FIBONACCI

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FIBONACCI
La vita
La serie
Il rapporto aureo
Grafico
Fibonacci nel computer
Testi in Latino
Spirale Aurale
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La vita
Fibonacci, Leonardo (Pisa 1170 ca. - 1240 ca.),
detto anche Leonardo da Pisa, matematico italiano
che estese e integrò le conoscenze matematiche
delle culture europea, araba e indiana e che
contribuì notevolmente ai campi dell'algebra e
della teoria dei numeri. Apprese nella città
natale i rudimenti del calcolo all'età di circa
vent'anni si recò in Algeria, dove cominciò ad
appropriarsi del sistema di numerazione indiano e
dei metodi di calcolo arabi, conoscenze che
incrementò nel corso di lunghi viaggi nel bacino
del Mediterraneo. Utilizzò queste esperienze per
migliorare le tecniche del calcolo commerciale
che già conosceva e per estendere le ricerche dei
matematici classici, tra i quali i greci Diofanto
ed Euclide.La sua opera più importante fu
Pratica Geometriae nella quale si occupò di
trigonometria e di problemi di applicazione
dellalgebra alla geometria
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La serie
Il matematico pisano Leonardo Fibonacci fu
ricordato soprattutto per via della sua sequenza
divenuta ormai celeberrima. Luso della sequenza
di Fibonacci risale allanno 1202. Essa si
compone di una serie di numeri nella quale ognuno
di essi è la somma dei due numeri precedenti
(0,1,1,2,3,5,8,13,21).Nella seconda metà del
diciannovesimo secolo, un matematico francese di
nome Edouard Lucas riprese lo studio di tale
sequenza prendendo come valori di partenza 2 e 1.
Questa versione dei numeri fu conosciuta come la
sequenza di Lucas. Questultimo fu colui che rese
i numeri di Fibonacci noti a tutti. Johannes
Kepler notò poi che facendo il rapporto fra due
numeri di Fibonacci consecutivi, esso si
avvicinava sempre più a 1,61803, valore noto
anche con il nome di rapporto aureo.
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Edouard Lucas
Edouard Lucas riprese la sequenza di fibonacci
ponendo come numeri iniziali 2 e
1(2-1-3-4-7-11-18)
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Consideriamo la seguente successione numerica
in cui ogni termine è la somma dei due termini
precedenti cioè per ogni n maggiore di 2,
Successioni di questo tipo, in cui ogni termine è
definito come una certa funzione dei termini
precedenti, sincontrano di frequente in
matematica e sono chiamate successioni
ricorrenti. In aggiunta alla condizione (2), per
determinare i termini di una successione
ricorrente è indispensabile conoscerne i primi
due procedendo in tal modo è possibile
raggiungere termini di indice arbitrariamente
grandi e determinarli. La sequenza di Fibonacci
descritta in precedenza è proprio un esempio di
successione ricorrente in cui u1 u2 1 ed i
suoi termini, aventi una notevole gamma di
proprietà e applicazioni, sono detti numeri di
Fibonacci.
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Rapporto Aureo
Gli studi di Leonardo Da Vinci sul corpo umano
hanno indicato come Rapporto Aureo il rapporto
esteticamente più piacevole tra le lunghezze del
corpo umano (ad esempio tronco/gambe)
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Fibonacci nel computer
I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel
sistema informatico di molti computer. In
particolare vi è un complesso meccanismo basato
su tali numeri, detto "Fibonacci heap" che viene
utilizzato nel processore Pentium della Intel per
la risoluzione degli algoritmi.
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SPIRALE AURALE
Costruzione della Spirale Aurea La Spirale Aurea
è basata su una serie di quadrati che possono
essere costruiti dentro il rettangolo aureo
Per iniziare la costruzione disegna un arco da un
angolo del rettangolo fino ad intersecare il lato
adiacente. Quindi conduci un segmento
perpendicolare al lato che è stato intersecato,
dal punto d'intersezione al lato opposto.
Ripeti il procedimento per formare un altro
quadrato...
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• Lavoro realizzato da
• Stefano Fusco e Vincenzo Totaro

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.. e così via.
 
Disegnando archi con sequenze di quadrati, si può
costruire la spirale logaritmica nota come
Spirale Aurea
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SEZIONE AUREA definizione
A M B
1-x x Il segmento AB viene
diviso dal punto M in modo tale che il rapporto
tra le due parti, la più piccola con la più
grande (AM e MB), è uguale al rapporto della
parte più grande (MB) con tutto AB. Se AB è di
lunghezza 1, e chiamiamo x la lunghezza del
segmento AB, allora la definizione sopra fornita
dà luogo alla seguente equazione
 
