L

1
Lógicas e Inferência para IA
2
Lógica

• Métodos para determinação de validade de fórmulas

3
Métodos para determinação de validade de fórmulas

• Tabela verdade
• Métodos de dedução
• Método da negação ou absurdo

4
Método da negação ou absurdo (cont.)

• Para provar que H é uma tautologia
• Supõe-se inicialmente, por absurdo que
• H NÃO é uma tautologia
• As deduções desta fórmula levam a um fato
  contraditório (ou absurdo)
• Portanto, a suposição inicial é falsa e
• H é uma tautologia
• (A não-validade de H é um absurdo)

5
Lógica de Predicados

• Dedução Natural

6
Conseqüência lógica

• Definição informal
• Uma fórmula é uma conseqüência lógica de um
  conjunto de fórmulas se sempre que estas forem
  verdadeiras aquela também seja verdadeira.
• Definição formal
• Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b,
  H é conseqüência lógica de b num sistema de
  dedução, se existir uma prova de H a partir de b

7
Notação de Conseqüência Lógica e Teorema

• Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de
  um conjunto de hipóteses bH1,H2,...Hn, diz-se
  que
• b H ou
• H1,H2,...Hn H
• Uma fórmula H é um teorema se existe uma prova de
  H que não usa hipóteses
• H

8
Cálculo

• Proposicional ou de Predicados
• Cálculo Lógica Sistema de Prova (ou dedução)
• Um sistema de prova serve para analisar e
  raciocinar sobre argumentos de uma lógica, de
  maneira a prová-los válidos ou inválidos.

9
Sistema de dedução natural

• Alfabeto da Lógica de Predicados
• Conjunto de fórmulas da Lógica de Predicados
• Conjunto de regras de dedução (ou regras de
  inferência)

10
Regras de inferência de dedução natural

• Servem para inserção e retirada de conectivos
  lógicos e quantificadores, criando derivações
• Regras de Introdução
• Regras de Eliminação
• Chama-se dedução natural por estar próxima da
  maneira como nós raciocinamos quando queremos
  (informalmente) provar um argumento.

11
Regras de inferência - conjunção

• Introdução da conjunção (I)
• H G -gt derivação
• HG
• Eliminação da conjunção (E)
• HG HG
• H G

12
Prova

• Dados H uma fórmula e b um conjunto de fórmulas
  (hipóteses)
• Uma prova de H a partir de b é uma derivação onde
  
• As regras de inferência são aplicadas tendo como
  premissas fórmulas de b
• A última fórmula da derivação é H

13
Exemplo de prova

• P Q, R - Q R
• P Q (Premissa)
• Q (E) R (Premissa)
• QR (I)
• Exercícios
• (PQ) R, ST - QS
• PQ - QP
• (PQ) R - P (QR)

14
Regras da Dedução Natural - implicação

• Eliminação da implicação - modus ponens (?E)
• H H ? G
• G
• Introdução da implicação (?I)
• H (hipótese eliminada)
• G .
• H ? G

15
Exemplo de eliminação da implicação

• PQ, (P ?(Q ?R)) (Q ?R)
• PQ
• P (E) P ?(Q ?R) (premissa)
• (Q ?R) (?E)

16
Exemplo de introdução da implicação

• (P ?((P?Q)?Q)
• Supor os antecedentes
• Eles não poderão ser usados depois
• P (P?Q) (hipóteses)
• Q (?E)
• (P?Q)?Q) (?I)
• (P ?((P?Q)?Q) (?I)

17
Exercício

• (P?(Q ?P))
• (P?(Q ?R)) ?((PQ)?R))

18
Exercícios

• 1. ?PQ, (?PQ)?(R?P) - R?P
• 2. P ? (Q ?R), P?Q, P - R
• 3. P ?(P ? Q), P - Q

19
Regras da Dedução Natural- disjunção

• Introdução da disjunção (vI)
• H G .
• HvG HvG
• Eliminação da disjunção (vE)
• H G (hipóteses)
  D1 D2
• HvG E E
• E

