Algebra e Geometria tra Cinquecento e Seicento

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Algebra e Geometriatra Cinquecento e Seicento

• Paolo Freguglia
• Dipartimento Ingegneria e Scienze
  dellInformazione e Matematica (DISIM)
• Università di LAquila

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• I principali algebristi nel XVI e XVII secolo
• - Luca Pacioli, Summa de arithmetica,
  geometria (1494)
• - Scipione dal Ferro (1505 o 1515)
• - Anton Maria Fiore
• - Gerolamo Cardano, Ars Magna (1545)
• - Lodovico Ferrari (1544, 1545)
• - Niccolò Tartaglia, Quaesiti et inventioni
  diverse (1546)
• - Rafael Bombelli, LAlgebra (1572)
• - Simon Stevin, LArithmétique (1585)
• François Viète, Isagoge in Artem analyticem, ecc.
  (1591, 1593)
• Chr. Clavius, Algebra (1608)
• Allievi di Viète (Vaulézard, Hume, Vasset, ecc.
  (1630))
• René Descartes, La Géométrie (1637)

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• La nascita dellalgebra, avvenuta sostanzialmente
  nel Cinquecento, è caratterizzata da connessioni
  di tecniche algoritmo-abacistiche con questioni
  geometriche. La geometria con la quale ciò
  accadde fu proprio quella sintetica classica
  euclidea piana e solida delle superfici e dei
  volumi. Nelle opere di Cardano (1545), Ferrari,
  Tartaglia (1549), Bombelli (1572) e Stevin (1585)
  questi aspetti geometrico algebrici furono
  ampiamente sviluppati, anche se non mancarono
  riferimenti alla teoria delle proporzioni, in
  particolare alle proporzioni continue.
  Questultima teoria, che costituiva la parte più
  astratta della geometria, fu a sua volta la
  chiave per la geometrizzazione dellalgebra
  effettuata da Viète (1593).

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• Linguaggio (oggetto) algebrico nel XVI e XVII
  secolo
• Ad esempio ciò che oggi scriviamo così x3 ax
  bx2 c
• - con il linguaggio retorico si ha
• Capitolo di Cubo e tanti eguali a Potenze e
  numero
• - con il linguaggio sincopato si ha
• 1.cubus p. 12.pos. aeq. 6.quad. p. 12
• - con il linguaggio simbolico numerico
  (logistica numerosa, ad es. Bombelli e Stevin)
• - con il linguaggio simbolico letterale
  (logistica speciosa, Viète)
• A cubus B plano in A aequetur C latus in A
  quad D cubus
• Descartes (altro esempio) y3 byy cy
  bc axy ? 0

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• Come esempio di trattazione prendiamo i primi tre
  libri de L'Algebra, opera di Rafael Bombelli da
  Bologna, diuisa in tre libri con la quale
  ciascuno da sé potrà venire in perfetta
  cognitione della teoria dell'Aritmetica", 1572.
• - Primo libro si studiano i polinomi
  numerici (es. 3 - 2?5 3?2) e la relativa
  algebra.
• - Secondo libro tratta delle equazioni
  algebriche
• - Terzo libro tratta i problemi diofantei.

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• CONCENTREREMO LE NOTRE CONSIDERAZIONI SULLE
  EQUAZIONI ALGEBRICHE

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• LA SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI ALGEBRICHE DI TERZO
  GRADO
• La soluzione generale delle equazioni di terzo
  grado riveste una funzione determinante anche per
  la procedura risolutiva di quelle di quarto
  grado. E' quanto risulta leggendo l'Ars Magna
  (1545) di Gerolamo Cardano e l'Algebra di
  Rafael Bombelli del 1572 . Cardano nel
  Capitolo XXXIX, alla Quaestio IV e Reg.II, dell'
  Ars Magna, attribuendo il merito al suo allievo
  Ludovico Ferrari, propone la soluzione e poi la
  dimostrazione geometrica delle equazioni di
  quarto grado. Quanto diremo di seguito riguarda
  le sole radici reali positive.

