Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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Universidade Federal do Rio Grande do
Norte DIM0430 - Lógica Aplicada a Computação
2009.3 Professor Aquiles Burlamaqui
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Sumário

• Introdução
• Evolução Histórica da Lógica Modal
• Modalidades Aléticas
• Lógicas Modais
• Lógica Epistêmica
• Lógica Temporal
• Lógica Deôntica
• Lógica Doxástica
• Outras Lógicas Modais
• Semântica de Kripke
• Aplicações

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Introdução

• Lógica Modal é o estudo do comportamento dedutivo
  de expressões que tratam de modos quanto ao
• Possibilidade
• Necessidade
• Probabilidade
• Tempo
• Outros

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Evolução Histórica da Lógica Modal

• 1933 - Rudolf Carnap e Kurt Gödel
• Possibilidade, Necessidade e Probabilidade
• 1937 - Robert Feyes
• Sistema T de Lógica Modal
• 1951 - Georg Henrik Von Wright
• Sistema M, que é elaborado sobre o Sistema T
• 1955 - C.I.Lewis
• Sistemas modais S1, S2, S3, S4 e S5, sobre o
  Sistema M
• 1965 - Saul Kripke
• Sistema modal normal mínimo K

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Modalidades Aléticas

• O termo "alética" deriva da palavra grega
  "aleteia" que quer dizer verdade.
• Tipos de Proposições
• Necessárias
• Proposições que necessariamente são verdadeiras
  ou falsas, ou seja, sua negação é impossível.
• 22 4

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Modalidades Aléticas

• O termo "alética" deriva da palavra grega
  "aleteia" que quer dizer verdade.
• Tipos de Proposições
• Possíveis
• Proposições que podem levar a uma ocorrência, ou
  seja, ela não é necessariamente falsa
• Pode estar chovendo em Natal agora

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Modalidades Aléticas

• O termo "alética" deriva da palavra grega
  "aleteia" que quer dizer verdade.
• Tipos de Proposições
• Contingentes
• Proposições que podem ser ou não verdades
• Sócrates era um filósofo

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Modalidades Aléticas

• O termo "alética" deriva da palavra grega
  "aleteia" que quer dizer verdade.
• Tipos de Proposições
• Impossíveis
• Proposições que marcam a impossibilidade de um
  acontecimento
• Uma pedra tem emoções

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Possibilidade Física

• Uma dada proposição é dita fisicamente possível
  quando é permitida pelas leis naturais ou
  científicas.
• Possivelmente existe um átomo com número atômico
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• Possibilidade Lógica x Física
• É possível acelerar um objeto além da velocidade
  da luz

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Possibilidade Metafísica

• O que é Real, Natural ou Sobrenatural?
• A Metafísica tenta esclarecer as noções de como
  as pessoas entendem o mundo, incluindo a
  existência e a natureza do relacionamento entre
  objetos e suas propriedades, espaço, tempo,
  causalidade, e possibilidade.
• No ponto de vista da filosofia, existe uma
  ponderação sobre as propriedades que um objeto
  possui independentemente das leis científicas.
• Possivelmente irei falar com Deus hoje
• Possibilidade Metafísica x Possibilidade Lógica
• Está chovendo e não está chovendo

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Lógicas Modais

• Alfabeto
• Operadores Unários Básicos
• ? (L) - Necessário
• ? (M) - Possível
• Símbolos
• Absurdo/Contradição ?
• Pontuação ( e )
• Conectivos , ?, ? e ?

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Lógicas Modais

• Definição do sistema base

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Exemplos

• ?? é possível que ? seja verdade
• ?? é necessário que ? seja verdade
• ?? ? ?? aquilo que é necessário é possível
• ? ? ?? se algo é verdadeiro, então é possível
• ? ? ??? algo que é verdadeiro é necessariamente
  possível
• ?? ? ??? aquilo que é possível é
  necessariamente possível

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Construção de sistemas
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Outros axiomas
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Lógica Epistêmica

• Epistemologia é a parte da filosofia que trata da
  natureza e limitações do conhecimento
• A Lógica Epistêmica é um sub-campo da lógica
  modal que trata do raciocínio sobre o
  conhecimento.

