La g

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La géométrie histoire et épistémologiepar
Jean-Pierre FriedelmeyerIrem de Strasbourg
Première Partie Lélaboration de lagéométrie
comme science mathématique
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Diapo 6

• Un extrait du papyrus Rhind (British Museum,
  London)
• (environ 1700 avant JC) largeur 33 cm 
  longueur 5,25 m

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Diapo 7
4
Diapo 8
5
Diapo 9
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Diapo 10
Le problème des six frères (tablette
babylonienne  environ 1500 av. JC musée du
Louvre)    Un trapèze. 2,15 le côté supérieur 
1,21 le côté inférieur  3,33 le front
supérieur  51 le front inférieur  laîné et le
second sont égaux  le troisième et le quatrième
sont égaux  le cinquième et le sixième sont
égaux. Quelles sont les limites ?
Début de solution  Toi, en opérant, additionne
3,33 le front supérieur et 51 le front
inférieur  cela fera 4,24. Dautre part, sépare
la partie de 2,15 le côté, cela fera (0 
0),26,40. Porte (0  0),26,40 à 1,21 le côté
inférieur, cela fera (0),36. Ajoute (0),36 à
4,24, cela fera 4,24  36.
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Tablette babylonienne n YBC 7289 (conservée à
New Haven, USA)On y voit mesurée la diagonale
dun carré de côté 30 qui, multiplié par le
nombre écrit en sexagésimal  1, 24, 51, 10
(correspondant à notre racine carrée de 2) donne
42, 25, 35 comme longueur de la diagonale
Diapo 11
Question si le côté du carré change, faut-il
toujours multiplier par racine de 2 pour avoir la
longueur de la diagonale ?
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Du particulier à luniversel
Diapo 12
9
La propriété est vraie pour tous les triangles
comment le prouver ?
Diapo 13
10
Théorème la somme des angles dun triangle est
égale à deux droits
Diapo 14
Quelle est la validité dune telle preuve ?
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La figure de lhypoténuse (Xian Tu env. 1230
av. JC)
Diapo 15
a
b
c
Le carré de lhypoténuse contient 4 surfaces
rouges et1 surface jaune25 4 x (4x3/2) 1
en généralisant c2 4(a.b/2) (b a)2
12
Théorème de Pythagore daprès Liu Hui (vers 270
av. J.C.)extrait du Jiushang suanshu (Neuf
chapitres sur lart du calcul)
Diapo 16
bleu sort
bleu entre
rouge sort
bleu sort
bleu entre
rouge entre
13
Lewis Carroll (1832 1898) Diversions and
Disgressions
Diapo 17
14
On découpe et on recompose autrement
Diapo 18
15
Diapo 19
Problème !
16
Sur la tablette, la diagonale dun carré de côté
30 est obtenue en multipliant 30 par le nombre
écrit en sexagésimal  1, 24, 51, 10
(correspondant à notre racine carrée de 2), ce
qui donne 42, 25, 35Mais ces calculs, bien que
très précis, ne sont quapprochés (1,414213 pour
racine de 2, ce qui est tout à fait remarquable
comme précision).
Diapo 20
La découverte des grandeurs incommensurables
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La soustraction réciproque
Diapo 21

• Les mathématiciens grecs utilisent ce quils
  appellent   soustraction réciproque 
• a 2 b a1 b 3 a1 a2 a1 2a2
  Donc, en remontant
• b 7 a2  a 9 a2 alors a2 est une mesure
  commune à a et b et définit le rapport a/b 16/7

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Diapo 22
19
Diapo 23
20
Lalgorithme dEuclide par Euclide
Diapo 24

• Euclide VII, 1  Deux nombres inégaux étant
  proposés et le plus petit étant retranché du plus
  grand de façon réitérée et en alternance, si le
  reste ne mesure jamais le reste précédent
  jusqu'à ce quil reste une unité, les nombres
  initiaux seront premiers entre eux.
• Euclide X, 2 Si, de deux grandeurs inégales
  proposées la plus petite étant retranchée de la
  plus grande de façon réitérée et en alternance,
  le dernier reste ne mesure jamais le reste
  précédent, les grandeurs seront incommensurables.

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La théorie des proportions
Diapo 25

• Je ne peux pas exprimer par un nombre (rationnel)
  le rapport des côtés AB et OB, mais je peux
  exprimer le rapport des aires des deux carrés et
  celle des deux cercles.Dans les deux cas, ce
  rapport est exactement égal à 2.