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• Schema risolutivo delle equazioni di terzo grado
  dato da Tartaglia nel nono libro dei suoi Quesiti
  et inventioni diverse, pubblicati nel 1546.
  Tramite i famosi versi
• Quando che'l cubo con le cose appresso x3 px
  Se agguaglia à qualche numero discreto q
  Trovan dui altri differenti in esso. u v
  q
• Da poi terrai questo per consueto
  Che'llor produtto sempre sia eguale uv
  Al terzo cubo delle cose neto, (p/3)3
• El residuo poi suo generale Delli lor
  lati cubi ben sottratti 3?u - 3?v Varra la
  tua cosa principale. x

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• Lequazione generale di terzo grado si può
  ridurre alla
• x3 px q
• Infatti
• x3 px q
• Tartaglia afferma che la soluzione
  dell'equazione si ottiene cercando dapprima due
  numeri u e v tali che soddisfino il sistema
• ? u v p3/27
• ?
• ? u - v q
• e quindi la soluzione sarà data dalla
• x
  3? u - 3? v

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• E quindi, facendo i conti
• si ritrova la formula-precetto di Scipione dal
  Ferro. Nel caso (proposto da Bombelli)
• x3 6x 20
• Le soluzioni (nel campo complesso) sono
• x1 2 x2 -1 3i x3 -1 3i

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• Nel precedente sistema risolutivo poniamo ora
• 3? u a e 3? v b otteniamo il
  sistema
• ? a3 - b3 q
• ?
• ? a ? b p/3
• e quindi
• x a b
• scrittura che ci è più utile per quanto
  diremo di seguito per la relativa interpretazione
  geometrica.

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• EQUAZIONI ALGEBRICHE DI QUARTO GRADO
• Lequazione generale di quarto grado è
• y4 ay3 by2 cy d 0
• nella quale posto
• diventa
• x4 ax2 b cx

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• Nel testo di Cardano troviamo l'equazione del
  tipo ora visto così scritta
• 
  
  1.qd.quad.p.6.quad.p.36.ae
  qualia 60.pos.
• cioè
• x4 6x2 36 60x
• Bombelli avrebbe scritto

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• EQUAZIONI ALGEBRICHE DI QUARTO GRADO
• In sostanza il procedimento di Ferrari ha il
  seguente svolgimento. Data l'equazione
• x4 ax2 b
  cx ,
• nel caso più generale in cui il primo membro
  non sia un quadrato perfetto, si procede dapprima
  a quadrarlo, aggiungendo a primo e secondo membro
  il binomio
• 2?b ? x2 - ax2
  
• Avremo dunque
• x4 ax2 b (2 ?b? x2 - ax2) cx (2
  ?b? x2 - ax2)
• x4 2?b? x2 b cx (2?b
  - a)x2
• e cioè
• (x2 ?b)2 cx (2 ?b -
  a)x2

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• Ponendo nella (x2 ?b)2 cx (2 ?b - a)x2
• ? b q e 2 ?b - a
  p
• avremo
• (x2 q)2 cx
  px2
• il cui membro a destra non è un quadrato. Si
  aggiunge allora a destra e a sinistra il
  trinomio
• 2tx2 t2 2tq
• avremo allora
• x4 2qx2 q2 (2tx2 t2 2tq) cx
  px2
• (2tx2 t2 2tq)
• che diventa
• (x2 q t)2 (?(p 2t))2 x2 cx
  (?(t2 2tq))2

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• (x2 q t)2 (?(p 2t))2 x2 cx
  (?(t2 2tq))2
• Il membro a destra di questa è un quadrato
  se si ha che
• c 2 (?( p 2t)(?(t2
  2tq))
• cioè se
• 2t3 (p4q)t2 2pqt - c2/4
  0
• detta risolvente cubica di Ferrari (con t
  come incognita). Una volta risolta la risolvente,
  si sostituisce un valore di t nella
• x2 q t ?(p 2t) x ? (t2
  2tq)
• che è di secondo grado.