20
Exemplo de Eliminação da disjunção

• PvQ,?Q,?P - false
• PvQ .
• P ?P (prem.) Q ?Q (prem.)
• false false
• false

21
Regras da Dedução Natural- negação

• De uma derivação de uma contradição (false) a
  partir de uma hipótese H, pode-se descartar a
  hipótese e inferir ?H e vice-versa
• H (?I) ?H (?E ou RAA)
• false false reductio ad ?H
  H absurdum
• Exercícios ??H?H e
• H??? H

22
Exercício

• Mostre que o seguintes argumento é válido
• Se este argumento for incorreto e válido, então
  nem todas as suas premissas são verdadeiras.
  Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é
  válido. Portanto ele é correto.

23
Solução

• Identificando as Sentenças
• P as premissas deste argumento são verdadeiras.
• S este argumento é correto.
• V este argumento é válido.
• Formalizando
• (?S V) ? ?P, P, V S

24
Exercício

• Deus não existe. Pois, se Deus existisse a vida
  teria significado. Mas a vida não tem
  significado. Prove isso!

25
Quando tudo o mais falhar

• EFQ ex falso quodlibet ou regra da contradição
• Podemos estar loucos, então qualquer literal é
  aceitável!
• Note que esta regra NÃO SUPÕE E NEM ELIMINA
  nada!!
• false
• H

26
Prova de EFQ

• P, ?P Q
• ?Q .
• P ?P (prem.)
• false
• Q (?E)

27
Exemplo

• Prove o Silogismo Disjuntivo, usando EFQ P v Q,
  ?P Q

28
Exercícios

• ?P ?(Q?R), ?P, Q R
• ?P ? ??Q, ???P Q
• P ? (Q R), P P Q
• (P Q) ? (R S), ??P, Q S
• ?A?B, C?(DvE), D??C, A??E (C ? B)
• Cv(B ? A), A ? R, (B ? R) ? S (?C ? S)

29
Lógicas clássicas

• Lógica minimal v? x IE
• Lógica intuicionista
• Lógica minimal U EFQ

30
Regras de inferência - equivalência

• Introdução da equivalência (?? I)
• H? G G?H
• H??G
• Eliminação da equivalência (?? E)
• H??G H??G
• H?G G?H

31
Dedução Natural

• A diferença básica da Lógica de Predicados para a
  Proposicional é que as contradições têm de ser em
  cima de instâncias
• As instâncias normalmente têm de ser geradas a
  partir de fórmulas quantificadas
• Quando fazer isso?

32
Ocorrência livre e ligada

• Se x é uma variável e E uma fórmula, uma
  ocorrência de x em E é
• Ligada, se x está no escopo de um quantificador
  (?x) ou (?x) em E
• Livre, se não for ligada
• G(?x)(?y)((?z)p(x,y,w,z)? (?y)q(z,y,x,z1))

33
Variável livre e ligada

• Se x é uma variável e E uma fórmula que contém x.
  x é
• Ligada em E, se existir uma ou mais ocorrências
  ligadas de x em E
• Livre em E, se existir uma ou mais ocorrências
  livres de x em E
• No exemplo anterior, z é livre e ligada!

34
Regras da dedução natural quantificador
universal

• Eliminação do quantificador universal (?E)
• ?x H(x), se a é livre para x em H
• H(a)
• Introdução do quantificador universal (?I)
• H(a) .
• ?x H(x)
• se x não ocorre livre em nenhuma das premissas
  das quais H(x) depende

35
Explicando ?I

• Papel reservado aos nomes arbitrários, algo que
  no cotidiano usamos
• Uma forma abreviada de dizer
• Todos os portugueses gostam de boa conversa é
  dizer
• O Zé-povinho gosta de boa conversa
• Zé-povinho refere-se a qualquer português,
  arbitrariamente
• Contudo, é necessário garantir que o nome seja
  arbitrário, pois se for um nome próprio a
  inferência é inválida!
• Não se pode concluir que todos os portugueses
  gostam de boa conversa só porque o Joaquim gosta
  de boa conversa.

