200 -1000 200 2.00
100 100
57
(apéndice D).
El área bajo la curva para un valor z de -1.60
es
0.4452.
El área bajo Ia curva para un valor z de 2.00 es
0.4772.
Sumando las dos áreas 0.4452 0.4772 0.9224
58
Así, Ia probabilidad de seleccionar un ingreso
entre 840 y 1,200 es 0.9224. En otras
palabras, 92.24 por ciento de los gerentes tienen
ingresos semanales entre 840 y 1,200.
59
0.4452.
0.4772.


840
1,200
1,000
60
Continuemos

• Otra aplicación de Ia distribución normal
  estándar esi
• encontrar el área mayor o menor de un valor
  específico.

61
Continuemos con Ia distribución de ingresos
semanales (u 1 000, o 100) qué
porcentaje de los ejecutivos recibe ingresos
semanales de 1,245 o más?
62
Para el área entre 1,245 y Ia media de 1,000
1,245 -1000 245 2.45
100 100
63
(apéndice D).
El área bajo Ia curva para un valor z de 2.45 es
0.4929.
Restando 05000 - 0.4929 0.0071
64
Sólo el .71 por ciento de los gerentes tienen
ingresos semanales de 1,245 o más.
65
0.4929

0.0071
840
1,245
1,000
66
Continuemos

• Otra aplicación de Ia distribución normal
  estándar es
• determinar el área entre dos valores en el mismo
  lado de la media.

67
Sigamos con Ia distribución de ingresos
semanales (u 1 000, o 100) CuáI es el
área bajo Ia curva normal entre 1,150 y 1,250?
68
Es necesario dividir Ia pregunta en dos partes.
Para el área entre 1,250 y Ia media de 1,000
1,250 -1000 250 2.50
100 100
Para el área entre 1,150 y Ia media de 1,000
1,150 -1000 150 1.50
100 100
69
(apéndice D).
El área bajo la curva para un valor z de 2.50 es

0.4938.
El área bajo Ia curva para un valor z de 1.50 es
0.4332.
Restando las dos áreas 0.4938 - 0.4332 0.0606
70
Así, Ia probabilidad de seleccionar un ingreso
entre 1,150 y 1,250 es 0.0606. En otras
palabras, 6.06 por ciento de los gerentes tienen
ingresos semanales entre 1,150 y 1,250.
71


0.0606.
1,250
1,000
1,150
72
Para resumir, existen cuatro situaciones en las
que pudiera ser posible encontrar el área bajo Ia
distribución normal estándar.
73
1. Para encontrar el área entre u y z, entonces
es posible buscar directamente el valor en Ia
tabla.
74
2. Para encontrar el área más alIá (mayor o
menor) de z, entonces localice Ia probabilidad de
z en Ia tabla y reste ese valor de 0.5000.
75
3. Para encontrar eI área entre dos puntos a
diferentes lados de Ia media, determine los
valores z y sume las áreas correspondientes.
76
4. Para encontrar el área entre dos puntos en el
mismo lado de Ia media, determine los valores z y
reste el área menor de Ia mayor.
77
(página 205) Auto evaluación 6-3
78
(página 208) Ejercicio 9 a) b) c)
79
Una última aplicación de Ia distribución normal
supone encontrar el valor de Ia observación X
cuando se conoce eI porcentaje por encima o por
debajo de Ia observación.
80
Ejemplo
Un fabricante de goma de auto desea establecer
una garantía de millaje mínimo para su nueva goma
MX100. Las pruebas revelan que el millaje
promedio es de 47,900 millas, con una desviación
estandar de 2,050 millas y una distribución
normal.
El fabricante quiere establecer el millaje mínimo
garantizado de modo que no se deba reemplazar más
del 4 por ciento de las gomas.
Qué millaje minimo garantizado deberá anunciar
el fabricante?
81
Utilizando Ia fórmula, X representa el millaje
mínimo garantizado
Z X 47900
2050
82
Existen dos incógnitas, z y X.
Para encontrar z, observemos que el área bajo Ia
curva normal a Ia izquierda de u es 0.5000.
El area entre u y X es 0.4600, que se encuentra
restando 0.5000 - 0.0400.
83
0.4600

