MATH

1
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

• Vingtième cours

2
Rappel

• Solde restant dun prêt rétrospectivement et
  prospectivement

3
Rappel

• Solde restant dun prêt rétrospectivement et
  prospectivement
• Portion de principal remboursé du ke paiement

4
Rappel

• Solde restant dun prêt rétrospectivement et
  prospectivement
• Portion de principal remboursé du ke paiement
• Portion dintérêt du ke paiement

5
Rappel

• Solde restant dun prêt rétrospectivement et
  prospectivement
• Portion de principal remboursé du ke paiement
• Portion dintérêt du ke paiement
• Amortissement dans le cas dun prêt dont le
  remboursement consiste en des paiements égaux

6
Rappel

• Solde restant dun prêt rétrospectivement et
  prospectivement
• Portion de principal remboursé du ke paiement
• Portion dintérêt du ke paiement
• Amortissement dans le cas dun prêt dont le
  remboursement consiste en des paiements égaux
• Amortissement négatif

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Rappel Solde restant dun prêt

• Rétrospectivement
• Bk est la valeur accumulée par le montant prêté L
  au temps tk moins la somme des valeurs accumulées
  au temps tk des k premiers paiements P1, P2, ...
  , Pk

8
Rappel Solde restant dun prêt

• Rétrospectivement
• Bk est la valeur accumulée par le montant prêté L
  au temps tk moins la somme des valeurs accumulées
  au temps tk des k premiers paiements P1, P2, ...
  , Pk

Prospectivement Bk est la somme des valeurs
actuelles au temps tk des (n - k) derniers
paiements Pk1 , Pk2 , ... , Pn
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Rappel Portion de principal remboursé

• La portion de principal remboursé dans le ke
  paiement Pk est
• Bk-1 - Bk .
• ou encore

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Rappel Portion dintérêt

• La portion dintérêt du ke paiement Pk est
• Pk - (Bk-1 - Bk) .
• ou encore

11
Pour un prêt remboursé par n paiements égaux au
montant de 1 à la fin de chaque période. Le
montant emprunté est alors
Rappel
La table damortissement est alors
12
Rappel
13
Dans ce dernier cas, la portion de principal des
paiements forment une suite en progression
géométrique de raison (1 i).Conséquemment si
nous connaissons la portion de principal dun
paiement, nous pouvons alors calculer tous les
autres portions de principal en escomptant ou
accumulant selon le cas.
Rappel
14
Il est possible quil y ait de lamortissement
négatif, cest-à-dire plutôt que le solde
restant du prêt diminue avec un paiement, il
augmente.
Rappel
15
Considérons maintenant la situation dun prêt
remboursé par n paiements égaux pour lequel les
périodes de capitalisation de lintérêt et de
paiement ne coïncident pas. Il suffit de revenir
au principe de base. Deux options soffrent à
nous, soit de convertir le taux dintérêt à un
dont la période de capitalisation est la période
de paiement, soit de développer la théorie.
16
Considérons maintenant la situation dun prêt
remboursé par n paiements égaux au montant de 1
à la fin de chaque période de paiement. Supposons
quil y a k périodes de capitalisation dans une
période de paiement. Notons par i le taux
dintérêt du prêt par période de capitalisation
et par n la durée du prêt en période de
capitalisation. Le montant emprunté L est alors
La table damortissement est alors
17
(No Transcript)
18
Exemple 1

• Un prêt de 25 000 est remboursé par 5 versements
  égaux à la fin de chaque trimestre au montant de
  R dollars. Le taux dintérêt est le taux nominal
  dintérêt i(12) 3 par année capitalisé
  mensuellement. Déterminer la table
  damortissement, le solde restant immédiatement
  après le 2e paiement, les portions dintérêt et
  de principal remboursé du 3e paiement.

19
Exemple 1 (suite)

• Première approche. Déterminons le taux nominal
  dintérêt i(4) équivalent au taux i(12) 3. Ce
  taux est i(4) 3.00750625 par année capitalisé
  à tous les trimestres, cest-à-dire 0.751876563
  par trois mois. Nous obtenons donc léquation de
  valeur suivante au moment du prêt.

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Exemple 1 Table damortissement
Période de paiement Paiement Portion dintérêt Portion de principal Solde restant
0 25 000
1 5 113.34 187.97 4 925.37 20 074.63
2 5 113.34 150.94 4 962.40 15 112.23
3 5 113.34 113.63 4 999.71 10 112.52
4 5 113.34 76.03 5 037.31 50 75.21
5 5 113.34 38.16 5 075.18 0
21
Exemple 1 (suite)

• Le solde restant immédiatement après le 2e
  paiement est

La portion dintérêt du 3e paiement est 15112.20
(0.00751876563) 113.63 et celle de principal
remboursé du 3e paiement est 5113.34 - 113.63
4999.71
22
Exemple 1 (suite)

