Math

1
Mathématiques CST

• Géométrie des FIGURES PLANES

Réalisé par Sébastien Lachance
2
Mathématiques CST- Géométrie des figures planes
-
? Révision des principales formules
A) Aires de triangles
3
A) Aires de triangles
Formule de Héron
(où p est le ½-périmètre du triangle)
4
B) Aires de quadrilatères
Rectangle
Carré
Acarré c2
5
B) Aires de quadrilatères
Parallélogramme
Aparallélogramme b ? h
Trapèze
Atrapèze
6
B) Aires de quadrilatères
Losange
Cerf-volant
7
C) Aires de polygones (à n côtés)
Apolygone régulier
D) Aires de disques
8
E) Relation de Pythagore
Les triangles rectangle se retrouvent aussi à
lintérieur des pyramides ou des cônes !
9
F) Relations métriques (dans les triangles
rectangles)
Hauteur relative à lhypothénuse
10
F) Relations métriques (dans les triangles
rectangles)
Mesure des cathètes
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G) Rapports trigonométriques (dans les triangles
rectangles)
mesure du côté opposé à ? A mesure de lhypoténuse
mesure du côté adjacent à ? A mesure de
lhypoténuse
mesure du côté opposé à ? A mesure du côté
adjacent à ? A
12
H) Loi des sinus (dans tous les triangles)
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Mathématiques CST- Géométrie des figures planes
-
? Figures planes équivalentes
Deux figures planes sont équivalentes si elles
ont la même aire.
A
Ex.
D
A
4 cm
2 cm
B
C
3 cm
B
C
3 cm
b x h
b x h
A
A
2
3 x 2
A
3 x 4
A
2
A
6 cm2
A
6 cm2
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Exercice
Quelle est la mesure de la grande diagonale du
losange ABCD si celui-ci est équivalent au
cerf-volant EFGH ?
E
A
13 cm
4 cm
15 cm
8 cm
B
D
F
G
4 cm
13 cm
C
H
?
Figures équivalentes
Alosange Acerf-volant
A?EFG A?FGH
?
Acerf-volant
Acerf-volant
A?EFG
p (p a) (p b) (p c)
(formule de Héron où p est le ½-périmètre)
A?EFG
16 (16 4) (16 13) (16 15)
A?EFG
16 (12) (3) (1)
A?EFG
24 cm2
alors
Comme
A?FGH 24 cm2
A?EFG A?FGH ,
Donc
A?EFG A?FGH
Acerf-volant
Acerf-volant
24 24
48 cm2
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Exercice
Quelle est la mesure de la grande diagonale du
losange ABCD si celui-ci est équivalent au
cerf-volant EFGH ?
E
A
13 cm
4 cm
15 cm
8 cm
B
D
F
G
4 cm
13 cm
C
H
?
Figures équivalentes
Alosange Acerf-volant
D x d
Dlosange
Alosange
?
2
D x 8
48
2
96
D x 8
12
D
Réponse
La grande diagonale mesure 12 cm.
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Mathématiques CST- Géométrie des figures planes -
? Propriétés des figures planes équivalentes
De tous les polygones équivalents à n côtés,
cest le polygone régulier qui a le plus petit
périmètre.
Ex. 1
Parmi ces triangles équivalents, cest le
triangle équilatéral qui a le plus petit
périmètre.
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Mathématiques CST- Géométrie des figures planes -
? Propriétés des figures planes équivalentes
De tous les polygones équivalents à n côtés,
cest le polygone régulier qui a le plus petit
périmètre.
Ex. 2
Parmi ces quadrilatères équivalents, cest le
carré qui a le plus petit périmètre.
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Mathématiques CST- Géométrie des figures planes -
? Propriétés des figures planes équivalentes
De tous les polygones réguliers équivalents,
cest le polygone qui a le plus petit côté qui a
le plus petit périmètre.
À la limite, cest le disque équivalent qui a le
plus petit périmètre.
Ex.
Parmi ces polygones réguliers équivalents, cest
lhexagone qui a le plus petit périmètre.
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Mathématiques CST- Géométrie des figures planes -
? Transformations dans le plan cartésien
A) Translation
On note t(a, b) la translation qui applique un
déplacement de
a unités horizontalement
b unités verticalement
Donc pour chaque point P (x, y) , limage devient
P (x a, y b) pour une translation t(a, b)
.
t (a, b)
P (x, y)
P (x a, y b)
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Exemple 1
t(2. 5)
2 unités horizontalement (vers la droite)
5 unités verticalement (vers le haut)
O (2, 5)
A (-3, 3)
5
5
2
O (0, 0)
2
A (-5, -2)
O est limage de O.
