MATRICES

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MATRICES
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1. Nomenclatura. Definiciones.
Las matrices son tablas numéricas
m filas
n columnas
El número de filas y columnas recibe el nombre de
dimensión de la matriz, y se designa por mxn.
El símbolo (aij) designa la matriz completa,
mientras que aij representa un elemento
cualquiera de la misma.
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Matrices cuadradas.
Si m n se dice que la matriz es cuadrada de
orden n
La diagonal principal está formada por los
elementos de la forma aii
La diagonal secundaria está formada por los
elementos aij tales que i j n 1
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Tipos de matrices. Matrices rectangulares.
Matriz rectangular es aquella que tiene distinto
número de filas que de columnas (m n)
Matriz fila es toda matriz rectangular con una
sola fila de dimensión 1 x n
Matriz columna es toda matriz rectangular con una
sola columna de dimensión m x 1
Matriz nula es una matriz rectangular con todos
sus elementos nulos. Se denota por 0.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma
dimensión y los elementos que ocupan el mismo
lugar en ambas son iguales.
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Ejemplos.

• 
  
• matriz nula 3x2
• matriz columna 2x1
• matriz rectangular 2x3
• matriz fila 1x4

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Tipos de matrices. Matrices cuadradas.
Matriz cuadrada de orden n es aquella que tiene
igual número de filas que de columnas (m n)
Matriz triangular superior es toda matriz
cuadrada en la que todos los términos por debajo
de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior es toda matriz
cuadrada en la que todos los términos por encima
de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que
todos los elementos no situados en la diagonal
principal son ceros.
Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que
todos los términos de la diagonal principal son
iguales.
Matriz unidad es la matriz escalar cuyos
elementos de la diagonal principal son todos
unos. Se designa por I
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Ejemplos.
matriz cuadrada de orden 2
matriz triangular superior de orden 3
matriz triangular inferior de orden 3
matriz diagonal de orden 3
matriz escalar de orden 2
matriz unidad de orden 3
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Matriz traspuesta. Matriz simétrica y
antisimétrica.
Matriz traspuesta de A, y se representa por At,
es la matriz que se obtiene cambiando filas por
columnas. Si A tiene dimensión m x n, At tendrá
dimensión n x m.
Matriz simétrica es toda matriz cuadrada tal que
aij aji. (coincide con su traspuesta)
Matriz antisimétrica o hemisimétrica es toda
matriz cuadrada tal que aij - aji
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2. Operaciones con matrices.
Suma de matrices.
Para que dos matrices puedan sumarse, es
necesario que tengan la misma dimensión.

• La suma de dos matrices A (aij) y B (bij) de
  la misma dimensión, es otra matriz S (sij) de
  la misma dimensión que los sumandos y con término
  genérico

sij aij bij
La suma de las matrices A y B se designa por A
B.
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Ejemplo.
Las dimensiones de A y B han de ser iguales
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Propiedades.
La adición de matrices tiene las siguientes
propiedades
A (B C) (A B) C (propiedad
asociativa)
1.
A B B A (propiedad conmutativa)
2.
A 0 A (0 es la matriz nula)
3.
La matriz A, que se obtiene cambiando de signo
todos los elementos de A, recibe el nombre de
matriz opuesta, ya que A (-A) 0
4.
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Diferencia de matrices.
La diferencia de las matrices A y B se representa
por A - B, y se define así
A - B A (-B)
Si D (dij) es la matriz diferencia de A y B
entonces
dij aij - bij
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Producto de un número por una matriz.
El producto de una matriz A(aij) por un número
real k es otra matriz B(bij) de la misma
dimensión que A tal que
bij kaij
El producto de la matriz A por el número real k
se designa por kA o kA
Ejemplo.
El resultado tiene la misma dimensión que la
matriz inicial
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Propiedades.
El producto de un número por una matriz verifica
las siguientes propiedades
k(A B) kA kB (propiedad
distributiva)
1.
(k h)A kA hA (propiedad
distributiva)
2.
k(hA) (kh)A (propiedad asociativa)
3.
1A A (elemento neutro)
4.
Propiedades simplificativas.
A C B C es equivalente a A B
1.
kA kB es equivalente a A B si k es distinto
de cero
2.
kA hA es equivalente a h k si A es distinta
de cero
3.
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Producto de matrices.
La multiplicación de dos matrices cualesquiera no
tiene por qué estar definida, e incluso aunque lo
esté, no tiene por que ser conmutativa. Por tanto
hay que precisar el orden de los dos factores de
un producto de matrices.