• Deuxième approche Le taux dintérêt est 0.25
  par mois et il y a k 3 périodes de
  capitalisation dans une période de paiement. La
  durée du prêt en période de capitalisation est de
  n 15 mois. Nous obtenons donc comme équation de
  valeur au moment du prêt

23
Exemple 1 (suite)

• Nous obtenons la même table damortissement. Nous
  allons maintenant seulement expliquer comment
  obtenir le solde restant après le 2e paiement,
  les portions dintérêt et de principal du 3e
  paiement. Le solde restant après le 2e paiement
  est

24
Exemple 1 (suite)

• La portion dintérêt du 3e paiement est
• B2 (1.0025)3 - 1 113.63
• et celle de principal remboursé du 3e paiement
  est
• 5113.34 - 113.63 4999.71.

25
Considérons maintenant la situation dun prêt
remboursé par des paiements égaux. Supposons
quil y a m périodes de paiement dans une période
de capitalisation. Notons par i le taux
dintérêt du prêt par période de capitalisation
et par n la durée du prêt en période de
capitalisation. Les paiements du prêt sont de
(1/m) dollars et il y a mn paiements. Le montant
emprunté L est alors
La table damortissement est alors
26
(No Transcript)
27
Exemple 2

• Un prêt de 5 000 est remboursé par 6 versements
  égaux à la fin de chaque mois au montant de R
  dollars. Le taux dintérêt est le taux nominal
  dintérêt i(4) 4 par année capitalisé à tous
  les trimestres. Déterminer la table
  damortissement, le solde restant immédiatement
  après le 3e paiement, les portions dintérêt et
  de principal remboursé du 4e paiement.

28
Exemple 2 (suite)

• Première approche. Déterminons le taux nominal
  dintérêt i(12) équivalent au taux i(4) 4. Ce
  taux est i(12) 3.986740251 par année
  capitalisé à tous les mois, cest-à-dire
  0.332228354 par mois. Nous obtenons donc
  léquation de valeur suivante au moment du prêt.

La table damortissement est alors
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Période de paiement Paiement Portion dintérêt Portion de principal Solde restant
0 5000
1 843.05 16.61 826.44 4173.56
2 843.05 13.87 829.18 3344.38
3 843.05 11.11 831.94 2512.44
4 843.05 8.35 834.70 1677.70
5 843.05 5.57 837.48 840.22
6 843.05 2.79 840.26 0
30
Exemple 2 (suite)

• Le solde restant immédiatement après le 3e
  paiement est

La portion dintérêt du 4e paiement est 2512.44
(0.00332228354) 8.35 et la portion de
principal remboursé est 843.05 - 8.35 834.70.
31
Exemple 2 (suite)

• Deuxième approche. Le taux dintérêt est 1 par
  trimestre et il y a m 3 périodes de paiement
  dans une période de capitalisation. La durée du
  prêt en période de capitalisation est de n 2
  trimestres. Nous obtenons donc comme équation de
  valeur au moment du prêt

32
Exemple 2 (suite)

• Nous obtenons la même table damortissement. Nous
  allons maintenant seulement expliquer comment
  obtenir le solde restant après le 3e paiement,
  les portions dintérêt et de principal du 4e
  paiement. Le solde restant après le 3e paiement
  est

33
Exemple 2 (suite)

• La portion dintérêt du 4e paiement est
• B3 (1.01)(1/3) - 1 8.35
• et celle de principal remboursé du 4e paiement
  est
• 843.05 - 8.35 834.70.