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Modelagem da Lógica Epistêmica

• A lógica epistêmica é modelada utilizando o
  conceito matemático das estruturas Kripke, e
  utilizando o sistema da lógica modal.

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Sintaxe

• Operadores Unários Básicos
• K Sabe-se que
• Substitui ?
• Três outros operadores modais podem ser
  adicionados à linguagem.
• E( g )- "todos os agentes no grupo G
  conhecem...".
• C( g ) - "é do conhecimento comum de todos os
  agentes em g..."
• D( g ) - "o conhecimento é distribuído a todos os
  agentes em g..."

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Semântica

• Modelo de Kripke Dado um conjunto de proposições
  primitivas F, Um modelo de Kripke M para n
  agentes sobre F é ( S , p , K1 , K2 , ... , Kn )
  onde
• S É um conjunto não vazio de estados ou mundos
  possíveis.
• ? É uma interpretação que associa cada estado de
  S com um valor verdade de uma proposição de F.
• K1, ... , Kn São relações binárias em S para n
  números de agentes.

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Semântica

• A valor verdade depende não só da estrutura, mas
  depende também do estado atual.
• Para mostrar que uma fórmula f é verdade para um
  certo estado escrevemos ( M , s ) ? f.
  Normalmente lido como f é verdade em ( M , s ).

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Propriedades

• Assumindo que Ki é uma relação de equivalência,
  algumas propriedades do conhecimento podem ser
  derivadas.
• Axioma da Distribuição (K)
• Axioma da Verdade (T)
• Axioma da Introspecção Positiva (4)
• Axioma da Introspecção Negativa (5)
• Regra da Generalização do Conhecimento (N)

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Propriedades

• Axioma da Distribuição (K)
• Se um agente conhece f e se ele sabe que f ? ?,
  então ele também conhece ?.
• ( Ki f ? Ki ( f ? ? ) ) ? Ki ?

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Propriedades

• Axioma da Verdade (T)
• Se o agente conhece fatos, então os fatos devem
  ser verdadeiros.
• Ki f ? f

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Propriedades

• Axioma da Introspecção Positiva (4)
• O agente sabe o que ele sabe.
• Ki f ? Ki Ki f

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Propriedades

• Axioma da Introspecção Negativa (5)
• O agentes sabe o que não ele sabe.
• Ki f ? Ki Ki f

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Propriedades

• Regra da Generalização do Conhecimento (N)
• Se f é verdade em todo mundo que o agente
  considera como mundo possíveis, então o agente
  deve conhecer f em todos os mundos possíveis.
• Se M ?f então M ? Ki f

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Propriedades

• Lógica Epistêmica também lida com a crença, e
  não só apenas com o conhecimento. Para isso o
  operador modal K pode ser substituído por B.
• Operador unário básico
• B Acredita-se que
• Devido a isso o Axioma da Verdade perde o sentido
  e é substituído pelo Axioma da Constituição.

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Propriedades

• Axioma da Constituição (conhecido como D)
• O agente não acredita na contradição
• Bi?

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Lógica Temporal

• A lógica temporal é outro subconjunto da lógica
  modal que possui como objetivo de permitir a
  variação da veracidade das asserções ao longo do
  tempo.

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Lógica Temporal

• Operadores Unários Básicos
• G Sempre no futuro
• Substitui ?
• F Alguma vez no futuro
• Substitui ?
• É usual introduzir outro operador unário.
• O - No próximo instante

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Lógica Deôntica

• A lógica deôntica estuda a validade de argumentos
  nos quais frases regidas por expressões como É
  obrigatório que..., É permitido que...
  desempenham papel relevante.
•  
• Operadores Deônticos
• O operador de Obrigação
• P operador de Permissão
•  
• Pp Op
• Op Pp

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Lógica Deôntica

• A lógica deôntica não possui o axioma T
  (reflexividade).
• Na lógica deôntica não podem valer as frases
• Op ? p - Pois esta afirma que o que é obrigatório
  é verdadeiro, ou seja, que a norma é sempre
  cumprida.
• p ? Pp - Segundo esta, o que é verdadeiro é
  permitido.