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• Teoria geometrico sintetica delle equazioni
  algebriche (Dimostrationi)
• Costruzione di un modello geometrico euclideo
  delluguagianza che alla base dellequazione
  medesima (possibile dal 1 al 4 grado)
• Interpretazione geometrica della procedura
  risolutiva (possibile dal 1 al 3 grado)
• Determinazione con riga e compasso delle
  soluzioni (possibile solo per il 1 e 2 grado)
  se vale il principio di omogeneità dimensionale,
  altrimenti anche per il 3 grado (vedi
  succesivamente)

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• R.Bombelli (LAlgebra, 1572), Libro II
• Dimostratione del Capitolo di Tanti eguale
  a numero
• E benchè questa scientia sia Aritmetica (come
  la chiamano Diofante Autore Greco e li Indiani)
  però non resta che il tutto non si possi provare
  per figure Geometriche (come fa Euclide
  applicazione delle aree nel secondo, sesto,
  decimo). Però volendo che il Lettore resti in
  tutto soddisfatto mi sono risoluto porre tutte le
  dimostrazioni dello agguagliare, cioè Capitolo
  per Capitolo, tanto in linea senza numero quanto
  in linea composto di numero e questa parte non è
  men bella che dilettevole però senza altra
  circolutione di parole verrò alla dimostratione
  di questo primo Capitolo di tanti uguale a
  numero.
• Questa dimostratione può essere in due modi, o in
  linea overo in superficie, e prima sia in
  superficie.

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• R.Bombelli (1572) Dimostratione del Capitolo di
  Tanti eguale a numero modello geometrico
  delluguaglianza alla base dellequazione
• ax b caso 3x 24
• Th. Rect (pfbe) Rect (ehgd)
• Cioè pf ? fe ed ? eh
• Interpretazioni
• x ? fi eh
• 1? fp eb
• 24 ? fe ih
• 3 ? ed hg
• Il teorema interpreta
• la seguente espressione 3?x 1?24

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• R.Bombelli 1572 Interpretazione della procedura
  risolutiva ax b, caso 3x 24
• Th. Triang(eda) è
• simile al Triang(efi)
• cioè fi ad fe ed
• Interpretando
• x 1 24 3
• cioè
• x 8

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• R.Bombelli (1572) Determinazione con riga e
  compasso della soluzione dellequazione ax b
  (case 3x 24)
• 1. Tracciamo fe 24
• 2. Prolunghiamo fe con ed 3
• 3. Tracciamo eb fp ad 1
• perpendicolari a fed
• 4. Prolunghiamo ae e fp
• 5. Determiniamo il punto i
• 6. Affermiamo che fi x

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• R. Bombelli (1572) Dimonstratione di capitolo di
  Potenze e Tanti uguale a numero
• x2 bx c (caso x2 6x 16)
• Th Gnomon (DCLHGF)
• Quad(LEGH) Quad(FQRS)
• Quad (ETUQ)
• Interpretazioni
• x2 bx ? Gnom (DCLHGF)
• b2/4 ? Quad (LEGH)
• Quad (ETUQ)
• c ? Quad (FQRS)
• Il teorema interpreta
• la seguente
• x2 bx b2/4 c b2/4

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• G.Cardano (1545), R.Bombelli (1572)
• Th. Cubo(r,k) 3Parall.(m,i)
• Cubo(c,k) Cubo (b,s)
• Gnomonide (r, k)
• Caso x3 6x 20 (x3 px q)
• uv p/3 e u3 v3 q
• Interpretazioni x ? ab
• ? x3 ? ab3 Cubo (r,k)
• ? 6x 3?2x 3uvx ? 3ac?bc?ab
• 3 Parall(m, i)
• 20 u3 v3 q ? ac3 bc3
• Gnom(r, k)

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• R.Bombelli (1572) applicazione del cd. 1 teor.
  di Euclide
• Caso x3 6x 20
• Th. hi2 mh?he
• bc?(hc ce)
• Interpretazioni
• mh hn bc
• hi2 ? 20
• hc nb ? 6
• dc ? 1
• bc ? x (graficamente
• determinabile) 2
• Geometricamente
• cd bc bc ce ? 1 x x ce ? ce ? x2

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• R. Bombelli (1572) Quarto grado
• caso generale
• x4 ax b
• x4 (2yx2 y2)
• ax b (2yx2 y2)
• Risolvente di Ferrari
• 2y3 2yb a2/4
• Soluzioni
• x2 y0 x?(2y0 ) ?(b y20)
• Costruzione Quad.(ID) Quad.(GS) ID IC CD
  GS
• GR RS NO OP
• Interpretazioni x2 ? IC IB y0 ? CD ?(b
  y20) ? OP
• x?(2y0 ) ? NO