34
Considérons un dernier exemple damortissement
dans une situation générale
35
Exemple 3
Albert emprunte 90 000 au atux effectif
dintérêt de 8 par année. Il remboursera ce prêt
en faisant des paiements trimestriels pendant 12
ans, le premier paiement est fait 3 mois après le
prêt. Pour les deux premières années, le paiement
trimestriel est de R dollars. Ce montant est
indexé de 3 à tous les 2 ans. Déterminons les
portions dintérêt et de principal remboursé du
17e paiement.
36
Exemple 3 (suite)
Il nous faut calculer plusieurs taux dintérêt
équivalent au taux effectif dintérêt i 8. Par
exemple le taux nominal dintérêt i(4) par année
capitalisé trimestriellement équivalent à i est
i(4) 7.770618763. Donc le taux dintérêt par
trimestre équivalent à i est i 1.942654691.
Il nous faudra aussi le taux dintérêt j
capitalisé à tous les 2 ans équivalent au taux
effectif dintérêt i. Ce taux est j 16.64.
37
Exemple 3 (suite)
Il nous faut regrouper les 8 paiements dune
période en un seul paiement à la fin de cette
période pour déterminer R. Léquation de valeur à
t 0 est
et nous obtenons que R 2 725.57
38
Exemple 3 (suite)
Le solde restant immédiatement après le 16e
paiement est
cest-à-dire B16 71166.47
39
Exemple 3 (suite)
La portion dintérêt du 17e paiement est
alors B16 (0.01942654691) 71166.47 (0
.01942654691) 1382.52.
Le 17e paiement est de 2725.57 (1.03)2 2891.56
et conséquemment la portion de principal
remboursé du 17e paiement est alors 2891.56 -
1382.52 1509.04
40
Nous allons maintenant étudier une autre
situation, celle des fonds damortissement.
41
Dans certains prêts, lemprunteur verse à
intervalles réguliers lintérêt dû et remboursera
complètement le principal L à léchéance du prêt.
Pour accumuler le montant du prêt à léchéance,
lemprunteur met en place un fonds dans lequel il
dépose à intervalles réguliers des versements de
façon telle quil accumulera le principal L. Ce
fonds est le fonds daccumulation ( sinking
fund  en anglais)
42
Le montant accumulé dans le fonds peut à tout
moment servir à rembourser une partie du prêt.
Conséquemment le montant net du prêt est le
principal prêté initialement auquel nous
soustrayons la valeur accumulée dans le fonds.
43
Considérons un prêt de 1, qui sera remboursé par
un paiement de 1 après n périodes de
capitalisation. Le taux dintérêt est le taux i
par période de capitalisation. Lintérêt est payé
à la fin de chaque période de capitalisation. Au
même moment, un dépôt est fait dans un fonds
rémunéré au taux dintérêt j. Ces dépôts sont
tous égaux et la valeur accumulée est 1 après n
périodes de capitalisation. La période de
capitalisation de lintérêt du fonds est la même
que celle du prêt.
44
Si nous notons par R le montant déposé dans le
fonds à la fin de chaque période de
capitalisation, alors nous avons léquation
Nous obtenons le tableau suivant.
45
(No Transcript)
46
Exemple 4

• Un prêt de 5 000 est remboursé par un versement
  de 5000 après cinq ans. Le taux dintérêt est le
  taux effectif dintérêt i 5 par année. Un
  fonds damortissement est mis en place pour
  accumuler le 5000 à la fin de la cinquième
  année. Des dépôts de R dollars seront faits à la
  fin de chaque année pendant 5 ans. Ce fonds est
  rémunéré au taux effectif dintérêt j 4 par
  année. Déterminer la table pour ce fonds
  damortissement et le montant net du prêt
  immédiatement après le 3e dépôt.

47
Exemple 4 (suite)

• Pour déterminer R, il faut noter que nous avons
  léquation de valeur suivante à la fin de la
  cinquième année

Le montant dintérêt payé à chaque année est
5000 (0.05) 250.
48
Période Intérêt payé Versement dans le fonds Intérêt gagné par le fonds Valeur accumulée dans le fonds Montant net du prêt
0 5000
1 250 923.14 0 923.14 4076.86
2 250 923.14 36.93 1883.21 3116.79
3 250 923.14 75.33 2881.67 2118.33
4 250 923.14 115.27 3920.08 1079.92
5 250 923.14 156.80 5000.02 0
49
Exemple 4 (suite)

• Le montant net du prêt immédiatement après le 3e
  dépôt est alors

50
Exemple 5

• Un prêt de 75 000 est remboursé par un versement
  de 75 000 après huit ans et des versements
  annuels dintérêt faits à la fin de chaque année
  pendant 8 ans. Le taux dintérêt est le taux
  effectif dintérêt i 5 par année. Ainsi
  lemprunteur paiera 3750 dintérêt par année. Un
  fonds damortissement est mis en place pour
  accumuler le 75 000 à la fin de la huitième
  année. Des dépôts de R dollars seront faits à la
  fin de chaque année pendant 8 ans. Ce fonds est
  rémunéré au taux effectif dintérêt j 3 par
  année. Déterminer R, ainsi que le montant net
  dintérêt payé à la fin de la 5e année et le
  montant net du prêt immédiatement après le 5e
  dépôt.

51
Exemple 5 (suite)

• Nous avons léquation de valeur suivante

Conséquemment lemprunteur versera 3 750 8
434.23 12 184.23 à chaque année.
52
Exemple 5 (suite)

• Le montant net dintérêt payé à la fin de la 5e
  année est le montant dintérêt 3750, auquel nous
  soustrayons le montant dintérêt gagné par le
  fonds damortissement pendant la 5e année. Au
  début de la 5e année (cest-à-dire après le 4e
  dépôt), le montant accumulée dans le fonds est

Le montant dintérêt gagné par le fonds pendant
le 5e année est 35285.67(0.03) 1058.57. Donc
le montant net dintérêt payé à la fin de la 5e
année est 3750 - 1058.57 2691.43.
53
Exemple 5 (suite)

• Le montant net du prêt à la fin de la 5e année
  est le montant emprunté 75 000, auquel nous
  soustrayons le montant accumulé dans le fonds
  damortissement après le 5e dépôt, à savoir