Application of the Fast Gauss Transform to Option Pricing

1
????????????????????

• ????? ???????
• ????

?????????????????? 2005?1?22?
2
??

• 1. ????
• 2. 2??????????????????
• 3. ????????????????
• 4. ???????????????????
• 5. ?????????????
• 6. ????

3
1. ????

• ???????
• ????????,?????????????????
• ??????? ??,??,??,etc
• ???????
• 3????1???102????????
• (??????????????)

???? St
St K gt 0 ?????
St K ????(????)
???? K
St K lt 0 ????????? (???????????)
?? T
?? t
4
??????????

• ????????
• ??????????????,??????????????
• ???? St ?????
• ???????????? St ?????????????
• ???????
• ??????????(????????)???????????????????????
• ????????????
• ???????????????? Q0(S0) ?????????

(r ???,q ???)
Q0(S0) erT E0 hT (ST)
??? hT (ST) max (ST K, 0 ) (??????????????)
5
??????????

• ??
• ?????,?????????? ST ?????,St 0 lt t lt T
  ???????????????????????????
• ?????,?????????,??????????????????????????????????
  ?
• ??????????????
• ?????????????? t0 0, t1, , tn T
  ??????????????????????????????????
• ?????,????????

Q0(S0) erT E0h(St).
h h (S0, S1, , Sn).
6
????????????????

• ??????????? (??????????)
• ???????????????????
• ???,?????1??? H ??????????
• ??????????????
• ??????????????,?????????
• ???????
• ???????? (CDD???)

St
K
H
????
t
T
St
????
h max (S0, S1, , Sn) Sn
t
T
Ti
T
n
7
????????????

• ????????????
• ??3??????????,Q0(S0).?????????????
• ??????????????,??????
• ???,???????????????
• ? ???????????
• ???????? T ????????,?? S ? Si ? S dS ??????
  Pi(Si) ????
• ???,Pi(Si) ??????????
• ???,p(SiSi1) ? Si ???????
• ???????? Pn(Si) ?????????????

8
???????????? (??)

• ?????????
• ????-?????????????,??????
• xt ln(St) (r (1/2)s2 ) ????????????????,??
  ?????????????????????????
• ????????????CDD??????
• ???????????????,????????,????????????????????
• CDD?????? (??? Dischel ????????)???

9
????????????

• ????
• Tridiagonal probability algorithm (Tse et al.,
  2001)
• ????????FFT????? (Reiner, 2000)
• DE-FGT? (Broadie and Yamamoto, 2004)
• 2??????????????????(???????????)?????????,????????
  
• ???????????

??
?????????
???
??
??????????
Tse et al.
O(N2)
O(exp(cN))
Reiner
??????? FFT
O(NlogN)
O(Nd)
DE-FGT
DE?? FGT
O(N)
O(exp(cN)/logN)
N ?????????
10
2. 2??????????????????

• ???????????
• ???????????????????
• ????????????? 2?????????? (DE??,Takahashi Mori,
  1974) ???
• DE?????
• ???????,???????????????????????????
• ???????????????
• ????,????????????? N ???????????????

11
DE?????(??)

• ????????
• DE?????????
• ???? x ????????????????

12
???????

• Motivation
• DE????????,???????????????????????????
• ????????,O(N2) ???????
• aji ?????????,FFT ??????? O(NlogN) ???????????
• pG(x) ????????????????,????????????????????????,??
  ????? O(N) ???????????

13
??????????

• ????????????
• ??????,??? xi ????????????
• ??????????????????
• ????????????????????????????
• ????,??????????
• ???????????

( hn(x) Hermite function )
14
??????????????

• 3?????????
• ????????????????,?????????
• ?????,??????????3?????????????????? (Greengard
  Strain, 1991)
• (1) ???(???? O(N))
• (2) ????? ???,n ????????(O(1))
• (3) ????? ???,m ????????(O(N))
• ?????,G(xi) (i1, , N) ? O(N) ???????

15
??????????
yj
xi
y0
x0
t 1
t
16
3. ???????????????

