Problemas de Satisfacci

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Problemas de Satisfacción de Restricciones (CSP)

• Contenidos
• Definición del problema de satisfacción de
  restricciones (CSP). Áreas de aplicación.
• Especificación de un problema CSP variables,
  dominios y restricciones.
• Tipología de restricciones (discretas y
  continuas, fuertes y débiles, restricciones
  lineales, disyuntivas, etc.).

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CSP

• Constraint Satisfaction is a simple but powerful
  idea
• Rina Dechter,
• In 'Constraint Processing'
• Morgan Kaufmann Pub. (2003)

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EJEMPLOS 1
4
EJEMPLOS 2
Juan, Pepe y Paco nacieron y viven en ciudades
diferentes (Málaga, Madrid y Valencia). Además,
ninguno vive en la ciudad donde nació. Juan es
más alto que el que vive en Madrid. Paco es
cuñado del que vive en Valencia. El que vive en
Madrid y el que nació en Málaga tienen nombres
que comienzan por distinta letra. El que nació en
Málaga y el que vive ahora en Valencia tienen
nombres que comienzan por la misma letra.
Donde nació y vive cada uno?
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EJEMPLOS 3

• "Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40
  minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va
  en coche (20-30 minutos) o en metro (40-50
  minutos).
• Hoy Juan parte de casa entre las 810 y las 820
  y Luis llega al trabajo entre las 900 y las
  910. Además, sabemos que Juan llegó al trabajo
  entre 10 y 20 minutos después de que Luis saliera
  de casa
• Cuestiones
• Esta información es consistente?
• Es posible que Juan haya usado el tren y Luis
  haya usado el Metro?
• Cuales son los posibles tiempos en los que Luis
  pudo haber salido de casa?, etc.

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EJEMPLOS 4

• Variables altura de viga, longitud de viga,
  canto de forjado
• Dominios continuos altura, longitud 0, 10
• Restricciones vibraciones, refuerzos,
  conexiones, etc.

• Consistencia
• Intervalos de tolerancia
• Soluciones
• etc

Objetivos
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CSP

• Problemas de Satisfacción de Restricciones
• CSP

Metodología de Resolución de problemas INTELIGEN
CIA ARTIFICIAL
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Definición de CSP

• Un Problema de Satisfacción de Restricciones
  (CSP)
• se puede representar como
• Un Conjunto de Variables Xx1, x2, ..., xn
• Dominios de Interpretación (D ltD1,,Dngt ) para
  las variables xiÎDi
• Un Conjunto de Restricciones entre las
  variables
• C c1, c2, ..., cm

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Modelización CSP
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Modelización 1

• Variables s,e,n,d,m,o,r,y
• Dominios s,e,n,d,m,o,r,y0,,9
• Restricciones

s e n d m o r e m o n e y
Especificación CSP

• Variables s, e, n, d, m, o, r, y
• Dominios s, e, n, d, m, o, r ,y 0,,9
• Restricciones
• Todas Diferentes,
• 103(sm) 102(eo) 10(nr) d e 104m
  103o 102n 10ey

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Modelización 2
s e n d m o r e m o n e y

• Variables s, e, n, d, m, o, r, y
• Dominios s, e, n, d, m, o, r ,y 0,,9
• Restricciones
• s?e, s?n, s?d, s?m, s?o, s?r, s?y, e?n, e?d,
  e?m,..
• de y10c1
• c1nr e10c2
• c2eo n10c3
• c3sm 10mo

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Resolución
MODELACIÓN CSP
RESOLUCIÓN CSP
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Objetivos

• Consistencia del problema (existe solución).
• Obtener una o todas las soluciones del problema.
• Obtener los dominios mínimos.
• La solución que optimiza una función objetivo o
  multi-objetivo.

CSP es NP-completo, NP-duro
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Objetivos

• Objetivo de un CSP
• Tiene solución? Þ Consistencia.
• Obtener una solución. Obtener todas las
  soluciones.
• Obtener una solución óptima, o al menos una buena
  solución, medida por alguna función objetivo
  (función de evaluación).

• Algoritmos para CSP
• Técnicas de Búsqueda (Algoritmos CSP) Obtienen
  una solución, guiados por heurísticas.
• Técnicas Inferenciales (Algoritmos de
  propagación) Obtienen las consecuencias de las
  restricciones explícitamente conocidas del
  problema.

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Conceptos básicos

• Dado un CSP (X, Di, C),
• Una instanciación (o asignación) de las variables
  X es una asignación de valores a las variables en
  sus dominios
• x1v1, x2v2, ..., xnvn / viÎD
• Una solución del CSP es una instanciación
  consistente de las variables, de forma que se
  satisfacen todas las restricciones del problema.
• Un valor v es un valor consistente (o posible)
  para xi si existe una solución del CSP en la cual
  participa la asignación xiv.
• Un CSP es consistente sii tiene al menos una
  solución.