Para poder multiplicar dos matrices es necesario
que el número de columnas de la primera matriz
coincida con el número de filas de la segunda
matriz.
El producto de la matriz A(aij) de dimensión mxn
por la matriz B(bij) de dimensión nxq, es otra
matriz P(pij) de dimensión mxq que se obtiene
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Ejemplos.
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Propiedades.
El producto de matrices verifica las siguientes
propiedades
1.
A (B C) (A B) C (propiedad asociativa)
A B B A (no
es conmutativa)
2.
Si A es una matriz cuadrada de orden n
3.
A In In A A
Dada una matriz A de orden n, no siempre existe
otra B tal que
4.
A B B A In
Si existe la matriz B se dice que es la matriz
inversa de A, y se designa por A-1
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3. Matrices inversibles.
Dos matrices de orden n son inversas si su
producto es la matriz unidad de orden n.
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que
es inversible o regular en caso contrario se
dice singular.
Se puede obtener la matriz inversa, planteando un
sistema de ecuaciones a partir de la definición.
Otro método para el cálculo de la matriz inversa
es el método de Gauss.
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Ejemplo.

• Dada para obtener
• se ha de cumplir

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Método de Gauss.
Se parte del siguiente esquema inicial, siendo
A(aij) la matriz dada e I3 la matriz unidad.
I3
A
Y se llega a la expresión
I3
A-1
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• C U I D A D O ! !
• A B 0 no quiere decir que A 0
  o B 0
• A B A C no quiere decir que B
  C
• (A B)2 no quiere decir que sea A2 B2
  2AB
• (A - B)2 no quiere decir que sea A2 B2 -
  2AB
• (A B) (A B) no quiere decir que sea A2
  B2

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4. Rango de una matriz.
Una fila (o columna), I, no nula, depende
linealmente de sus paralelas, I1, I2, I3, ...
,In, si existen unos números reales, a1, a2, a3,
..., an, no todos nulos, tales que
I a1I1 a2I2 a3I3 anIn
Una fila (o columna), I, no nula, es linealmente
independiente de las filas o columnas si no se
pueden escribir en la forma anterior.
Se demuestra que en una matriz el número de filas
linealmente independientes es igual al número de
columnas linealmente independientes.
A este número se le llama rango de la matriz.
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Cálculo del rango de una matriz por el método de
Gauss.
Para realizar este cálculo

• Se pueden suprimir sin que varíe el rango

• Las filas o columnas nulas

• Las filas o columnas proporcionales a otras

• Las filas o columnas dependientes de otras

• Se pueden realizar las siguientes operaciones
  sin que varíe el rango.

• Multiplicar una fila o columna por un número
  distinto de cero

• Sumar o restar una fila o columna a otra

Aplicando estos procesos se puede llegar a una
matriz escalonada que indica el número de filas o
columnas independientes.
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Esquema.
rango 4
rango 3
rango 2
rango 1
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Para ello se utilizan las siguientes reglas
Regla 1 Multiplicar una fila por un número
distinto de cero
Regla 2 Sumar o restar a una fila otra
multiplicada por un número
Si en el proceso aparece en el lugar de la matriz
A alguna fila nula, la matriz no tiene inversa.
Una matriz cuadrada es inversible o regular
cuando su rango coincide con su orden, es decir
cuando las filas son linealmente independientes.
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Ejemplo.
Calcular la inversa de
Por tanto
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Ejemplo.
Calcular la inversa de
Por tanto