Int

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Intégration numérique

• Présentement, nous avons deux façons dévaluer
  laire dune région comprise entre laxe des x,
  la courbe y  f(x) et les droites x  a et x  b,
  soit par le calcul de la limite dune somme de
  Riemann ou par lapplication du théorème
  fondamental du calcul.
• Pour évaluer les intégrales définies des
  fonctions nayant pas de primitives, nous devons
  utiliser des méthodes numériques. Nous savons
  déjà évaluer approximativement une intégrale
  définie en utilisant les sommes daires de
  rectangles (inscrits ou circonscrits). Nous
  verrons deux autres méthodes qui donnent plus de
  précision sur la valeur approchée de lintégrale
  définie en utilisant le même nombre fini de
  sous-intervalles, il sagit de la méthode des
  trapèzes et de la méthode de Simpson. Nous
  verrons également le lien entre ces méthodes et
  celles utilisant les rectangles.

,

2
Introduction
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Calcul de laire exacte dune fonction ayant une
primitive

• Pour illustrer nos différentes méthodes (des
  rectangles, des trapèzes et de Simpson), nous
  utiliserons la fonction pour
  laquelle nous connaissons la primitive afin de
  pouvoir comparer nos méthodes avec la valeur
  exacte de laire calculée à laide du théorème
  fondamental du calcul.

• Calculons laire de la région délimitée par la
  courbe de f, laxe des x et entre les droites x1
  et x4.

• La valeur exacte de cette aire est donnée par 

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Somme de gauche

• La méthode  Somme de gauche  consiste à
  approximer laire sous une courbe à laide des
  sommes daires de rectangles dont les hauteurs
  sont calculées en utilisant les extrémités
  gauches des sous-intervalles.

• Pour chaque sous-intervalle de la forme
  xi-1, xi, nous construisons un rectangle dont
  la hauteur correspond à f(xi-1).

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Exemple de calcul dune somme de gauche
Reprenons notre exemple de laire sous la courbe
de entre les droites
x1 et x4
Découpons lintervalle 1,4 en 3
sous-intervalles égaux, donc ?x  1. Nous avons
alors x01, x12, x23 doù
La somme de gauche est alors donnée par 
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Somme de droite

• La méthode  Somme de droite  consiste à
  approximer laire sous une courbe à laide des
  sommes daires de rectangles dont les hauteurs
  sont calculées en utilisant les extrémités
  droites des sous-intervalles.

• Pour chaque sous-intervalle de la forme
  xi-1, xi, nous construisons un rectangle dont
  la hauteur correspond à f(xi).

• La somme de droite est la somme des aires de tous
  les rectangles ainsi construits. Nous lécrivons
  ainsi 

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Exemple de calcul dune somme de droite
Reprenons notre exemple de laire sous la courbe
de entre les droites
x1 et x4
Découpons lintervalle 1,4 en 3
sous-intervalles égaux, donc ?x  1. Nous avons
alors x12, x23, x34 doù
La somme de droite est alors donnée par 
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Somme du milieu

• La méthode  Somme du milieu  consiste à
  approximer laire sous une courbe à laide des
  sommes daires de rectangles dont les hauteurs
  sont calculées en utilisant les milieux mi des
  sous-intervalles.

• Pour chaque sous-intervalle de la forme
  xi-1, xi, nous construisons un rectangle dont
  la hauteur correspond à f(mi).

• La somme du milieu est la somme des aires de tous
  les rectangles ainsi construits. Nous lécrivons
  ainsi 

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Exemple de calcul dune somme du milieu
Reprenons notre exemple de laire sous la courbe
de entre les droites
x1 et x4
Découpons lintervalle 1, 4 en 3
sous-intervalles égaux, donc ?x  1. Nous avons
alors m11,5, m22,5 et m33,5 doù
La somme du milieu est alors donnée par 
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Méthode des trapèzes

• La méthode  des trapèzes  consiste à approximer
  laire sous une courbe à laide des sommes
  daires de trapèzes.

Si Ai est laire du ie trapèze, la hauteur de
chacun des trapèzes est donnée par ?x et les
bases sont données par yi-1, et yi, nous aurons
alors 
Une approximation de laire totale par la somme
des trapèzes sera donc 
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Exemple de calcul dune somme daires de trapèzes
Découpons lintervalle 1, 4 en 3
sous-intervalles égaux, donc ?x  1.
Comme nous avons déjà calculé les sommes de
gauches et de droite, nous allons les utiliser
pour calculer la somme des trapèzes.
La somme des aires des trapèzes est alors donnée
par 
Regardons les erreurs commises sur les
approximations  
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De quoi dépendent les erreurs?
Sommes de gauche et de droite Pour les sommes de
gauche et de droite, nous observons que lerreur
est dautant plus grande si la pente de f est
très prononcée, cest-à-dire si la valeur de f
est grande. Illustrons ceci par les graphes
suivants 
Erreur liée à la somme de droite
Erreur liée à la somme de gauche
Erreur liée à la somme de droite
Erreur liée à la somme de gauche
valeur de f grande ? plus grande erreur
valeur de f petite ? faible erreur
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De quoi dépendent les erreurs?
Sommes du milieu et des trapèzes Pour les sommes
du milieu et des trapèzes, nous observons que
lerreur est dautant plus grande si la concavité
de f est très prononcée, cest-à-dire si la
valeur de f est grande. Illustrons ceci par les
graphes suivants 
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Méthode de Simpson
Léquation de cet arc de parabole est ax2 bx
c.
Nous devons calculer laire sous cet arc de
parabole. Pour simplifier la tâche, plaçons un
système daxes afin que laxe des y soit au
centre de la figure. Nous obtenons
xi-1 -h, mi 0 et xi h
En intégrant léquation de larc de parabole sur
lintervalle -h, h, nous obtenons laire sous
cet arc de parabole soit
Doù vient cette formule?
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Calcul de laire sous un arc de parabole
Exprimons ce dernier résultat en fonction de ?x,
en fonction de yi-1, yi, f(mi). Pour ce faire,
évaluons les ordonnées
Doù yi-1 yi 2ah2 2c et afin dobtenir 2ah2
6c , il nous manque 4c qui correspond à 4
f(mi).
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Formule de Simpson
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Exemple de calcul à laide de la méthode de
Simpson
Découpons lintervalle 1, 4 en 3
sous-intervalles égaux, donc ?x  1.
Comme nous avons déjà calculé les sommes de
trapèzes et du milieu, nous allons les utiliser
pour calculer la somme des aires de Simpson.
La somme des aires de Simpson est alors donnée
par