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Conceptos básicosVariables

• Un CSP discreto es aquel en el que todas las
  variables son
• discretas, es decir, toman valores en dominios
  discretos.
• Un CSP continuo es un CSP en el que todas las
  variables son continuas, es decir, tienen
  dominios continuos.
• Un CSP mixto consta de variables continuas y
  discretas.
• Un CSP binario es aquel en el que todas las
  restricciones tienen a los sumo dos variables
  respectivamente.
• Un CSP no binario o n-ario es aquel en el que las
  restricciones
• tienen más de dos variables.

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Conceptos básicosRestricciones

• Discretas las variables participantes están
  acotadas en dominios discretos.
• Continuas las variables participantes están
  acotadas en dominios continuos.
• Binarias son restricciones en las que sólo
  participan dos variables.
• N-arias son restricciones en las que participan
  N variables (Ngt2).
• Fuertes (hard) son restricciones cuya
  satisfabilidad es imprescindible.
• Débiles (soft) son restricciones cuya
  satisfabilidad no es imprescindible.
• Difusas (fuzzy) son restricciones definidas
  sobre niveles de preferencia.
• Disyuntivas son restricciones compuestas por un
  conjunto disjunto de restricciones.

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N-reinas

• Definición posicionar n reinas en un tablero de
• ajedrez n x n, de forma que no se ataquen.
• Formulación 1 reina por fila
• variables reinas, Xi reina en la fila i-ésima
• dominios columnas posibles 1, 2, . . . , n
• restricciones no colocar dos reinas en
• la misma columna
• la misma diagonal
• Características
• CSP binario, discreto y finito

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Coloreado de Grafos

• Definición Dado un grafo,
• n nodos
• m colores,
• asignar un color a cada nodo de forma que no haya
• dos nodos adyacentes con el mismo color.
• Formulación
• variables nodos
• dominios colores posibles
• restricciones ? nodos adyacentes
• Características
• CSP binario, discreto y finito

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Crucigrama

• Definición Dada una rejilla y un diccionario,
  construir
• un crucigrama compatible.
• Formulación
• variables grupo de casillas para una palabra
  (slots)
• dominios palabras del diccionario con la
  longitud adecuada
• restricciones misma letra en la intersección
  de dos palabras
• Características
• CSP binario, discreto y finito (dominios
  grandes)

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Restricciones Temporales

• Definición dado un conjunto de sucesos que
  ocurren
• en intervalos temporales con ciertas relaciones,
  encontrar una asignación temporal consistente.
• Formulación
• variables sucesos
• dominios intervalo temporal para cada suceso
• restricciones distancia temporal permitida
  entre
• sucesos relaciones temporales antes, después,
  solapado, etc.
• Características
• CSP binario, continuo, con restricciones
  disyuntivas

"Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40
minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va
en coche (20-30 minutos) o en metro (40-50
minutos). Hoy Juan parte de casa entre las 810
y las 820 y Luis llega al trabajo entre las 900
y las 910. Además, sabemos que Juan llegó al
trabajo entre 10 y 20 minutos después de que Luis
saliera de casa"
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Problema de diseño

• Definición el problema consiste en llevar a cabo
  el diseño de un puente que debe constar de pocos
  arcos siendo preferible que los pilares no toquen
  el agua y los pilares sean lo más bajos posibles.

Formulación variables partes y elementos del
diseño dominios valores permitidos para cada
parte y elemento restricciones propiedades que
las partes deben satisfacer. Características
CSP no binario, mixto, con restricciones hard,
soft y difusas.
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CSPs binarios n-ariosBinario
Un CSP binario se suele representar mediante un
grafo, donde Nodos Variables Arcos Relaciones
binarias entre las variables.
X4
X2
X1 R12 x2 x3 R35 x5 x1 R15 x5 x4 R42 x2 x4
R45 x5 x2 R25 x5
X1
X5
X3
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CSPs binarios n-ariosNo Binario
Un CSP no binario no se suele representar
mediante un grafo, sino como un hiper-grafo
perdiendo toda la funcionalidad existente sobre
la teoría de grafos. donde Nodos
Variables Arcos Relaciones binarias entre las
variables.
C123
C24567
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Consistencia Niveles1-consistencia
Consistencia de nodo (1-consistencia) Un nodo
(xi) es consistente si al menos un valor en su
dominio es consistente con la restricción unaria
del nodo 10?xi? 15, D(Xi)0, 10 Un grafo red
es nodo-consistente sii todos sus nodos son
consistentes "xiÎCSP, viÎD / (xi ci0) se
cumple para xivi (ie DÇci0¹Æ)
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Consistencia Niveles2-consistencia

• Consistencia de arco (2-consistencia)
• Un arco (xi cij xj) es consistente si y solo si
  para cada asignación de xi en su dominio, existe
  una asignación para xi, tal que la restricción
  cij se satisface.
• Por ejemplo el arco

Cij
xi
xj

3,6
8,10
es consistente, pero no lo sería si cij en vez de
fuese ³ Un grafo es arco-consistente si todos
sus arcos son consistentes. "cij ÍCSP, "viÎdi
vjÎdj / (xi cij xj) se cumple para xivi, xjvj
27
Backtracking ejemplo
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Backtracking ejemplo
29
Backtracking ejemplo
30
Backtracking ejemplo