36
Exemplo 1

• ?x (?(x) ? ?(x)) ? ?x ?(x) ? ?x ?(x)
• ?x (?(x) ? ?(x)) (sup.)
• ?(x) ?(x) ( E?)
• ?x?(x) ?x ?(x) (I?)
• ?x?(x) ? ?x ?(x) (I?)
• ?x (?(x) ? ?(x)) ? ?x ?(x) ? ?x ?(x) (I?)

37
Exemplo 2

• ?x(? ? ?(x)) ? (? ? ?x?(x)) se x não ocorre livre
  em ?.
• ?x (?? ?(x))(sup.)
• ?(sup.) (? ? ?(x)) (E?)
• ?(x) (E?)
• ?x ?(x) (I?)
• (? ? ?x ?(x)) (I ?)
• ?x(? ? ?(x)) ? (? ? ?x ?(x)) (I ?)

38
Regras da dedução natural quantificador
existencial

• Eliminação do quantificador existencial (?E)
• ? x H(x), se a é livre para x em H
• H(a)
• Introdução do quantificador existencial (?I)
• H(a) (hipótese)
• ?x H(x) E
• E
• x não ocorre livre em nenhuma das premissas
  usadas na derivação acima do travessão e nem E

39
Exemplo

• (?x (?(x) ? ?)) ? (?x ? ? ?) se x não ocorre
  livre em ?.
• ?x (?(x) ? ?)
• ?x ?
• ?(x) (?(x) ? ?) E?
• ? E?
• ? E?
• ?x ? ? ? I ?
• (?x(?(x) ? ?) )? (?x ? ? ?)) I ?

40
Regras da dedução natural identidade

• Eliminação da identidade (E)
• tu H(t)
• H(u)
• Introdução da identidade (I)
• nn
• xy
• P(x)??P(y)

41
Exemplo

• xy?(?z P(x,z) ??z P(y,z) )
• xy
• ?z P(x,z)
• P(x,z) E?
• P(x,z) ?P(y,z) I
• P(x,z)?P(y,z) E?
• P(y,z) E?
• ?z P(y,z) I?
• (?z P(x,z) ??z P(y,z) ) I?
• xy?(?z P(x,z) ??z P(y,z) ) I?

42
Lógica

• Sistema Axiomático

43
Sistema axiomático

• Alfabeto da Lógica de Predicados
• Conjunto de fórmulas da Lógica de Predicados
• Conjunto de regras de dedução (ou regras de
  inferência)
• Normalmente só Modus Ponens
• Um conjunto de axiomas
• Subconjunto de fórmulas
• Existem vários!!

44
Exemplo

• Ax1 A?(B?A)
• Ax2 (A?(B?C) ? ((A?B)?(A?C))
• Ax3 (?A? ?B)?((?A?B)?A)
• Ax4 ?x H(x)? H(a)
• Ax5 (?x A? B(x))?(A? ?x B(x)), se x não é livre
  em H

45
Exemplo de prova

• P?P
• (P?((P?P)?P)) ? ((P?(P?P))?(P?P))
• Ax2 com AP, BP?P, CP
• P?((P?P)?P), Ax1
• (P?(P?P))?(P?P), Modus Ponens
• (P?(P?P)), Ax1 com AP, BP
• P?P, Modus Ponens

46
Um sistema axiomático estranhíssimo...

• Regra de inferência A A ? (B ?C)
• C
• Ax1 (A?(B?C))?((A?(C? A))
  ?((C?B)?((A?C)?(A?C))))
• Conclusão Sistemas axiomáticos são complicados
  de usar e de entender as provas!!