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• Se ci soffermiamo sulle interpretazioni
  delle equazioni di primo, di secondo e di
  terzo grado (caso solido) si osserva che esse
  avvengono in conformità con un principio che
  associa ad ogni monomio dell'equazione una
  superficie, nel caso del primo e del secondo
  grado, un volume, nel caso del terzo grado. Per
  cui, come tradizionalmente si dice, questa
  interpretazione soddisfa al principio di
  omogeneità (dimensionale). Più
  precisamente, si tratta di interpretazioni che
  associano a x un lato, a x2 un quadrato, a x3 un
  cubo, ad un numero o una linea (segmento), o
  una figura piana, o una figura solida a seconda
  dei casi di omogeneità di cui si è detto
  pocanzi.

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• François Viète
• Isagoge in Artem Analyticem Introduzione
  allArte Analitica (1591)
• Capitolo I
• Sulla definizione e ripartizione
  dellAnalisi e delle parti della Zetetica
• Esiste una via per cercare la verità nelle
  matematiche, di cui si dice che Platone sia stato
  il primo inventore, chiamata da Teone Analisi e
  che questultimo definì così Metodo mediante il
  quale si prende come concesso ciò che si domanda,
  fino ad arrivare di conseguenza in conseguenza
  demonstratio quia ad una verità incontestabile
  . Nella Sintesi demonstratio propter quid al
  contrario, si prende ciò che è premesso come
  ipotesi per arrivare allobiettivo cioè alla
  tesi, e alla comprensione di ciò che si chiede.
  Mentre gli Antichi avevano stabilito due sole
  specie ossia fasi dellAnalisi, la Zetetica e
  la Poristica, alle quali si riferisce in
  particolare la definizione di Teone, è tuttavia
  conveniente stabilire una terza fase, che
  chiamerò Retica Esegetica. Così con il metodo
  della Zetetica si trova unuguaglianza o una
  proporzione fra le grandezze cercate e quelle
  date con il metodo della Poristica si esamina
  si stabilisce, per mezzo della uguaglianza o
  della proporzione stabilite nella fase della
  Zetetica la verità di un teorema enunciato.
  Mediante il metodo dellEsegetica, si ricava
  preceptum la grandezza cercata dalleguaglianza
  o dalla proporzione che la contiene.
  Conseguentemente lArte Analitica, che nel suo
  insieme abbraccia questi tre metodi, potrà essere
  definita a giusto titolo La scienza del ben
  trovare nelle matematiche.

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• Tutto ciò che riguarda la Zetetica viene
  stabilito dalla scienza logica per mezzo di
  sillogismi ed entimemi, mediante i quali si
  stabiliscono le uguaglianze e le proporzioni e
  che possono essere dedotte sia da semplici
  nozioni del senso comune, sia da teoremi
  dimostrati mediante lanalisi medesima. Ma la
  forma sotto la quale si deve affrontare la Zetesi
  esige le risorse di unarte speciale, che
  esercita il relativo ragionamento non su numeri,
  seguendo così lerrore degli antichi analisti, ma
  per mezzo di una Logistica nuova, molto più
  opportuna della Logistica numerosa, e che è più
  utile di questa a confrontare le grandezze tra
  loro, proponendo in primo luogo la legge delle
  grandezze omogenee e stabilendo successivamente,
  come si fa, la ben nota serie o scala delle
  grandezze che aumentano o diminuiscono da un
  genere allaltro proporzionalmente in base alla
  loro potenza, per mezzo della quale sono
  designati e distinti nel confrontarli i loro
  gradi e i loro generi.

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• Capitolo II
• Sui
  simboli di uguaglianza e di proporzione
• Il metodo analitico ammette come dimostrati i
  simboli cioè le leggi ben conosciute delle
  uguaglianze e delle proporzioni che si trovano
  negli elementi Elementi euclidei come i
  seguenti
• 1. Il tutto è uguale alla somma delle sue
  parti Totum suis partibus aequati
  