O (0, 0)
O (2, 5)
O (0 2, 0 5)
A est limage de A.
A (-5, -2)
A (-5 2, -2 5)
A (-3, 3)
21
Exemple 2
Où se retrouve le triangle ABC suite à la
translation t(-3, 2) ?
A (-5, 6)
A (-2, 4)
2
- 3
B (-5, 0)
C (0, 0)
2
2
- 3
- 3
B (-2, -2)
C (3, -2)
t (-3, 2)
A (-2, 4)
A (-2 3, 4 2)
A (-5, 6)
B (-2, -2)
B (-2 3, -2 2)
B (-5, 0)
C (3, -2)
C (3 3, -2 2)
C (0, 0)
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Exemple 3
Trouver limage du quadrilatère ABCD si on lui
applique une translation t(7, -5) .
A (3, 5)
7
- 5
7
B (4, 2)
A (10, 0)
- 5
7
D (-2, -2)
B (11, -3)
7
- 5
C (3, -4)
- 5
D (5, -7)
C (10, -9)
A (3, 5)
A (10, 0)
A (3 7, 5 5)
t (7, -5)
B (4, 2)
B (11, -3)
B (4 7, 2 5)
C (3, -4)
C (10, -9)
C (3 7, 4 5)
D (-2, -2)
D (-2 7, -2 5)
D (5, -7)
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Exemple 4
Le triangle ABC a subi une translation t(-3,
-2). Quelles étaient les coordonnées du triangle
ABC ?
A (-2, 4)
A (-5, 2)
2
3
B (-2, -2)
C (3, -2)
2
3
2
3
B (-5, -4)
C (0, -4)
t-1(3, 2)
A (-5, 2)
A (-5 3, 2 2)
A (-2, 4)
B (-5, -4)
B (-2, -2)
B (-5 3, -4 2)
C (0, -4)
C (0 3, -4 2)
C (3, -2)
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Mathématiques CST- Géométrie des figures planes -
B) Réflexion (ou symétrie)
On note sx la réflexion par rapport à laxe des
abscisses (ou  x ).
Pour chaque point P (x, y) , limage par sx
devient P (x, - y).
sx
P (x, y)
P (x, - y)
25
Exemple
sx
A (2, 3)
A (2, -3)
sx
A (2, 3)
A (2, -3)
26
On note sy la réflexion par rapport à laxe des
ordonnées (ou  y ).
Pour chaque point P (x, y) , limage par sy
devient P (- x, y).
sy
P (x, y)
P (- x, y)
sy
Exemple
sy
A (2, 3)
A (-2, 3)
A (2, 3)
A (-2, 3)
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Exemple
Trouver limage du quadrilatère ABCD si on lui
applique une réflexion sy .
B
B
A
A
C
C
D
D
sy
A (-2, 6)
A (2, 6)
B (2, 9)
B (-2, 9)
C (6, 4)
C (-6, 4)
D (5, 1)
D (-5, 1)
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Mathématiques CST- Géométrie des figures planes -
C) Homothétie
On note h(O, k) lhomothétie de centrée à
lorigine O et de rapport k.
Pour chaque point P (x, y) , limage par h(O, k)
devient P (kx, ky).
h(O, k)
P (x, y)
P (kx, ky)
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Exemple 1
Trouver limage du triangle ABC si on lui
applique une homothétie h(O, 2) .
B
B
A
C
C
A
h(O, 2)
A (2, 1)
A (2 x 2, 2 x 1)
A (4, 2)
B (2, 5)
B (2 x 2, 2 x 5)
B (4, 10)
C (4, 1)
C (2 x 4, 2 x 1)
C (8, 2)
30
Exemple 2
Trouver limage du triangle ABC si on lui
applique une homothétie h(O, ½) .