• ???????
• ????-?????????????????????????
• ?????
• Reiners ??? (??????? FFT)
• DE-FGT? (DE?? FGT)
• ?????
• Pentium II PC (450MHz) with Red-Hat Linux
• gnu C ?????
• ?????
• S0 K 100, r 0.1, q 0, s 0.3, T
  0.2, H 91, 99 (2)
• ???? 5, 25, 50

17
????????????????
Time (sec)
absolute error
DE-FGT?????Reiner ????????? DE-FGT???,?????50????
????????????,0.3????10-10 ?????
18
4. ??????????????????

• 1????????
• ????????????????????????
• ???,??????? (Andreasen, 1998)
• ?????,??????????????
• ???,???? si log(Si/S0) ? milog(Mi/S0) ?????,
• ?????,mn sn ???????????????

where
,
.
19
???????????????(??)

• mn sn ??????????????
• mn sn, ?????????????,??????????
• BS?????,mi1 si1 ? si1 si ????
• ???,(mi1 si1) (si1 si) ???????? mi1 si1
  ? si1 si??????????????????????
• mi si ????????,mi si lt 0 ???????? mi si 0
  ????????????????
• ??? mi si ????????,mi si 0 ?d?????????

20
???????????????(??)

• mn sn ??????????????(??)
• mi si ???????? cid(x) gi(x) ????, ci ? gi(x)
  ???????????
• ??? c0 1, gi(x) 0 ?,f (x) ? si1 si
  ???????
• BS?????,si1 si ???????? ????
• ?????????????????????????,DE-FGT??????????????

21
????

• ???????
• ????-???????????????????????????????
• ?????
• Tridiagonal probability algorithm (??????????)
• DE-FGT? (DE?? FGT)
• ?????
• S0 100, r 0.1, q 0, s 0.3, T
  0.5
• ???? 5, 25, 50

22
???????????????????
Time (sec)
?? lt 10-8 ??????????
absolute error
???? n5 n25 n50
Tridiagonal method 0.66s 20.55s 442.48s
DE-FGT? 0.008s 0.098s 0.30s
From Tse et al. (2001)
DE-FGT??Tridiagonal method ?????? DE-FGT???,?????
50???????????????????,0.3????10-10 ?????.
23
5. CDD??????????

• ???
• CDD??????????,?????????????
• ???CDD???????
• ????,Tk ? Ck ????????? pk (Tk, Ck)
  ????,????????????????????

Q0(T0) erT E0h
h max (CDD K , 0), CDD max (Ti T, 0)
where
n
Ck ? i1k max(0, Ti T )
max(Cn K, 0) pn (Tn, Cn).
24
CDD??????????(??)

• Tk ? Ck ???????
• ??? Dischel ????????,???????????????????
• Tk gt T ???,Ck Ck1 (Tk T )
  ???,??????????????????
• Tk lt T ??????????????

25
CDD??????????(??)

• ???
• ??????????????,Tk gt T ???,pk (Tk, Ck)
  ?????????????????
• ?????????????????????,????????????????????
• Tk lt T ????, pk (Tk, Ck) ????????????????

,
26
????

• ???????
• Dischel ??????? CDD ??????(???)
• ?????
• ???????
• ?????????????
• ?????
• ???? 7?7??? N ?? (N 10 or 20)
• ???? ??
• ????????? CDD (T 24 C)
• ???? K 20 ??? 40 C
• b 0.56, m 0.01, s 1.83, Qk
  20

o
o
27
CDD ??????????????
N10, S20
N20, S40
Price
Time (sec)
Time (sec)
?????????,102 ????????100 1000????
??????????????MC?????10?????
28
6. ????

• ????-????????????,???????????,??????????????,CDD??
  ????????????????????????????????
• ????????,2????????????????????????????,?????????
• ???????? DE-FGT ??,Reiner ???,????????????????,???
  ??????????????????????????

29
?????

• BS??????????????????????
• ??????????????????
• ??????? --- ?????????????????
• Kou???? --- ????????????????????
• ???????????????????
• ??????????????
• ?????????????
• ??????????
• ??????????