• 2. Quae eidem aequantur, inter se esse
  aequalia (Se A B e A C allora B C)
• 3. Si aequalia aequalibus addantur, tota esse
  aequalia (Se A B e C D allora A C B
  D)
• 4. Si aequalia aequalibus auferantur, residua
  esse aequalia (Se A B e C D allora A
  C B C )
• 5. Si aequalia per aequalia multiplicentur,
  facta esse aequalia (Se A B e C D allora
  A ? C B ? C )
• 6. Si aequalia per aequalia dividantur, orta
  esse aequalia (Se A B e C D allora
  A/C B/C)
• 16. Si fuerint tres quatuorve magnitudines,
  sit ut prima ad secundam, ita secunda illa, vel
  tertia quaepiam ad aliam, erit quod fit sub
  extremis terminis aequale ei quod sit sub mediis
  (Se A B C D allora A ? D B ? C)
• Si può dunque chiamare una proporzione
  istituzione di uneguaglianza e unuguaglianza
  risoluzione di una proporzione.

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• Capitolo III
• Sulla legge delle grandezze omogenee dei gradi e
  dei generi delle grandezze confrontate
• La legge fondamentale e immutabile delle
  uguaglianze o delle proporzioni, chiamata Legge
  degli omogenei, perché ella deriva dalla natura
  stessa delle grandezze omogenee, è la seguente
• - Gli omogenei devono essere comparati a omogenei
  Homogenea homogeneis comparare Ciò sta a
  significare che possiamo stabilire uneguaglianza
  se e solo i monomi dei due membri
  delleguaglianza hanno tutti la stessa dimensione
  geometrica. In virtù di questa legge ogni
  uguaglianza algebrica viene considerata come una
  uguaglianza geometrica  
• - Si magnitudo magnitudini additur, haec illi
  homogenea est e Si magnitudo magnitudini
  subducitur, haec illi homogenea est (La somma o
  la differenza di due grandezze può essere
  effettuata se sono tra loro omogenee)
• - Si magnitudo in magnitudinem ducitur, quae
  fit, huic illi heterogenea est (Se si fa il
  prodotto tra due grandezze la grandezza risultato
  sarà eterogenea con ciascuna delle precedenti)
• - Si magnitudo magnitudini adplicatur, haec
  illi heterogenea est  
• Ed è per aver trascurato questi principi che gli
  analisti antichi sono andati ciecamente o
  nelloscurità.

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• Le grandezze che si elevano o si abbassano
  proporzionalmente mediante la loro propria
  potenza da un genere ad un altro sono chiamate
  Scalari. Delle grandezze scalari la prima è
• 1. lato (latus or radix)
• 2. quadrato (quadratum)
• 3. cubo (cubus)
• 4. quadrato-quadrato (Quadratum-quadratum)
• 5. quadrato-cubo (Quadrato-cubus)
• 6. cubo-cubo (cubo-cubus)
• 7. quadrato-quadrato-cubo (Quadrato-quadrato-cubu
  s)
• 8. quadrato-cubo-cubo (Qudrato-cubo-cubus)
• 9. cubo-cubo-cubo (Cubo-cubo-cubus)
• ecc.
• .

32

• I generi delle grandezze confrontate nellordine
  con il quale si enunciano le scalari, sono 
• 1. lunghezza (Longitudo latitudove)
• 2. piano (Planum)
• 3. solido (Solidum)
• 4. piano-piano (Plano-planum)
• 5. piano-solido (Plano-solidum)
• 6. solido-solido (Solido-solidum)
• 7. piano-piano-solido (Plano-plano-solidum)
• 8. piano-solido-solido (Solido-solido-solidum)
• 9. solido-solido-solido (Solido-solido-solidum)
• ecc.

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• François Viète (1540 1603)
• Isagoge ad artem analyticem (1593)
• Esplicitazione come legge (Assioma algebrico,
  nellambito della logistica speciosa) del
  principio di omogeneità
• Homogenea ad homogeneis comparari
• Es. A cubus B plano in A, aequetur C solido

