IL TEOREMA DI PITAGORA

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IL TEOREMA DI PITAGORA
La prima dimostrazione di questo teorema è stata
attribuita al matematico greco Pitagora di Samo
(570-500 a. C.). Non si sa, però, come Pitagora
abbia condotto la sua dimostrazione perchè nulla
è rimasto delle sue opere. La prima dimostrazione
che conosciamo fu data da Euclide (300 a. C.) nei
suoi Elementi . Da quel momento molti matematici
e non matematici, sono stati così attratti da
questo teorema che hanno sentito il bisogno di
elaborare un ingegnoso e alternativo modo per
dimostrarlo. Elisha Scott Loomis nel suo libro
The Pythagorean Proposition pubblicato nel 1940,
riporta ben
370 diverse dimostrazioni di questo teorema.
Nessun altro teorema ha ricevuto tanta attenzione
e tante dimostrazioni, nonostante ciò ogni anno
vengono pubblicate, dalle riviste matematiche,
nuove dimostrazioni.
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Perché c'è stato tanto interesse su questo
teorema? Ha un enunciato semplice e una facile
dimostrazione e può essere pienamente compreso da
un ragazzo di tredici anni. Ha numerose
applicazioni e spesso è indispensabile per
risolvere molti tipi di problemi. Eppure questo
teorema così comprensibile ha cambiato
radicalmente il corso della matematica. Grazie a
questo teorema la matematica, che era nata per
soddisfare esigenze concrete legate alla realtà
pratica, si è trasformata in una scienza che
abitua a ragionare. Nella geometria euclidea,
questo teorema, è fondamentale. Ha permesso di
scoprire l'esistenza di segmenti
incommensurabili.
Questa conoscenza ha fatto capire che gli oggetti
geometrici non possono essere identificati come
degli oggetti concreti e che il punto geometrico
non può avere dimensioni. E' un teorema
geometrico, eppure ha permesso di scoprire i
numeri irrazionali. Da questa conoscenza si è
capito che i numeri naturali sono adatti a
rappresentare solo grandezze discrete. Per
rappresentare grandezze continue occorrono oltre
ai numeri razionali anche i numeri "irrazionali".
Gli egiziani hanno usato questo teorema per
costruire un angolo retto, i greci l'hanno
utilizzato per costruire una vasta rete di idee
matematiche. Nel corso dei secoli è stato
utilizzato per costruire alcune branche della
matematica moderna. E' stato il suggeritore di
proficue ricerche nel campo della teoria dei
numeri.
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Verifichiamo il Teorema di Pitagora
Enunciato
Enunciato
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito
sullipotenusa è equivalente alla somma dei
quadrati costruiti sui cateti
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IL TRIANGOLO RETTANGOLO
IPOTENUSA
i
CATETO MINORE
C
2
C
1
CATETO MAGGIORE
5
Quadrato costruito sul cateto minore

Quadrato costruito sul cateto maggiore
6
i
Costruiamo 3 quadrati
7
Sistemiamo al loro posto i quadrati
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Prima il ROSSO
Poi il VERDE
e infine il GIALLO
Scomponiamo i quadrati per mezzo del quadratino Q
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G
V
R
Riportiamo i quadratini uno per uno su quello
GIALLO
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G
V
R
prima i ROSSI
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G
V
R
12
G
Q
R
V
13
G
Q
R
V
poi i VERDI
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G
R
V
15
G
V
Q
R
il quadrato GIALLO è stato riempito totalmente
dal ROSSO e dal VERDE
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Pertanto
GIALLO
VERDE
GIALLO ROSSO VERDE
ROSSO
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Ma
GIALLO
VERDE
2
GIALLO i
2
ROSSO c
1
ROSSO
2
VERDE c
2
18

Allora
GIALLO
2
2
2
i c c
VERDE
1
2
Da cui
ROSSO
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Allora
GIALLO
VERDE
2
2
1
2
2
2
c i - c
1
2
c

c
2
2
2
i
-
c
i
c
2
2
1
ROSSO
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Teorema di Pitagora applicato ad un problema
Problema In un triangolo rettangolo i cateti
misurano rispettivamente cm 4 e cm 3. Trova il
perimetro.
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c1 cm 4
Dati
c2 cm 3
i
c1
Richiesta
2p c1c2i
c2
incognita
Soluzione
5 cm
P c1c2i cm(345) cm12
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Applicazione del teorema alle figure piane
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Applicazione del teorema alle figure piane
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Altra applicazione del T. di Pitagora
Problema In un triangolo isoscele la base e
laltezza misurano rispettivamente cm 10 e cm
12. Trova il perimetro.
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b cm 10
Dati
cateto
h cm 12
l
l
ipotenusa
Richiesta
2p 2lb
h
b/2
incognita
b
cateto
Soluzione
13cm
P 2lb cm(13x210) cm36