4 0.04
X
47,900
84
(apéndice D).
El área más cercana a 0.4600 es
0.4599.
Muévete a los márgenes de este valor y lee el
valor z. El valor es
1.75.
Debido a que el valor se encuentra a Ia izquierda
de Ia media, en realidad es
-1.75.
85
Sabiendo que Ia distancia entre u y X es -1.75
o, ahora es posible determinar X (el millaje
minimo garantizado)
-1.75 X 47900
2050 -1.75 (2050)
X 47900 X 47900 1.75 (2050) 44312
86
Conclusión
El fabricante puede anunciar que reemplazará en
forma gratuita cualquier goma que se desgaste
antes de recorrer 44,312 millas y Ia empresa sabe
que, bajo este plan, debe reemplazar sólo el 4
por ciento de las gomas.
87
(página 206) Auto evaluación 6-4
88
(página 208) Ejercicio 9 d) 10 al 13
89
Otra aplicación de Ia distribución normal
consiste en comparar dos o más observaciones que
están en distintas escalas o unidades. Es
decir, ambas observaciones se encuentran en
distribuciones distintas.
90
Ejemplo
Un estudio de los internos en una institución
correccional evalúa Ia responsabilidad social de
los internos de Ia prisión y de sus perspectivas
de rehabilitación cuando se les Iibere.
91
Para medir su responsabilidad social, se
administró a cada interno una prueba
Las puntuaciones tienen una distribución normal,
con una media de 100 y una desviación estándar de
20.
92
Los psicólogos de Ia prisión calificaron a cada
interno respecto de las perspectivas de
rehabilitación.
Las calificaciones tienen tambien una
distribución normal, con una media de 500 y una
desviación estándar de 100.
93
La calificación de Tora Carney en Ia prueba de
responsabilidad social fue 146, y en
rehabilitación obtuvo una puntuación de 335.
Cómo se compara Tora con otros miembros del
grupo en cuanto a responsabilidad social y a Ia
perspectiva de rehabilitación?
94
Pasos a seguir
Convertimos Ia puntuación de Ia prueba de
responsabilidad social, 146, a un valor z
utilizando Ia fórmula
Z 146 100 20
Z 2.30
95
Pasos a seguir
Convertimos Ia puntuación de Ia prueba de
rehabilitaciónl, 335, a un valor z utilizando Ia
fórmula
Z 335 500 100
Z - 1.65
96
Conclusión
Por lo tanto, en lo referente a responsabilidad
social, Tora Carney se encuentra en el 1 por
ciento más alto del grupo.
Sin embargo, al compararla con otras internas,
Tora se encuentra entre eI 5 por ciento más bajo
en cuanto a las perspectivas de rehabilitación.
97
0.4505
0.4893

0.0107
0.0495

-1.65
2.30
98
(página 207) Auto evaluación 6- 5
99
La aproximación de la distribución normal a la
binomial
En el capítulo 5 estudiamos Ia distribución de
probabilidad binomial, que es una distribución
discreta.
El cuadro de probabilidades binomiales en eI
apéndice A pasa sucesivamente de un n de 1 a uno
de 20, y luego a n 25.
100
La aproximación de la distribución normal a la
binomial
Si tuvieramos una muestra de 60, calcular una
distribución binomial para un número tan grande
tomaría mucho tiempo.
Un enfoque más eficiente consiste en aplicar Ia
aproximación de Ia distribución normal a Ia
binomial.
101
La aproximación de la distribución normal a la
binomial
El uso de Ia distribución normal (que es
contínua) como sustituto de una distribución
binomial (que es discreta) para valores de n
parece razonable porque, a medida que n aumenta,
Ia distribución binomial se acerca cada vez más a
Ia distribución normal.
102
Ejemplo
La administración del restaurante Santoni Pizza
descubrió que el 70 por ciento de sus clientes
nuevos regresan para comer allí de nuevo.
Para una semana en Ia que 80 clientes nuevos (por
primera vez) cenaron en Santoni, cuál es Ia
probabilidad de que 60 o más regresen aIIí a
comer otra vez?
103
Antes de aplicar Ia aproximación normal, es
preciso cerciorarse de que Ia distribución que
vamos a trabajar es realmente una distribución
binomial.
104