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• TEORIA DELLE EQUAZIONI ALGEBRCHE IN VIÈTE
•  
• Viète studia le equazioni algebriche nei seguenti
  lavori
•  
• Effectionum Geometricarum Canonica Recensio
  (1593) (interpretazioni geometriche)
• De numrosa Potestatum ad Exegesin Resolutione
  (1600) (esempi di soluzioni di equazioni
  numeriche)
• De aequationum Emendatione (1615) (trasformazioni
  di polinomi che riguardano equazioni)
• De aequationum Recognitione (1615) Teoria delle
  equazioni algebriche secondo i loro rapporti con
  le proporzioni continue. Questa teoria è così
  suddivisa
•  
• - DE ZETETI, è quella parte della teoria in cui
  ad una equazione fino al terzo grado viene
  associato uno zetetico (problema), che a sua
  volta riguarda una proporzione continua.
• - DE PLASMATE , dove è dato un metodo che
  consente di risolvere unequazione trasformandola
  in unaltra equazione di grado più basso o uguale
  e più semplice.
• - DE SYNCRISI, Questa parte di teoria consiste
  nel considerare coppie di equazioni trinomie tra
  loro collegate con lo scopo di rappresentare
  adeguatamente le radici positive.

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• Consideriamo la Syncrisis . Essa è divisa in
  tre parti con lobiettivo di accoppiare equazioni
  nelle quali simmetricamente vengono scelte
  radici reali POSITIVE. Vediamo le prime due.
•  
• - "Aequationum ancipitum constitutiva". In questa
  (vedi sotto) si tratta solo di un cambio
  letterale del nome dellincognita e quindi di
  avere sostanzialmente due equazioni identiche,
  così per esempio, se A1 è una radice positiva di
  (?), allora A1 E1 è anche radice positiva di
  (?) (visto che a Viète interessano le radici
  positive).
•  
• (?) BA - A3 Z (?)
  BE - E3 Z
•  

36

• - "Aequalitatum contradicentium constitutiva".
  Consideriamo, per esempio, i seguenti due tipi di
  equazioni trinomie (in cui è importante osservare
  la forma)
•  
• (?) A4 BA Z (?)
  E4 - BE Z
•  
• se A1 è una radice negativa di (?) allora - A1
  E1 è radice positiva di (?).
• Esempio numerico
• (?) A4 5A 6 (?)
  E4 - 5E 6
• Le soluzioni reali di (?) sono 1 e -2 e quelle di
  (?) rispettivamente -1 e 2.
• Ciò vuol dire che ad (?), della quale si sceglie
  la radice 1 va associata la (?) della quale si
  sceglie la soluzione 2. Quindi, secondo questa
  impostazione, va considerata la coppia ((?),(?))

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• - "Aequalitatum inversarum constitutiva". Pure
  in questo caso va osservata lespressione delle
  equazioni accoppiate. Ecco lesempio
•  
• (?) BA - A5 Z (?) E5 - BE Z
• Se A1 è radice negativa di (?) allora - A1 E1
  è radice positiva di (?).

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• Descartes nella Géométrie (1637) sembra avere
  come obiettivo, nel momento in cui associa ad un
  luogo geometrico unequazione, quello di
  algebrizzare la geometria. In questo contesto si
  ha il concetto di variabile.
• Tuttavia nella Géométrie vengono trattate anche
  le equzioni algebriche.

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• Descartes non considera più in modo preminente il
  principio di omogeneità dimensionale.
• Riguardo alle radici delle equazioni, Descartes
  ha mentalità analoga a quella di Viète. Anche se
  considera le soluzioni negative, tuttavia le
  ritiene pur sempre fausses
• In qualche modo Descartes formula quello che
  verrà chiamato teorema fondamentale dellalgebra.

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• Descartes in Géométrie libro III afferma
• sostanzialmente che un equazione a seconda
  del suo grado ha altrettante soluzioni, comprese
  quelle false fausses, cioè negative (non
  considerando in questo contesto il campo
  complesso). Così ad es. dice Descartes che
• x3 9xx 26x 24 ? 0
• ha tre soluzioni reali positive 2, 3 e 4.
  Mentre
• x4 - 4x3 19xx 106x 120 ? 0
• ha quattro soluzioni tre positive, 2, 3 e 4 e
  una negativa fausse, cioè - 5

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• QUALCHE CONCLUSIONE
• - Nellarco di tempo considerato si assiste ad
  un cambiamento evolutivo del linguaggio oggetto,
  cioè del modo di scrivere lalgebra. La posizione
  di Viète in questo contesto è storicamente
  cruciale
• - Il legame con la geometria euclidea diventa
  sempre meno essenziale. Il punto di vista
  cartesiano rivoluziona appunto questo rapporto.