1 - x x , e cioè 1-x x2
che ha due soluzioni per x, (-1-radq5)\2 e
(radq5-1)\2.La prima è negativa,per cui non
soddisfa le condizioni del problema.La seconda
rappresenta proprio il rapporto di sezione aurea
ed è un numero irrazionale corrispondente a circa
0,618. Il reciproco di x (1/x) viene indicato con
Ø e corrisponde a 1x, cioè circa 1,618. Molto
spesso questo rapporto viene indicato come
rapporto aureo e viene utilizzato nella
costruzione del rettangolo aureo.La costruzione
della sezione aure suggerisce la possibilità di
realizzare un processo di crescita in cui si
conservano costantemente i rapporti, cioè la
crescita dà luogo ad  organismi che rimangono
sempre simili a se stessi.
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Frontespizio del libro Pratica geometriae di
Fibonacci
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dalla Pratica geometriae di Leonardo Pisano
Incipit septima distinctio de inuentione
altitudinum rerum e elevatarum et profunditatum
atque longitudinum planitierum   Si vis metiri
aliquam altitudinem Erige astam in plano et
fac eam stare orthogonaliter super ipsum planum
et elonga te ab ipsa asta, et ab altitudine
metienda et pones oculum in terra prospiciens
per summitatem aste et si visus tuus transibit
ad punctum summitatis metiende altitudinis, signa
punctum in terra in locum ubi erit oculus. Et si
linea egrediens ab oculo tuo per summitatem aste
non venerit ad punctum summitatis altitudinis
ipsius, muta te retro vel ante donec linea
progrediens ab oculo tuo per summitatem aste,
ascendat recte ad summitatem altitudinis
predicte et tunc erit proportio plani, quod est
inter oculum et rem elevatam ad ipsam rem
elevatam quam uis metiri sicut planum, quod est
inter oculum et astam ad ipsam astam.
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Verbi gratia. Sit altitudo ab., que sit erecta
super planum, in quo sit linea .bc. quare
angulus .abc. erit rectus et in ipso plano, et
super rectam .bc. orthogonaliter erigatur asta
.de. et punctus .c. sit oculus tuus a quo
transeat linea .ac. ascendens per summitatem
aste, que est punctus .e. et erit trigonum .abc.
ex summitate .ab. et linee .bc. existens in
plano et ex linea ac, quam facit oculus tuus et
trigonum .edc. erit ex asta .ed. et ad planum
.dc. et linea .c.e. trigona quidem .abc. et
.edc., sibi invicem sunt similia, quia sunt
equiangula est enim uterque angulorum .abc. et
.edc. rectus et angulus qui ad .c. utrique
triangulo est comunis reliquus qui ad .a.
reliquo qui sub .ccd. est equalis equiangula
ergo sunt trigona .abc. et .dec., quare et
similia. Similia enim trigona circa equales
angulos habent latera proportionalia est enim
sicut .cd. ad .de., ita .cb. ad .ba. Vnde si .cd.
et .de., scilicet spatium quod est inter oculum
et astam et ipsa asta .de. fuerint nota, erit
nota linea .cb. erit utique nota et altitudo
.ab. quia si equalis est .cd. ex .de. , equalis
erit .cb. ex .ba. et si maior, maior et si
minor, minor Que ostendantur cum numeris. Esto
asta ed. quinque palmorum et spatium .cd. sit
equale ei et sit spatium .cb. 30. ulnarum erit
propter hoc et altitudo .ab. similiter .30.
ulnarum, cum .cd. sit equalis .de., ut in prima
figura patet.
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Item esto .cd. maior asta .ed., erit propter hoc
et planum .cb. maius altitudine .ab., ut in hac
secunda figura patet, in qua ponimus spatium .cd.
12 palmorum et astam .ed. octo palmorum et
planum .cb. .60. ulnarum. Quare erit ut .cd. ad
.de., hoc est sicut .12. ad .8. uel in minoribus
numeris sicut .3. ad .2., ita .cb. ad .ba. unde
si multiplicaverimus .60. per .2., et diviserimus
per .3., uenient ulne .40. pro altitudine .ab.
Rursus esto .cd. minor quam .de. Quare spatium
.cb. erit minus altitudine .ab., ut in hac tertia
patet figura in qua ponimus .cd. .9., scilicet
spatium quod est inter oculum et astam et astam
.ed. .12., et planum .cb. .45. Quare quantum
addit .ed. super .dc., tantum addet altitudo .ab.
super planum .bc. est enim .ed. ad .dc.
proportio sexquitertia. Quare altitudo .ab. addit
super planum .cb. tertiam eius que est .15. et
sic altitudo .ab. est .60. uel si .45., scilicet
.cb., multiplicentur per .12. , hoc est per .ed.
et summa diuidatur per .cd., scilicet per .9.,
venient .60. pro altitudine .ab. uel si .cb.
multiplicetur per 1/3 ex .ed., et diuidatur per
1/3 ex .cd., uenient similiter .60. pro .ab. uel
si 1/3 ex .cb. multiplicetur per 1/3 ex .ed.,
venient .60. pro altitudine .ab..
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Ex hoc quidem quidam uolens metiri in nemoribus
arbores aptas navibus talem modum acceperunt
habent arundinem equalem sue stature quam habent
ab extremitate tali usque ad oculum et ponunt se
