Presentazione di PowerPoint

1
Modelli e Algoritmi della Logistica
STUDENTE
Prova Scritta del 15/12/2003 B
MATRICOLA
1. ( punti 7 ) Siano dati un insieme di
localizzazioni potenziali (nodi grandi) ed un
insieme di clienti da servire (nodi piccoli). Il
costo di afferenza di un cliente ad un impianto è
indicato sul corrispondente arco mentre il costo
di attivazione è indicato accanto alla
localizzazione potenziale. Determinare,
utilizzando lalgoritmo di ascesa duale, un
lower bound del valore della soluzione ottima
(che minimizza la somma dei costi di attivazione
ed afferenza), una soluzione euristica e il
corrispondente gap.
2
2. ( punti 5 ) Descrivere e dimostrare la
correttezza di un oracolo di separazione per le
disequazioni cover di un problema di knapsack.
 
3. ( punti 7 ) Applicare poi loracolo di
separazione e verificare se il punto
(0,0,2/3,0,2/3) viola una disequazione
associata ad un cover del seguente
knapsack (indicando leventuale cover violato)
4. ( punti 4 ) Descrivere la formulazione ottima
e loracolo di separazione per il problema del
minimo grafo connesso s-t.
5. (punti 4) Applicare loracolo descritto sopra
e individuare una disequazione (appartenente alla
formulazione ottima) violata dalla soluzione
frazionaria mostrata a fianco (accanto ad ogni
arco è indicato il valore della corrispondente
componente della soluzione frazionaria)
6. ( punti 3 ) Derivare la formula dellEOQ e
Calcolare lEOQ per un problema di scorte con i
seguenti parametri Domanda annuale 30 Costo
unitario del bene 600 MARR 4 Costo fisso
40
2
Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 1
1. ( punti 7 ) Siano dati un insieme di
localizzazioni potenziali (nodi grandi) ed un
insieme di clienti da servire (nodi piccoli). Il
costo di afferenza di un cliente ad un impianto è
indicato sul corrispondente arco mentre il costo
di attivazione è indicato accanto alla
localizzazione potenziale. Determinare,
utilizzando lalgoritmo di ascesa duale, un
lower bound del valore della soluzione ottima
(che minimizza la somma dei costi di attivazione
ed afferenza), una soluzione euristica e il
corrispondente gap.
2
SOLUZIONE
1. Definisco i costi (afferenza e attivazione)
 
A B C D E
a 3 8 0 8 8
b 1 0 4 8 8
c 3 1 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 1 8 2 3
f 8 1 3 1 8
Costi di afferenza c
Costi di attivazione f
2 6 1 2 1
3
Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 1
2. Calcolo i vettori ? e ?
3. Calcolo Vk/m(k)
?
A B C D E
a 3 8 0 8 8
b 1 0 4 8 8
c 3 1 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 1 8 2 3
f 8 1 3 1 8
1/11
1/11
2/12
1/2
1/11
2/21
3
1
2
8
1
2
 
?
2 6 1 2 1
A B C D E
a 3 8 0 8 8
b 1 0 4 8 8
c 3 12 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 1 8 2 3
f 8 1 3 1 8
4. Massimo in corrispondenza della riga c.
Incremento di Vc le u corrispondenti ai
minimi della riga c (uno solo!)
4
Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 1
5. Aggiorno i vettori ? e ?
6. Aggiorno Vk/m(k)
?
A B C D E
a 3 8 0 8 8
b 1 0 4 8 8
c 3 12 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 1 8 2 3
f 8 1 3 1 8
1/11
1/11
2/21
1/2
1/11
2/21
3
1
8
8
1
2
 
?
2 4 1 2 1
A B C D E
a 3 8 01 8 8
b 1 0 4 8 8
c 3 12 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 1 8 2 3
f 8 1 3 1 8
7. Massimo in corrispondenza della riga a.
Incremento di Va le u corrispondenti ai
minimi della riga a (uno solo)
5
Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 1
8. Aggiorno i vettori ? e ?
9. Aggiorno Vk/m(k)
?
A B C D E
a 3 8 01 8 8
b 1 0 4 8 8
c 3 12 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 1 8 2 3
f 8 1 3 1 8
0/10
1/11
2/21
1/2
1/11
2/21
2
1
8
8
1
2
 
?
2 4 0 2 1
A B C D E
a 3 8 01 8 8
b 1 01 4 8 8
c 3 12 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 1 8 2 3
f 8 1 3 1 8
10. Massimo in corrispondenza della riga b.
Incremento di Vb le u corrispondenti ai
minimi della riga b (uno solo)
6
Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 1
11. Aggiorno i vettori ? e ?
12. Aggiorno Vk/m(k)
?
A B C D E
a 3 8 01 8 8
b 1 01 4 8 8
c 3 12 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 1 8 2 3
f 8 1 3 1 8
0/10
2/21
2/21
1/2
1/11
2/21
2
3
8
8
1
2
 
?
2 3 0 2 1
A B C D E
a 3 8 01 8 8
b 12 012 4 8 8
c 3 12 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 1 8 2 3
f 8 1 3 1 8
13. Massimo in corrispondenza della riga b.
Incremento di Vb le u corrispondenti ai
minimi della riga b (due)
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Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 1
14. Aggiorno i vettori ? e ?
15. Aggiorno Vk/m(k)
?
A B C D E
a 3 8 01 8 8
b 12 012 4 8 8
c 3 12 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 1 8 2 3
f 8 1 3 1 8
0/10
0/20
0/20
1/2
1/11
1/2
2
1
8
8
1
2
 