B
B
A
A
C
C
h(O, ½)
A (-8, -2)
A (½ x -8, ½ x -2)
A (-4, -1)
B (-2, 10)
B (½ x -2, ½ x 10)
B (-1, 5)
C (6, -6)
C (½ x 6, ½ x -6)
C (3, -3)
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Mathématiques CST- Géométrie des figures planes -
D) Rotations (autour de lorigine O)
Rotation de 90o
Pour chaque point P (x, y) , limage par r(O,
90o) devient P (- y, x).
r(O, 90o)
P (x, y)
P (- y, x)
Rotation de 180o
Pour chaque point P (x, y) , limage par r(O,
180o) devient P (- x, - y).
r(O, 180o)
P (x, y)
P (- x, - y)
Rotation de 270o
Pour chaque point P (x, y) , limage par r(O,
270o) devient P (y, - x).
r(O, 270o)
P (x, y)
P (y, - x)
32
Rotation de 90o
Pour chaque point P (x, y) , limage par r(O,
90o) devient P (- y, x).
r(O, 90o)
P (x, y)
P (- y, x)
Exemple
r(O, 90o)
B
r(O, 90o)
C
A (3, 2)
A (-2, 3)
B (3, 10)
B (-10, 3)
C (7, 2)
C (-2, 7)
B
A
C
A
90o
33
Rotation de 180o
Pour chaque point P (x, y) , limage par r(O,
180o) devient P (- x, - y).
r(O, 180o)
P (x, y)
P (- x, - y)
Exemple
r(O, 180o)
B
r(O, 180o)
C
A (3, 2)
A (-3, -2)
B (3, 10)
B (-3, -10)
C (7, 2)
C (-7, -2)
B
180o
A
A
C
C
A
B
34
Rotation de 270o
Pour chaque point P (x, y) , limage par r(O,
270o) devient P (y, - x).
r(O, 270o)
P (x, y)
P (y, - x)
Exemple
r(O, 270o)
B
r(O, 270o)
C
A (3, 2)
A (2, -3)
B (3, 10)
B (10, -3)
C (7, 2)
C (2, -7)
B
A
A
C
270o
C
A
A
B
C
B
35
Mathématiques CST- Géométrie des figures planes -
E) Dilatation ou contraction
Dilatation Figure étirée horizontalement ou
verticalement.
Contraction Figure rétrécie horizontalement ou
verticalement.
Pour chaque point P (x, y) , limage par une
contraction ou une dilatation devient P (ax, by).
P (x, y)
P (ax, by)
où a ? 0 et b ? 0.
Si a b, alors on a une homothétie.
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Exemple 1
Trouver limage du quadrilatère ABCD si on lui
applique la règle de transformation suivante
(x, y)
(x, 2y)
B
Cest une dilatation verticale !
B
A
A
C
C
D
D
A (-4, 1)
A (-4, 2)
A (-4, 2 x 1)
B (0, 4)
B (0, 2 x 4)
B (0, 8)
C (4, -1)
C (4, -2)
C (4, 2 x -1)
D (3, -4)
D (3, -8)
D (3, 2 x -4)
37
Exemple 2
Trouver limage du triangle ABC si on lui
applique la règle de transformation suivante
(x, y)
(½ x , y)
B
B
Cest une contraction horizontale !
A
A
C
C
A (-8, -2)
A (½ x -8, -2)
A (-4, -2)
B (-2, 10)
B (½ x -2, 10)
B (-1, 10)
C (6, -6)
C (½ x 6, -6)
C (3, -6)
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Mathématiques CST- Géométrie des figures planes -
F) Compositions de transformations
On utilise le symbole ? , qui se lit  rond ,
pour lier une série de transformations
consécutives.
On lit les transformations de DROITE à GAUCHE.
Ex.
sx ? h(O, 2) ? t(2, -5)
À lobjet initial, on applique
? t(2, -5)
? h(O, 2)
? sx
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Exemple
Trouver limage du triangle ABC suite à la
composition de transformations suivante
h(O, ?) ? sy ? t(4, -7)
t (4, -7)
B
A (-10, 16)
A (-6, 9)
A (-10 4, 16 7)
B (-7, 22)
B (-7 4, 22 7)
B (-3, 15)
C
B
C (-4, 19)
C (0, 12)
C (-4 4, 19 7)
A
C
sy
A
A (-6, 9)
A (6, 9)
B (-3, 15)
B (3, 15)
C (0, 12)
C (0, 12)
h(O, ?)
A (6, 9)
A (2, 3)
A(? x 6, ? x 9)
B (3, 15)
B (? x 3, ? x 15)
B (1, 5)
C (0, 12)
C (0, 4)
C (? x 0, ? x 12)
40
Mathématiques CST- Géométrie des figures planes -
G) Isométries et similitudes
ISOMÉTRIES
Conserve les distances. La figure reste inchangée
(angles et segments).
Translations, réflexions, rotations.
SIMILITUDES
La figure change de dimension. Seulement les
angles restent inchangés.
Homothéties