in terra contra arborem, quam metiri uolunt,
extense tenendo arundinem orthogonaliter erectam
secus extremitatem utriusque tali, ut quanta sit
altitudo arundinis , tanta sit longitudo stature
a talo usque ad oculum ipsius et mutant se
aliquando uersus arborem appropinquando,
aliquando elongando ab ea et hoc faciunt donec
transeat uisus eorum per summitatem arundinis ad
summitatem arboris et tunc quanta est
longitudo, que est inter oculum et pedem arboris,
tantam dicunt esse altitudinem arboris. Verbi
gratia sit altitudo arboris .ab., arundinis
.cd., et statura hominis .de. et sit .e. oculus
eius cuius uisus linea .ae. transiens per punctum
.c. et tunc erit .eb. sicut .ed. ad .dc., ut
superius ostensum est. Geometre vero volendo
aliquam subtilitatem geometricam ostendere, stant
non multum longe ab arbore, et cum arcu duas
sagittas sagittant ad arborem, vnam ad radicem
eius et aliam ad punctum sumitatis eius sed
unicuique sagitte ligant unum filum et tendunt
ipsa fila perducentes ea ad unum punctum in
plano, facientes ex ipsis filis et ex arbore
trigonum orthogonium cuius cathetus est ipsa
arbor et eius basis est filum sagitte ad pedem
arboris protracte et eius ypothenusa est filum
alterius sagitte quod obtendit angulum rectum.
Verbi gratia sit arbor linea .ab. et filum
inferioris sagitte sit .bc., et filum alterius
sit .ac. Cumque utriusque fili mensuram habuerint
quadratum fili .bc. extrahteur ex quadrato fili
.ac., remanet eis quadratum arboris .ab. ut si
filum .ac. fuerit cubitorum .50., et filum .bc.
fuerit .30., auferatur quadratum de .30., quod
est .900., de quadrato de .50., quod est .2500.,
remanebunt pro quadrato arboris .ab. 1600. cuius
radix, que est .40, est altitudo arboris .ab.
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Possums etiam dimensionem cuiuscumque altitudinis
per aliquem triangulum ligneum habere, dum in
ipso triangulo ab uno angulorum cathetus producta
fuerit et basis super quam cathetus cadet ponatur
in plano. Verbi gratia sit altitudo metienda
.ab. et triangulus ligneus esto .e.c.f., cuius
cathetus esto .ed. et stet trigonum .ecf. super
planum altitudinis ita ut linea .ed. stet
orthogonliter super ipsum planum et tunc ponant
oculum super latus trigoni .ec. qui oculus sit
.h. , et aspiciat per punctum .e. et si visus
tuus transeundo per .e. venerit ad .a., erit
sicut .cd. ad .de., ita .cb. ad .ba. et si
visus transeundo per .e. venerit inter .ab.,
apropinquabis triangulum ad altitudinem .ab. et
si idem uisus ascendet super altitudinem .ab.,
reduces triangulum retro, et facies semper
cathetum .ed. orthogonaliter stare super planum,
fulciendo ipsum triangulum cum lapillis et cum
terra et hoc facies donec oculus tuus per .e.
uideat .a. et cum hoc factum fuerit erit ut
dixi sicut .cd. ad .de., ita .cb. ad .ba. ut si
.cd. fuerit .3. cuiuscumque mensure et .de.
fuerit .4., et .cb. .30. passuum erit propter hoc
altitudo .ab. passus .40. quia .ed. addit super
.cd. tertiam eius quare et .ab. addit similiter
tertiam super .cb. uel si .cb. multiplicetur per
.ed., et suma diuidatur per .cd., uenient
similiter .40. pro altitudine .ab. ...
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GRAFICO
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• Indice
• I quindici capitoli del Liber abaci sono i
  seguenti
• De cognitione novem figurarum indorum et qualiter
  cum eis omnis numerus scribatur et qui numeri,
  et qualiter retineri debeant in manibus, et de
  introductionibus abbaci
• De multiplicatione integrorum numerorum
• De additione ipsorum
• De extractione minorum numerum ex maioribus
• De divisione integrarum numerorum per integros
• De multiplicatione integrarum numerorum cum
  ruptis atque ruptorum sine sanis
• De additione ac extractione et divisione
  numerorum integrarum cum ruptis atque partium
  numerorum in singulis partis reductione
• De emptione et venditione rerum venalium et
  similium
• De baractis rerum venalium et de emptione
  bolsonalie et quibusdam regulis similibus
• De societatibus factis inter consocios
• De consolamine monetarum atque eorum regulis que
  ad consolamen pertinent
• De solutionibus multarum positarum questionum
  quas erraticas appellamus

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• De regula elcatayam qualiter per ipsam fere omnes
  erratices questiones solvantur
• De reperiendi radicibus quadratis et cubitis ex
  multiplicatione et divisione seu extractione
  earum in se et de tractatu binomiorum et
  recisorum et eorum radicum
• De regulis proportionibus geometrie
  pertinentibus de questionibus aliebre et
  amulchabale
• Incipit del primo capitolo
• Novem figure indorum he sunt
•  

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FINE
FUSCO STEFANO TOTARO VINCENZO DE LUCA CLAUDIA