?
0 1 0 2 1
A B C D E
a 3 8 01 8 8
b 12 012 4 8 8
c 3 12 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 11 8 2 3
f 8 1 3 1 8
16. Massimo in corrispondenza della riga e.
Incremento di Ve le u corrispondenti ai
minimi della riga e (uno solo)
8
Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 1
17. Aggiorno i vettori ? e ?
18. Aggiorno Vk/m(k)
?
A B C D E
a 3 8 01 8 8
b 12 012 4 8 8
c 3 12 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 11 8 2 3
f 8 1 3 1 8
0/10
0/20
0/20
0/20
0/10
0/20
2
1
8
8
1
2
 
?
0 0 0 2 1
A B C D E
a 3 8 01 8 8
b 12 012 4 8 8
c 3 12 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 11 8 2 3
f 8 1 3 1 8
19. Tutte le righe sono bloccate. Lalgoritmo
si arresta.
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Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 1
20. Calcolo del vettore z (minimi di riga della
matrice aggiornata)
z
A B C D E
a 3 8 01 8 8
b 12 012 4 8 8
c 3 12 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 11 8 2 3
f 8 1 3 1 8
1
3
3
3
2
1
LB13
 
UBZ(A,B,C)9615
0 0 0 2 1
?
A B C D E
a 3 8 0 8 8
b 1 0 4 8 8
c 3 1 8 8 8
d 8 3 8 8 3
e 8 1 8 2 3
f 8 1 3 1 8
gap15-13 2
Osservazione A è inutile e può essere
eliminato. In tal caso, la Soluzione diviene
B,C, UB13 e il gap0
2 6 1 2 1
10

• Valutazione Esercizio 1
• -2 punti se non viene scritta in modo corretto
  la matrice dei costi (con 8 al posto giusto)
• -2 punti se non viene calcolato lUB come
  nelle pagine precedenti
• -2 punti per errori nellapplicazione
  dellalgoritmo
• Ignorata la soluzione euristica calcolata con
  il greedy o con altro metodo

 
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Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 2
2. ( punti 5 ) Descrivere e dimostrare la
correttezza di un oracolo di separazione per le
disequazioni cover di un problema di knapsack.
La dimostrazione è quella riportata nelle pagine
7,8 e 9 della Lezione 9
 
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Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE
ESERCIZIO 3
Risposta
1. Definire il knapsack duale per la
separazione approssimata
 
max (x1 -1) u1 (x2 -1) u2 (x3 -1) u3 (x4
-1) u4 (x5 -1) u5
u1 4u2 6u3 u4 4u5 gt 8
max (0-1) u1 (0-1) u2 (2/3 -1) u3 (0-1) u4
(2/3 -1) u5
u1 4u2 6u3 u4 4u5 gt 8
max -u1 -u2 -1/3u3 -u4 -1/3 u5 ? min
u1 u2 1/3u3 u4 1/3 u5
u1 4u2 6u3 u4 4u5 gt 8
13
Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 3
2. Ordinamento delle variabili (rapporti
valore/ingombro crescenti)
max -u1 -u2 -1/3u3 -u4 -1/3 u5 ? min
u1 u2 1/3u3 u4 1/3 u5
u1 4u2 6u3 u4 4u5 gt 8
u1 u2 u3 u4 u5
u3 u5 u2 u1 u4
 
1 1/4 1/18 1 1/12
1/18 1/12 1/4 1 1
ordinamento
3. Soluzione del knapsack duale
u3 u5 u2 u1 u4
1 1/2 0 0 0
-1/3-1/6-1/2gt-1
4. Valore della soluzione (nel problema di
massimizzazione!)
Il vettore dato è esterno alla formulazione
cover
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Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 3
5. Arrotondamento della soluzione
u3 u5 u2 u1 u4
u3 u5 u2 u1 u4
1 1/2 0 0 0
1 1 0 0 0
Arrotondamento
 
6. Valore della soluzione associata ad u (nel
problema di massimizzazione!)
u è il vettore di incidenza di un cover
violato
-1/3-1/3-2/3gt-1
7. Il cover violato è x3x5 lt 1
Valutazione Esercizio 3 -2 punti se non
viene calcolato lordinamento -2 punti per
errori nellapplicazione delloracolo
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Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 4
4. ( punti 4 ) Descrivere la formulazione ottima
e loracolo di separazione per il problema del
minimo grafo connesso s-t.
Risposta
 

• Calcola il taglio s-t di peso minimo K

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Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 5
5. (punti 4) Applicare loracolo descritto sopra
e individuare una disequazione (appartenente alla
formulazione ottima) violata dalla soluzione
frazionaria mostrata a fianco (accanto ad ogni
arco è indicato il valore della corrispondente
componente della soluzione frazionaria)
Soluzione Bisogna trovare il taglio di capacità
minima nel grafo dato. Le capacità sono le
componenti della soluzione frazionaria
 
Il taglio (s,A,B,C,D,E,F ,G,t) è il taglio
minimo (1/3)
La disequazione violata è xCGxDGxFGxFt gt 1
Valutazione punteggio massimo solo a chi ha
verificato la minimalità del taglio (applicando
Ford e Fulkerson o mostrando un flusso di
valore 1/3)
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Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta
del 15/12/2003 B SOLUZIONE ESERCIZIO 6
6. ( punti 3 ) Derivare la formula dellEOQ e
Calcolare lEOQ per un problema di scorte con i
seguenti parametri Domanda annuale 30 Costo
unitario del bene 600 MARR 4 Costo fisso
40
1. La derivazione è quella descritta nelle pagine
6 e 7 della Lezione 17
2. LEOQ desiderata è
 
2?40?30



10
Valutazione Esercizio 6 -1 punto se non
viene dimostrata la formula in modo chiaro ed
esplicativo