• Es preciso verificar los siguientes cuatro
  criterios
• Un experimento sólo puede tener dos resultados
  mutuamente excluyentes un éxito y un fracaso.
• La distribución es consecuencia de contar eI
  número de éxitos en un número fijo de ensayos.
• Cada ensayo es independiente.
• La probabilidad, p, permanece igual de un ensayo
  al siguiente.

105

• Observe que se cumplen las condiciones
  binomiales
• Sólo hay dos resultadosposibles un cliente
  regresa o no regresa.
• Es posible contar eI número de éxitos, lo que
  significa, por ejemplo, que 57 de los 80 clientes
  regresarán.
• Los ensayos son independientes, es decir, si Ia
  persona número 34 regresa para cenar en otra
  ocasión, no influye en que Ia persona número 58
  regrese.
• La probabilidad de que un cliente regrese
  permanece en un 0.70 para los 80 clientes.

106
Debido a que se usará Ia curva normal para
determinar Ia probabilidad binomial de 60 o más
éxitos, es preciso restar, en este caso, 0.5 de
60. El valor 0.5 se conoce como factor de
corrección de continuidad. Este pequeño ajuste
es necesario porque se utiliza una distribución
contínua (Ia distribución normal) para aproximar
a una discreta (Ia binomial). Al restar 600.5
59.5.
107
Cómo aplicar el factor de corrección
Sólo pueden surgir cuatro casos. Estos
son 1.Para Ia probabilidad de que aI menos X
ocurra, utilice (X - 0.5).
X
2.Para Ia probabilidad de que ocurra más que X,
utilice (X 0.5).
gtX
3.Para Ia probabilidad de que ocurra X o menos,
utilice (X 0.5).
X
4.Para Ia probabilidad de que ocurra menos de X,
utilice (X- 0.5).
ltX
108
Para utilizar Ia distribución normal para
aproximar Ia probabilidad de que 60 ó mas de los
80 clientes que fueron por primera vez a Santoni
regresen, realizaremos lo siguientes pasos.
109
Paso 1. Encuentre Ia media y Ia varianza de una
distribución binomial y el valor z
correspondiente a una X de 59.5 usando Ias
siguientes fórmuIas u np 80(.70) 56 O 2
np(1-p) 80(.70)(1-.70) 16.8 O raíz
cuadrada de 16.8 4.10
Z 59.5 56 85 4.10
110
Paso 2. Determine el área bajo Ia curva normal
entre un u de 56 y un X de 59.5. Con base en el
paso 1, se sabe que eI valor z correspondiente a
59.5 es 0.85. Así, se consulta el apéndice D y
se baja por el margen izquierdo hasta 0.8, y
luego se lee horizontalmente el área bajo Ia
columna encabezada por 0.05. Esa área es
0.3023.
111
Paso 3. Calcular eI área máyor de 59.5 restando
0.3023 de 0.5000 (0.5000 -0.3023 0.1977).
Así, 0.1977 es Ia probabilidad aproximada de
que 60 o más de los clientes que fueron a Santoni
por primera vez regresen.
112
(página 212) Auto evaluación 6- 6
113
(página 212) Ejercicios 15 y 16
114
(página 214) Ejercicio 21
(página 215) Ejercicio 33
115
(No Transcript)