MATH

1
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

• Quatorzième cours

2
Rappel du dernier cours

• Détermination de la valeur actuelle dune rente
  perpétuelle pour laquelle la période de paiement
  est plus longue que la période de capitalisation
  de lintérêt

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Rappel du dernier cours

• Détermination de la valeur actuelle dune rente
  perpétuelle pour laquelle la période de paiement
  est plus longue que la période de capitalisation
  de lintérêt
• Détermination la valeur actuelle dune annuité
  pour laquelle la période de paiement est plus
  courte que la période de capitalisation de
  lintérêt

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Rappel du dernier cours

• Détermination de la valeur actuelle dune rente
  perpétuelle pour laquelle la période de paiement
  est plus longue que la période de capitalisation
  de lintérêt
• Détermination la valeur actuelle dune annuité
  pour laquelle la période de paiement est plus
  courte que la période de capitalisation de
  lintérêt
• Détermination la valeur accumulée dune annuité
  pour laquelle la période de paiement est plus
  courte que la période de capitalisation de
  lintérêt

5
Rappel du dernier cours La valeur actuelle
dune annuité de début de période est
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Rappel du dernier cours La valeur accumulée
dune annuité de début de période est
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Rappel du dernier cours La valeur actuelle
dune rente perpétuelle de fin de période est
8
Rappel du dernier cours La valeur actuelle
dune rente perpétuelle de début de période est
9
Rappel du dernier cours Considérons une
annuité de fin de période consistant en des
paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre
de périodes de paiement dans chacune des périodes
de capitalisation. Notons par n la durée de
lannuité en période de capitalisation, par i le
taux dintérêt par période de capitalisation et
par i(m) le taux nominal dintérêt équivalent à i
10
Rappel du dernier cours La valeur actuelle de
cette annuité de fin de période est
11
Rappel du dernier cours La valeur accumulée de
cette annuité de fin de période au dernier
paiement (après n périodes de capitalisation) est
12
Considérons une annuité de début de période
consistant en des paiements de (1/m) dollars, où
m est le nombre de périodes de paiement dans
chacune des périodes de capitalisation. Notons
par n la durée de lannuité en période de
capitalisation, par i le taux dintérêt par
période de capitalisation et par i(m) le taux
nominal dintérêt équivalent à i.
13
Nous noterons la valeur actuelle (au début de la
première période) de cette annuité par
14
Nous obtenons algébriquement la formule suivante

où d est le taux descompte équivalent à i, d(m)
est le taux nominal descompte équivalent à d. Il
est possible aussi de donner une explication en
terme dannuité de cette formule
15
Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la
dernière période) de cette annuité par
16
Nous obtenons algébriquement la formule suivante

où d est le taux descompte équivalent à i, d(m)
est le taux nominal descompte équivalent à d. Il
est possible aussi de donner une explication en
terme dannuité de cette formule
17
Considérons une rente perpétuelle de fin de
période consistant en des paiements de (1/m)
dollars, où m est le nombre de périodes de
paiement dans chacune des périodes de
capitalisation. Notons par i le taux dintérêt
par période de capitalisation et par i(m) le
taux nominal dintérêt équivalent à i.
18
Nous noterons la valeur actuelle (au début de la
première période) de cette rente perpétuelle par
19
Nous obtenons algébriquement la formule suivante

où i(m) est le taux nominal dintérêt équivalent
à i. Il est possible aussi de donner une
explication en terme dannuité de cette formule
20
Si nous considérons une rente perpétuelle de
début de période consistant en des paiements de
(1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de
paiement dans chacune des périodes de
capitalisation. Notons par i le taux dintérêt
par période de capitalisation et par i(m) le
taux nominal dintérêt équivalent à i.
21
Nous obtenons algébriquement la formule suivante

où d est le taux descompte équivalent à i, d(m)
est le taux nominal descompte équivalent à d. Il
est possible aussi de donner une explication en
terme dannuité de cette formule
22
Exemple 1

• La loterie nationale veut créer un nouveau jeu
  de hasard dans lequel le gros lot est de verser
  1000 par semaine à tout jamais. Si le taux
  dintérêt est le taux effectif i 5 par année,
  déterminons la valeur actuelle de ce gros lot. Le
  premier versement est fait lors de lencaissement
  du billet gagnant.

23
Exemple 1 (suite)

• Nous voulons ainsi déterminer la valeur actuelle
  dune rente perpétuelle de début de période pour
  lequel le paiement est 1000, les paiements sont
  à outes les semaines et la période de
  capitalisation est lannée.
• m 52
• i 5
• i(52) 4.881305967
• Total des paiements pendant une période de
  capitalisation 52 x 1000 52000

24
Exemple 1 (suite)

• La valeur actuelle recherchée est

25
Exemple 1 (suite)

• La valeur actuelle recherchée est

cest-à-dire
26
Pour conclure sur ce type dannuité, celle pour
lesquelles la période de paiement est plus courte
que la période de capitalisation de lintérêt.
Nous allons considérer une situation continue.
27
Considérons une annuité pour laquelle un paiement
de dt dollars est fait au temps t. Ces paiements
sont faits continûment pendant n périodes de
capitalisation. Le total des paiements faits
pendant une période de capitalisation est 1. Le
taux dintérêt par période de capitalisation est
le taux effectif dintérêt i
28
Nous noterons la valeur actuelle (au début de la
première période) de cette annuité par
29
Nous obtenons algébriquement la formule suivante

où ? est le taux instantané dintérêt équivalent
à i.
30
Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la
dernière période) de cette annuité par
31
Nous obtenons algébriquement la formule suivante

où ? est le taux instantané dintérêt équivalent
à i.
32
Nous allons maintenant considérer des annuités
pour lesquelles les paiements ne seront pas
constants