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O Sistema Base

• Seja o operador de obrigação (O) tomado como
  primitivo. Com o seu auxílio, os três axiomas do
  sistema-padrão podem ser formulados, da seguinte
  maneira
• A1. Op ? Op
• A2. O(p q) (Op Oq)
• A3. O(p ? p)
• Como P, por definição equivale a Op, o axioma
  A1 diz o mesmo que a fórmula Op ? Pp.

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O Sistema Base

• As regras de inferência do sistema padrão são as
  seguintes
• Regra da substituição de variáveis
  proposicionais O resultado da substituição
  uniforme de uma variável proposicional por uma
  fórmula, num teorema, também é um teorema.
• Regra do modus ponens Se p e p ? q forem
  teoremas, então q também o será.
• Regra da extensionalidade deôntica Se p e q
  forem frases equivalentes, então Pp e Pq também o
  serão.

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O Sistema Base

• A partir dos axiomas e regras do sistema base, os
  seguintes teoremas podem ser derivados, dentre
  outros
• (Op Op)
• (Op ? Oq) Op ? Oq
• (Op ? Oq) Pp ? Pq
• O(p ? q) (Fp Fq)

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O Sistema Base

• Op ? (q ? r) (Fq Fr) ? Fp
• Op ? O(p ? q)
• Fp ? O(p ? q)
• p ? (p ? Oq)
• Fp ? F(p q)

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Lógica Doxástica

• Lógica Doxástica é uma Lógica Modal voltada para
  o raciocínio sobre as crenças
• O termo doxástica tem origens no grego antigo
  onde doxa significa crença
• Normalmente, uma lógica doxástica utiliza Bx
  com o significado acredita-se que x é
  verdadeiro e o seguinte conjunto como sendo
  conjunto das crenças.
• b1, b2, ..., bn , onde b1 B(x), b2 B(p)
  ...

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Tipos de raciocínio

• Para demonstrar as propriedades do conjunto de
  crenças, Raymond Smullyan definiu os seguintes
  tipos de raciocínios
• Raciocínio Preciso Nunca crê em qualquer
  proposição falsa
• ?p(Bp ? p)

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Tipos de raciocínio

• Raciocínio Impreciso Existe uma proposição na
  qual se crê e esta é falsa
• ?p(Bp p)
• Raciocínio Presunçoso Acredita nunca ser
  impreciso.
• B(?p(Bp p))
• Raciocínio Consistente Nunca crê simultaneamente
  em uma proposição e em sua negação
• ?p(Bp Bp)
• Raciocínio Normal Sempre que se crê em p, se crê
  também que se crê em p
• ?p(Bp? BBp)

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Tipos de raciocínio

• Raciocínio Peculiar Existe alguma proposição p
  tal que acredita-se em p e acredita-se também que
  não se crê em p
• ?p ( Bp B Bp )
• Raciocínio Regular Sua crença é distributiva
  sobre as operações lógicas
• ?p ? q( (p?q) ? (q ?p) )
• Raciocínio Reflexivo Para toda proposição p
  existe uma proposição q tal que o raciocínio
  acredita que q ( Bq ? p ). Em conseqüência
  disso, se um raciocínio reflexivo crê Bp ? p,
  concluí-se que ele acreditará em p
• ?p ( B(Bp?p) ? Bp )

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Tipos de raciocínio

• Raciocínio Instável Existe alguma proposição p
  tal que ela crê que ela crê em p, mas na
  realidade ela não crê em p.
• ?p( BBp ? Bp )
• Nota Este é um fenômeno tão estranho quanto a
  peculiaridade, entretanto, não necessariamente um
  raciocínio instável é incoerente
• Raciocínio Estável Não é instável. Isto é, se
  para todo p, se ele crê Bp então ele crê em p
• ?p( BBp ? Bp )
• Nota O raciocínio estável é o oposto da
  normalidade

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Tipos de raciocínio

• Raciocínio Modesto Para toda proposição p, ele
  crê Bpp se ele também crê em p
• ?p( B( Bp? p ) ? Bp )
• Nota Todo raciocínio reflexivo é modesto

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Semântica de Kripke

• Saul Aaron Kripke, nascido em 1940 em Omaha,
  Nebraska, é amplamente reconhecido como um dos
  filósofos vivos mais importantes.
• Sua obra é muito influente em diversas áreas da
  filosofia, desde a lógica até a filosofia da
  mente, passando pela filosofia da linguagem.
• A semântica proposta por Kripke, conhecida como
  semântica dos mundos possíveis, permite
  formalizar qualquer lógica modal.

