I SISTEMI DI PRIMO GRADO

1
I SISTEMI DI PRIMO GRADO
MAPPA
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
Realizzato da Favero Matteo Gigante
Marta Govetto Alberto Classe 2 D Liceo
Scientifico G. Marinelli (a.s. 2001/02)
RISOLUZIONE DEI PROBLEMI
2
MAPPA
I SISTEMI
RISOLUZIONE DEI PROBLEMI
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
EQUAZIONI IN GEOMETRIA ANALITICA
STRUTTURA
EQUAZIONI COME FUNZIONI
Confronto
INSIEME DELLE SOLUZIONI
Esempio geometrico
Sostituzione
Sistema indeterminato
Cramer
Esempio algebrico
Riduzione
Sistema determinato
Schema
Sistema impossibile
3
TEORIA
Un equazione in due incognite (x e y) come 2x-y3
è una proposizione aperta verificata da
uninfinità di coppie S(4,5),(1,-1),
Le equazioni come funzioni
Le equazioni in geometria analitica
Insieme delle soluzioni
4
EQUAZIONI COME FUNZIONI
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
f(x)2x-3
MAPPA
5
EQUAZIONI IN GEOMETRIA ANALITICA
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
MAPPA
punto
retta
coppia di reali
equazione
la coppia (a,b) verifica lequazione 2x-3y
il punto P(a,b) ? alla retta di equazione 2x-3y
6
INSIEME DELLE SOLUZIONI
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
Un sistema è un insieme di equazioni, tutte nelle
stesse incognite, che devono essere verificate
contemporaneamente. Risolvere un sistema
significa trovare le soluzioni comuni a tutte le
equazioni che lo compongono. Linsieme delle
soluzioni di un sistema è quindi costituito
dallintersezione degli insiemi soluzione di
ciascuna equazione.
MAPPA
A seconda del suo insieme soluzione un sistema
può essere
IMPOSSIBILE
DETERMINATO
INDETERMINATO
7
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
MAPPA
8
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
MAPPA
Sistema determinato
9
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
MAPPA
Sistema indeterminato
10
METODI DI RISOLUZIONE
Elenco dei metodi di risoluzione

• Metodo del confronto

• Metodo di sostituzione

• Metodo di riduzione

• Metodo di Cramer

11
Metodo del confronto
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
Spiegheremo il metodo del confronto con un
esempio. Analizziamo il sistema
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
MAPPA
Esplicitiamo ora le due equazioni rispetto
a una delle due variabili, x ad esempio
Lincognita x anche se espressa in modi
diversi ha lo stesso valore e potremo
quindi scrivere
e risolverla come un equazione in una incognita.
Il valore di y trovato verrà sostituito in una
delle due equazioni. Basterà una semplice
operazione per trovare poi il valore di x.
12
Metodo di sostituzione
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
Spiegheremo il metodo del confronto con un
esempio. Analizziamo il sistema
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
MAPPA
Esplicitiamo ora una delle due equazioni rispetto
a una delle due variabili, x ad esempio
Scrivendo nellaltra equazione al posto di x
lespressione prima calcolata, svolgeremo
lequazione in y.
Una volta calcolato il valore di y sostituiremo
di nuovo il suddetto valore nellequazione
esplicitata in x.
13
Metodo di riduzione
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
Spiegheremo il metodo di riduzione con un
esempio. Analizziamo il seguente sistema
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
MAPPA
In questo sistema lincognita x presenta
coefficienti opposti nelle due equazioni, per cui
sommandole membro a membro si riducono ad
unequazione in y.
Moltiplicando per -5 lequazione in y (per
ottenere il monomio 5y, opposto a quello
dellaltra equazione) applicheremo lo stesso
metodo e avremo unequazione in x.
Risolvendo le due semplici equazioni ottenute
avremo i valori delle incognite in questo sistema.
14
Metodo di Cramer
ASPETTO TEORICO
METODI DI RISOLUZIONE
Questo non è un modo di risoluzione dei problemi
ma un modo schematico di rappresentare le
soluzioni. Questo metodo utilizza il principio di
riduzione, ma per capirlo analizziamo lesempio
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
MAPPA
Applichiamo quindi il metodo di riduzione se
vogliamo eliminare x moltiplichiamo la prima
equazione per a e la seconda per a. Otterremo il
sistema
Utilizzando il metodo di riduzione avremo
lequazione
continua
15
ASPETTO TEORICO
Ripetiamo loperazione per eliminare y trovando
la seconda equazione
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
Potremo quindi riscrivere il sistema nel seguente
modo
MAPPA
e quindi
Scriviamo ora i coefficienti di x e y in una
schema detto matrice
E con questo ricaviamo il
(La linea indica la moltiplicazione)
Poi cerchiamo il sostituendo nella matrice
i coefficienti di x (quelli della prima colonna)
con i termini noti dellequazione
continua
16
ASPETTO TEORICO
Ora per faremo la stessa cosa
sostituendo però ai coefficienti di y (seconda
colonna) con i termini noti e lasciando quelli di
x nella prima colonna
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
MAPPA
Avremo quindi
Bisognerà poi discutere sul valore del
per poter dar la soluzione.
17
Schema
ASPETTO TEORICO
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
Rette incidenti
Rette parallele
Rette corrispondenti
MAPPA
DETERMINATO
IMPOSSIBILE
INDETERMINATO
(Cliccando su una delle tre possibilità la si può
visualizzare graficamente)
18
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
Le equazioni sono usate per risolvere alcuni
problemi Metodo per la risoluzione Esempio
in geometria Esempio pratico
19
Metodo per la risoluzione
ASPETTO TEORICO
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
1. 2. 3.
Determinare lobiettivo del problema Individuare
i dati e trovare le eventuali relazioni fra
essi Scegliere le incognite opportune e
determinarne il dominio Elaborare e risolvere
il sistema Controllare che i dati ottenuti
corrispondano allobiettivo del problema
MAPPA
4. 5.
20
Esempio geometrico
ASPETTO TEORICO
ASPETTO TEORICO
METODI DI RISOLUZIONE
METODI DI RISOLUZIONE
TESTO Un trapezio isoscele ha perimetro 32a.
Ciascuno dei lati obliqui è 5/6 della somma
delle basi la differenza fra il doppio della
base maggiore e la base minore è 12a. Calcola le
misure dei lati del trapezio.
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
MAPPA
MAPPA
DISEGNO
C
D
A
B
OBIETTIVO misure dei lati
DATI E RELAZIONI e visto che
il trapezio è isoscele
continua
21
ASPETTO TEORICO
METODI DI RISOLUZIONE
INCOGNITE
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
MAPPA
SISTEMA
Applicando i sistemi di risoluzione
troviamo CONTROLLO
SOLUZIONE
22
ASPETTO TEORICO
Esempio algebrico
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
In un numero di 3 cifre la prima supera di 3 la
metà della seconda questultima è il doppio
della terza, che, a sua volta, supera di 5 la
differenza fra le prime due. Qual è il numero?
MAPPA
OBIETTIVO numero x
DATI E RELAZIONI prima ciframetà della
seconda3 seconda
cifra 2 volte la terza
terza cifraprima-seconda5
INCOGNITE seconda cifrax
SISTEMA
continua
23
ASPETTO TEORICO
CONTROLLO prima cifra 8237
seconda cifra8 terza
cifra7-854
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
MAPPA
SOLUZIONE il numero è 784
FINE!