• soit les paiements forment une suite arithmétique
  de la forme P, (P Q), (P 2Q), , (P (n -
  1)Q)

33
Nous allons maintenant considérer des annuités
pour lesquelles les paiements ne seront pas
constants

• soit les paiements forment une suite arithmétique
  de la forme P, (P Q), (P 2Q), , (P (n -
  1)Q)
• soit les paiements forment une suite géométrique
  P, (1 k)P, (1 k)2P, , (1 k)(n - 1)P

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Considérons une annuité ayant n paiements dont le
premier est de P dollars et les paiements
suivants sont obtenus en ajoutant Q dollars avec
chaque paiement. Ces paiements sont faits en fin
de période et nous supposerons que la période de
paiement coïncide avec la période de
capitalisation de lintérêt.
35
Ainsi le premier paiement est de P dollars, le
deuxième est de (P Q) dollars, le troisième est
de (P 2Q) dollars, ainsi de suite jusquau
dernier au montant de (P (n - 1)Q) dollars.
Noter que Q peut être négatif. Tout ce que nous
supposerons est que (P (n - 1)Q) gt 0. Nous
noterons par L la valeur actuelle de cette
annuité.
36
Le diagramme dentrées et sorties est le suivant
37
La valeur actuelle est alors
38
Exemple 2
Anne a emprunté 100000 quelle remboursera en
faisant 48 paiements. Ces paiements sont faits à
la fin de chaque mois, le premier étant fait un
mois après le prêt. Le premier paiement est de
1000 et avec chaque paiement nous augmentons le
paiement de X dollars jusquau 20e. Ensuite
ceux-ci sont constants et égaux à (1000 19X).
Le taux dintérêt est le taux nominal dintérêt
i(12) 6 par année capitalisé à tous les
mois.
39
Exemple 2 (suite)
Nous avons ainsi deux annuités, les 20 premiers
paiements, qui forment une suite arithmétique,
et les 28 derniers paiements, qui sont constants.
Pour la seconde annuité, elle est différée. Il
faudra ainsi escompter pour obtenir sa valeur
actuelle. Le taux dintérêt par mois est (6/12)
0.5
40
Exemple 2 (suite)
La valeur actuelle de la première annuité est
alors
41
Exemple 2 (suite)
La valeur actuelle de la seconde annuité est
42
Exemple 2 (suite)
Léquation de valeur à la date de comparaison t
0 est
43
Exemple 2 (suite)
Léquation de valeur à la date de comparaison t
0 est
Nous obtenons que X 91.80
44
Le diagramme dentrées et sorties est le suivant
45
Calculons maintenant la valeur accumulée à la fin
de la ne période de cette annuité formant une
suite arithmétique. Cette valeur est
46
Exemple 3
Bernard veut accumuler 200000 en faisant 20
dépôts à La fin de chaque semestre pendant 10
ans. Il dépose initialement P dollars et avec
chaque semestre, nous diminuons le paiement de
(P/40) dollars. Déterminer P si le taux dintérêt
est i(2) 8. Le taux dintérêt par semestre est
(8/2) 4.
47
Exemple 3 (suite)
Léquation de valeur à la fin de la dixième année
est
48
Exemple 3 (suite)
Léquation de valeur à la fin de la dixième année
est
Nous obtenons que P 8450.66
49
Le diagramme dentrées et sorties est le suivant
50
Exemple 4
Cléo fait des dépôts à la fin de chaque mois
pendant 15 ans dans un placement rémunéré au taux
nominal dintérêt i(12) 9. La première année,
les dépôts mensuels sont de 300. Avec chaque
année, les dépôts mensuels augmentent de 20.
Déterminons le montant accumulé X à la fin de la
quinzième année.
51
Exemple 4 (suite)
Il y a ainsi 15 x 12 180 dépôts. Le diagramme
dentrées et sorties est le suivant
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Exemple 4 (suite)
Ceci nest pas exactement une annuité pour
laquelle les paiements forment une suite
arithmétique. Cependant si nous considérons les
valeurs accumulées à la fin de chaque année,
nous aurons une annuité dont les paiements
formeront une suite arithmétique et de plus
celle-ci sera équivalente à notre annuité avec
dépôts mensuels.
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Exemple 4 (suite)
Le taux dintérêt par mois est I(12)/12 9/12
0.75. Pour la ke année, les paiements mensuels
sont au montant de 300 20(k - 1). Il y a ainsi
12 dépôts de 300 20(k -1) dollars dont la
valeur accumulée à la fin de lannée est
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Exemple 4 (suite)
Nous aurons ainsi une annuité ayant 15 dépôts
annuels, un à la fin de chacun des 15 années, au
montant
au lieu des 180 dépôts mensuels de notre première
annuité. Mais cette seconde annuité est
équivalente à la première.
55
Exemple 4 (suite)
Cette seconde annuité a ds paiements qui forment
une suite arithmétique. En effet, nous aurons
et
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Exemple 4 (suite)
La période de paiement est une année et le taux
effectif dintérêt par année équivalent au taux
nominal dintérêt i(12) 9 est 9.380689764.
Nous obtenons alors que la valeur accumulée est
cest-à-dire 154 199.33