BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

1
BARISAN DAN DERETARITMETIKA

• By Tri Wahyuningsih
• A 410 060 292

2
A. Barisan Aritmetika

• Definisi
• Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan
  dilambangkan dengan b.
• Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut
  ini.
• a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
• b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan
• Aritmetika
• c. 30, 25, 20, 15, ...

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan
yang selisih setiap dua suku berturutan selalu
merupakan bilangan tetap (konstan).
3
Contoh

• 1, 4, 7, 10, 13, ...
• 3 3 3 3
• Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
  suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa
  beda sukunya 3 atau b 3.
• b. 2, 8, 14, 20, ...
• 6 6 6
• Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
  suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa
  beda sukunya 6 atau b 6.

4

• c. 30, 25, 20, 15, ...
• 5 5 5
• Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
  suku sebelumnya ditambah 5. Dapat dikatakan
  bahwa beda sukunya 5 atau b 5.
• Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.
• Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan
  suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda
  dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan
aritmetika maka berlaku b Un Un 1.
5

• U a
• U U b a b
• U U b (a b) b a 2b
• U U b (a 2b) b a 3b
• U U b (a 3b) b a 4b
• .
• .
• .
• U U b a (n 1)b
• Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika
  adalah
• Keterangan Un suku ke-n
• a suku pertama
• b beda
• n banyak suku

U a (n 1)b
6
Contoh 1

• Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan 3, 2,
  7, 12, ....
• Jawab
• 3, 2, 7, 12,
• Suku pertama adalah a 3 dan
• bedanya b 2 (3) 5.
• Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh
• U 3 (n 1)5.
• Suku ke-8 U 3 (8 1)5 32.
• Suku ke-20 U 3 (20 1)5 92.

7
Contoh 2

• Diketahui barisan aritmetika 2, 1, 4, 7, ...,
  40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.
• Jawab
• Diketahui barisan aritmetika 2, 1, 4, 7, ...,
  40.
• Dari barisan tersebut, diperoleh a 2, b 1
  (2) 3,dan
• U 40.
• Rumus suku ke-n adalah U a (n 1)b sehingga
• 40 2 (n 1)3
• 40 3n 5
• 3n 45
• Karena 3n 45, diperoleh n 15.
• Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah
  15.

8
B. Deret Aritmetika

• Definisi
• Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama
  barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari
  suatu barisan bilangan dinotasikan S .
• Dengan demikian, S U1 U2 U3 ... U .
  Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S
  , perhatikan contoh berikut

Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku
dari suatu barisan aritmetika. U1 U2 U3 ...
U disebut deret aritmetika, dengan U a (n
1)b.
9
Contoh 1

• Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11,
  14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.
• Jawab
• Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat
  dituliskansebagai berikut.
• S 2 5 8 11 14
• S 14 11 8 5 2
• 2S 16 16 16 16 16
• 2S 5 x 16
• S S 40
• Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah
  40.

10

• Menentukan rumus umum untuk S sebagai berikut.
  Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan
  aritmetika adalah
• U a (n 1)b. Oleh karena itu,
• U a a
• U a b U (a 2)b
• U a 2b U (n 3)b
• . . .
• . . .
• . . .
• U a (n 1)b U

11
Dengan demikian, diperoleh

• S a (a b) (a 2b) ... (a (n
  1)b)
• a (U (n 2) b) (U (n 3) b)
  ... U ............ (1)
• Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku
  adalah b kurang dari suku berikutnya.
• U U b
• U U b U 2b
• U U b U 3b
• Demikian seterusnya sehingga S dapat dituliskan
• S a (U (n 1)b) (U 2b) (U
  b) U .......... (2)

12
Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan,
diperoleh

• S a (U (n 2)b) (U (n 3)b)
  ... U
• S U (U b) (U 2b) ... a
• 2S (a U ) (a U ) (a U ) ... (a
  U )
• n suku
• Dengan demikian, 2S n(a U )
• S n(a U )
• S n(a (a (n 1)b))
• S n(2a (n 1)b)

13
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret
aritmetika adalah

• Keterangan
• S jumlah n suku pertama
• a suku pertama
• b beda
• U suku ke-n
• n banyak suku

S n(a U) atau S n 2a (n 1)b
14
Contoh 2

• Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 4
  6 8 ....
• Jawab
• Diketahui bahwa a 2, b 4 2 2, dan n
  100.
• S x 100 2(2) (100 1)2
• 50 4 198
• 50 (202)
• 10.100
• Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut
  adalah 10.100.

15
Contoh 3

• Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3
  yang kurang dari 100.
• Jawab
• Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100
  adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh
• a 3, b 3, dan U 99.
• Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut
• U a (n 1)b
• 99 3 (n 1)3
• 3n 99
• n 33
• Jumlah dari deret tersebut adalah

16

• S n (a U )
• S x 33(3 99)
• 1.683
• Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang
  kurang dari 100 adalah 1.683