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Semântica de Kripke

• Ela é apenas um dos tipos de semântica de teoria
  de modelos, e talvez seja o mais bem compreendido
  e o mais bem desenvolvido
• Por quê a semântica de Kripke é necessária nos
  sistemas modais?
• Para responder essa questão, consideremos a
  seguinte sentença
• Necessariamente, 2 2 4

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Semântica de Kripke

• Interpretação no modelo padrão do Cálculo de
  Predicados
• Presume um certo modelo fixo que não muda
• Interpretação da sentença ocorre nesse único
  modelo
• Um único conjunto de indivíduos
• Dois valores verdade etc.

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Semântica de Kripke

• A sentença anterior pode expressar um significado
  mais amplo do que o comum
• Podemos não estar referindo-nos apenas ao nosso
  mundo, às regras do mundo real
• Interpretação na nova semântica
• Além do conjunto de indivíduos e valores verdade,
  acrescenta um conjunto de mundos possíveis

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Semântica de Kripke

• Sendo assim, temos os seguintes conjuntos
• E conjunto de indivíduos
• 0, 1 conjunto de valores verdades
• P conjunto de mundos possíveis
• A partir desse modelo, é possível considerar a
  veracidade das sentenças em outros mundos além do
  mundo real

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Semântica de Kripke

• Consideremos agora a seguinte sentença
• É possível que esteja chovendo em Pequim
• Quando é verdadeiro dizer que está chovendo em
  Pequim?
• Na nova semântica, é verdadeira apenas no caso de
  existir algum mundo no qual esteja chovendo em
  Pequim

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Semântica de Kripke

• A semântica dos mundos possíveis ainda torna
  possível lidar com diferentes tempos
• A sentença Maria caminhou no parque é
  verdadeira em um certo mundo se há um mundo
  anterior e nele a sentença Maria caminha no
  parque é verdadeira
• Por isso, é conveniente acrescentarmos um
  conjunto de tempos ao novo modelo

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Semântica de Kripke

• Resumindo, um modelo para distinguir mundos e
  tempos tem o seguinte aspecto
• E conjunto de indivíduos
• P conjunto de mundos possíveis
• T conjunto de tempos com relação de ordenamento
  R
• 0, 1 conjunto de valores verdades

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Semântica de Kripke

• Logo, uma interpretação sobre esta nova ótica é
  uma estrutura M2, uma função de interpretação D e
  um conjunto de atribuições G
• lt M2, D, G gt
• A relação R é o que se chama de ordenamento
  simples, isto é
• Transitivo, reflexivo e anti-simétrico

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Aplicações

• Sistemas Dinâmicos
• Um sistema pode ser descrito como um aglomerado
  de coisas ele é dinâmico se houver uma evolução
  delas com o passar do tempo. Os sistemas
  dinâmicos podem ser divididos em duas classes
  contínuos e discretos (Cassandras, 1993).
• Entre os sistemas dinâmicos discretos estão
  aqueles cuja dinâmica é dirigida pela ocorrência
  de eventos discretos, chamados sistemas dinâmicos
  a eventos discretos.

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Aplicações

• A verificação de especificações em sistemas
  dinâmicos significa analisar se determinada
  condição (restrição ao sistema) é satisfeita ou
  não no sistema.
• O processo de verificação de especificações
  consiste na análise da satisfação ou não de certa
  especificação do sistema, tendo um modelo como
  base.
• No entanto, algumas especificações podem não
  estar tão explícitas e só no decorrer do processo
  de manufatura (ou automação) se percebe que
  alguma condição tem de ser satisfeita.

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Aplicações

• Aplicações em sistemas dinâmicos a eventos
  discretos
• Se uma especificação (apropriadamente descrita
  como uma fórmula da lógica) for conseqüência
  lógica do conjunto de fórmulas que define
  (modela) o sistema dinâmico, então a
  especificação será satisfeita (Manna Pnuelli,
  1979).