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Élaboration dobjets idéaux
Diapo 26

• Lincommensurabilité oblige à penser la droite
  comme un objet abstrait quon ne peut confondre
  avec ses modèles physiques  trait graphique,
  arête dun mur, faîte dun toit, etc.
• Cet objet abstrait doit se soumettre à dautres
  règles que celles fournies par la mesure celles
  imposées par les définitions et les propriétés
  déduites par raisonnement

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Vers une théorie mathématique
Diapo 27

• Lexigence de certitude conduit à élaborer des
  processus dargumentation, des démonstrations
• La découverte de grandeurs incommensurables
  oblige à dépasser la considération dobjets
  sensibles au profit dobjets pensés et abstraits
• Laspect arpentage  et mesure cède le pas à
  laspect conceptuel et déductif.
• Loutil de base est le rapport et la proportion.

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Quelques définitions chez Euclide
Diapo 28

• Un point est ce dont il ny a aucune partie.

• Une ligne est une longueur sans largeur.

• Une ligne droite est celle qui est placée de
  manière égale par rapport aux points qui sont sur
  elle.

• Et quand une droite, ayant été élevée sur
• une droite, fait les angles adjacents égaux
• entre eux, chacun de ces angles égaux est droit,
  
• et la droite qui a été élevée est appelée
• perpendiculaire à celle sur laquelle elle a été
  élevée.

25
Organisation dune démonstration en Éléments
Diapo 29

• Théorèmes
• Cas dégalité des triangles
• Deux triangles qui ont même base et même hauteur
  ont même aire
• Une diagonale partage un parallélogramme en deux
  triangles égaux

• Notions communes (axiomes)
• 1. Les choses égales à une même chose sont égales
  entre elles.
• 2. Et si, à des choses égales, des choses égales
  sont ajoutées, les touts sont égaux.
• .
• 6. Et les moitiés du même sont égales entre
  elles.
• 7. Et les choses qui sajustent les unes sur les
  autres sont égales entre elles.

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Pythagore selon Euclide (I, 47)
Diapo 30
 
27

Le théorèmede Pythagore chez Euclide (Livre I,
47 des Éléments)
Diapo 31

• S???????
•  plantation darbres
•  principe dun bon gouvernement
•  acte davancer en rang, comme une armée en
  ligne de bataille
• deux sens du mot  Élément 
• principe constituant dune chose
• organisation de ces principes
• en un tout rangé et ordonné

PP
28

Diapo 32
En résumé la géométrie dEuclide sest
constituée schématiquement en trois étapes

1. Longue pratique avec observation et accumulation
   des propriétés de figures géométriques, à partir
   de nombreuses mesures

expérience
29
Diapo 33

1. Découverte du caractère universel de certaines
   propriétés  et de leur liaison logique mise en
   évidence du caractère nécessaire de cette
   liaison, au moyen des premières démonstrations

intuition
Ces démonstrations supposent une idéalisation de
certains objets empiriques sous forme dobjets
géométriques abstraits tels que le point, la
droite, le plan
30
Diapo 34

• Intégration de la plupart des propriétés
  géométriques connues en un système déductif
  unique, le système d Euclide, en dégageant les
  propriétés de base (axiomes - en nombre minimal)
  desquelles découlent toutes les autres par simple
  déduction logique.

Théorie
31
Diapo 35
Au final, laxiomatisation est le résultat dun
long processus partant de lexpérience pour
arriver à la théorie, en sappuyant sur
lintuition.
32
La théorie de la connaissance chez Platon
Diapo 36

• Platon  nul nentre ici sil nest géomètre 
• 1  la recherche et le savoir ne sont au total
  que réminiscence .
• (cf. le dialogue appelé Ménon 81d)
• 2.  en outre ils font usage de figures
  visibles, et sur ces figures, ils construisent
  des raisonnements sans avoir à lesprit ces
  figures elle-mêmes, mais les figures parfaites
  dont celles-ci sont des images  (cf. le dialogue
  appelé La République 510)

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Diapo 37
Monde visiblePerception Monde visiblePerception Monde intelligible Pensée, esprit Monde intelligible Pensée, esprit
Réalité illusoire Réalité concrète Réalité abstraite Réalité spirituelle
Copies Reflets ombres Objets physiques nature Objets de la science géométrie Monde des Idées
Opinion Opinion Vérité Vérité
Figures géométriques
Figures géométriques
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Conclusion de la première partie
Diapo 38

• Durant 2000 ans, la représentation intuitive de
  lespace sexplicite au contact de la géométrie
  au point que lespace du géomètre et lespace
  sensible ne semblent former que deux aspects
  inséparables dune même réalité. Cest par notre
  intuition et les expériences sensibles que nous
  nous sommes construit une certaine représentation
  de lespace dont lorganisation en un système
  déductif a donné la géométrie euclidienne.

35
Deuxième Partie Vers les géométries non
euclidiennes et une autre conception de la
géométrie - cliquer ici