Unidad 4

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Matemática Básica para Economistas MA99

• Unidad 4
• Clase 4.3
• Matrices Definiciones, matrices especiales y
  operaciones con matrices

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Objetivos

• El alumno será capaz de
• Explicar la definición de una matriz.
• Identificar la posición de los elementos de una
  matriz.
• Identificar y clasificar los diversos tipos de
  matrices.
• Realizar operaciones con matrices suma, resta,
  multiplicación.
• Aplicar las propiedades en las operaciones entre
  matrices.

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Introducción

• Las matrices son de suma importancia en las
  ciencias, como la ingeniería, la economía y otras
  ciencias aplicadas.
• Son útiles para representar datos en forma
  ordenada, para modelar problemas y resolver
  sistemas de ecuaciones, para indicar las
  interrelaciones que existen en los diferentes
  sectores de la economía (Matriz Insumo
  Producto), entre otras.

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Matriz

• Una matriz es un arreglo rectangular de elementos
  (números reales) ordenados en filas y columnas

aij es el elemento situado en la i-ésima fila y
en la j-ésima columna. La matriz tiene m filas
y n columnas.

• B es una matriz de orden 2x5.

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Matrices especiales Matriz fila y matriz columna
Igualdad de matrices
Dos matrices A y B del mismo orden son iguales si
todos sus elementos correspondientes son iguales.
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Matrices especiales Matriz diagonal

• Es la matriz cuadrada Anxn aij definida por

?i ? R
Matrices especiales Matriz identidad
Es un caso particular de la matriz diagonal, en
la cual los elementos de la diagonal principal
son todos iguales a 1.
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Matrices especiales Matriz Triangular

• Matriz triangular inferior es una matriz
  cuadrada cuyos elementos situados por encima de
  la diagonal principal son todos iguales a cero.

Matriz triangular superior es una matriz
cuadrada cuyos elementos situados por debajo de
la diagonal principal son todos iguales a cero.
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Matriz transpuesta

• Dada una matriz Amxn aij, llamaremos matriz
  transpuesta de A a la matriz que resulta de
  intercambiar en A las filas por columnas. Esta
  matriz estará denotada por Atnxm aji.

Propiedades
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Matrices especiales Matriz simétrica y
antisimétrica
Una matriz cuadrada A se llama simétrica si At
A y antisimétrica si At -A.

• A es una matriz simétrica, pues At A.

• B es una matriz antisimétrica, pues Bt -B.

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Adición y sustracción de matrices
Dadas las matrices Amxn aij y Bmxn bij
del mismo orden, la suma (AB) o diferencia (A-B)
es una matriz cuyos elementos son las sumas o
diferencias de cada uno de los elementos
respectivos de las matrices. A B aij bij
A B aij bij
Multiplicación de un escalar por una matriz
El producto de un escalar k por una matriz es
otra matriz kA que se obtiene multiplicando cada
elemento de A por k.
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Ejercicios
Ejercicio Construya una matriz A aij, si A
es de orden 3x2 donde aij 4i 2j

• Ejercicio 6.1 Prob. 12 (pág. 230)
• Construya la matriz B bij si B es de orden
  2x2 y bij (-1)ij(i2 j2)
• Ejercicio 6.1 Prob. 13 (pág. 230)
• Si A aij es de orden 12x10, cuántas entradas
  tiene A? Si aij 1 para i j y aij 0 para i ?
  j, encuentre a33, a52, a10,10 y a12,10

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Ejercicios
Dadas las matrices

• Ejercicio 6.2 Probs. 29, 30 y 34 (pág. 238)
• Calcule
• 3AT D
• (B C)T
• (D 2AT)T

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Aplicaciones

• Ejercicio 6.1 Prob. 29 (pág. 230)
• La compañía Widget tiene sus reportes de ventas
  mensuales dados por medio de matrices cuyos
  renglones (filas), en orden, representan el
  número de modelos regular, de lujo y extra lujo
  vendidos, mientras que las columnas dan el número
  de unidades rojas, blancas, azules y púrpuras
  vendidas. Las matrices de enero (E) y febrero (F)
  son

a) En enero, cuántas unidades de los modelos de
extra lujo blancos se vendieron? b) En febrero,
cuántos modelos de lujo azules se vendieron? c)
En qué mes se vendieron más modelos regulares
púrpuras? d) De qué modelo y color se vendió el
mismo número de unidades en ambos meses?