Test i to populationer

1
Test i to populationer

• Hypotesetest for parrede observationer
• Test for ens varians
• Gensyn med flyskræk!

2
Afhængige og uafhængige stikprøver

• Ved en uafhængig stikprøve udtages en stikprøve
  fra hver gruppe.
• Mænd og kvinders løn Tag en stikprøve fra
  gruppen af mænd og en stikprøve fra gruppen af
  kvinder og sammenlign gennemsnitslønnen for de to
  grupper.
• Kilometer per liter Tilfældig stikprøve af
  Touraner og tilfældig stikprøve af Skodaer.
• Ved en afhængig stikprøve er observationerne i de
  to grupper parrede. Oftest er det den samme
  person/genstand, der bliver observeret i to
  forskellige situationer.
• Bio benzin kontra almindelig benzin Vælg
  tilfældigt et antal VW Touraner og test dem med
  de to forskellige typer benzin.
• Original Nike sko kontra Super Nike sko Vælg
  tilfældigt nogle personer til at løbe 5 km og lad
  dem teste begge par sko.

3
Forrige forlæsning

• Sammenligning af to middelværdier kendt
  varians
• norm. pop. eller stort n
• Hypotesetest Konfidensinterval
• Sammenligning af to middelværdier ukendt
  varians
• normal population
• Hypotesetest Konfidensinterval
• Sammenligning af to andele
• Hypotesetest Konfidensinterval
• Parrede observationer
• Hypotesetest Konfidensinterval
• Test for ens varians i to populationer

Denne forlæsning
4
Sammenligning af to andele, p1 p2, store
stikprøver
H0 p1 p2 0 ( dvs. H0 p1 p2 ) H1
p1 p2 ? 0 ( dvs. H0 p1 ? p2 )
Teststørrelse
Hvis H0 er sand, så gælder Z N(0,1). Forkast
H0, når p-værdien er lille, eller sammenlign med
de kritiskeværdier.
5
Eksempel - Titanic

• Er andelen af mænd, der overlevede, pm, den samme
  som andelen af kvinder, der overlevede, pk?

6
Eksempel - Titanic

• H0 pk pm
• H1 pk ? pm
• H0 forkastes da p-værdien P(Zgt18.23) 0.

7
Sammenligning af to andele, p1 - p2D, store
stikprøver
8
Konfidens interval for differencen, p1 p2,
mellem to andele
9
Eksempel - Titanic

• Find et 95 konfidensinterval for forskellen i
  andelen af overlevende blandt mænd og kvinder
• Da konfidensintervallet ikke indeholder nul, kan
  vi afvise H0 m1 m2 på signifikansniveau a
  0.05.

10
Parrede observationer

• For den ite person har vi to observationer Xi,1
  og Xi,2, fx. blodtryk før og efter behandling.
• For den ite person definerer vi differencen
  Di Xi,1-Xi,2.
• Forskelle mellem før og efter kan nu
  undersøges vha. hypotesetest af
  middeldifferencen, mD.
• Typisk antagelse er, at differencerne er
  normalfordelte, Di N(mD, sD2).
• Estimaterne for hhv. middelværdi og varians
  betegnes og .

11
Parrede observationer

• Udregn differencer

Nike Super 20 17 18 15 16 17 20 20
Nike Original 21 19 19 20 17 16 21 20
Super-Original -1 -2 -1 -5 -1 1 -1 0
12
F fordelingen og test for lighed af to
populationsvarianser
F fordelingen er fordelingen af brøken af to
chi-i-anden stokastiske variable, der er
uafhængige og hver er divideret med antallet af
dens frihedsgrader.
En F fordelt stokastisk variable med k1 og k2
frihedsgrader
13
F-tabellen
Critical Points of the F Distribution Cutting Off
a Right-Tail Area of 0.05 k1 1 2
3 4 5 6 7 8 9 k2
1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9
240.5 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35
19.37 19.38 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.8
9 8.85 8.81 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09
6.04 6.00 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.
82 4.77 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15
4.10 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3
.68 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.3
9 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18
10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 11
4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01
2.95 2.90 12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2
.85 2.80 13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.7
7 2.71 14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70
2.65 15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.
59
F-fordelingen med 7 og 11 frihedsgrader
0
.
7
0
.
6
0.05
0
.
5
)
0
.
4
F
(
f
0
.
3
0.05
0
.
2
0
.
1
F
0
.
0
5
4
3
2
1
0
3.01
F(7,11) 3.01
1/F(11,7) 0.278
Det venstresidet kritiske punkt, der hører til
F(k1,k2) er givet ved hvor F(k2,k1) er det
højresidet kritiske punkt for en F fordelt
stokastisk variabel, men det omvendte antal
frihedsgrader.
14
Kritiske punkter i F fordelingenF(6, 9), ? 0.10
Det højresidet kritiske punkt F(6,9) 3.37
Det tilsvarende venstresidet punkt
F-fordeling med 6 og 9 frihedsgrader
0
.
7
0.90
0
.
6
0.05
0
.
5
)
0
.
4
F
(
f
0
.
3
0.05
0
.
2
0
.
1
0
.
0
F
5
4
3
2
1
0
F0.053.37
F0.95(1/4.10)0.2439
15
Test for ens varians
Teststørrelsen til test for ens populations
varians i to normalfordelte populationer er givet
ved

• I Tosidet test
• ?1 ?2
• H0 ?1 ?2
• H1????? ?2
• IIEnsidet test
• ?1??2
• H0 ?1 ? ?2
• H1 ?1 ? ?2

16
Eksempel 8-10
17
Vigtigste fordelinger i kurset

• Binomial B(n,p)
• Normal N(m,s2)
• c2 c2(n)
• t t(n)
• F F(k1,k2)

18
Flyskræk!

• Passer overskriften?
• Politiken 6/12-07
• Er du tryg ved at flyve?
• Ja 86 i 2005 83 i 2007
• Er der sket en statistisk signifikant ændring?
• Sum selv svaret -)

19
Sidste Summeopgave

• Antag at der er blevet udspurgt 1001 personer i
  både 2005 og 2007.
• Test på signifikansniveau a0.05 om der er en
  forskel i andelen af folk, der er trygge ved at
  flyve.
• Bestem p-værdien.
• Hvad synes I om overskriften?

20
Til efteråret

• Variansanalyse
• Sammenligne middelværdier i mere end to
  populationer
• Bruge mere end en forklarende variabel
• Lineær regression
• Middelværdien er forklaret ved en eller flere
  kontinuerte forklarende variable
• Undersøge sammenhænge i kontingenstabeller større
  end 2x2.