Slide sem t

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• ? Planejamento do curso
• DIA  (CH)  TEMAS  
  RECURSOS
• 27/06 2 Apresentação do curso e
  introdução Datashow e PC
• 04/07 2 Elementos básicos de análise de
  sobrevivência Datashow e PC
• 11/07 2 Força de mortalidade Datashow e
  PC
• 18/07 2 Relações de funções de sobrevivência
  com tábuas Datashow e PC
• 25/07 2 Aplicações com tábuas de mortalidade
  reais Datashow e PC
• 01/08   2 Outras funções de tábuas de
  mortalidade Datashow e PC
• 08/08   2 Aplicações de força central de
  mortalidade Datashow e PC 
• 15/08   2 Leis de mortalidade
  Datashow e PC
• 22/08   2 Tipos de tábuas seleta, final,
  agregada Datashow e PC 
• 29/08 2 Inferência em tábuas de mortalidade
  Datashow e PC
• 05/09 2 Dinâmica de populações e sequência de
  tábuas Datashow e PC
• 12/09 2 Revisão e tirada de dúvidas final
  Quadro-negro
• 12/09 2 Prova final   
•  
• ? Avaliação

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Tempo de vida futura encurtado (discretizado) Táb
uas de mortalidade são frequentemente
apresentadas com dados agrupados por anos
inteiros. Pode-se definir a variável discreta
K(x), dada pelo anos completados por (x) antes
de sua morte. K(x) parte inteira de
T(x). Assim, K(x) tem fç de probabilidade P(
K(x) k ) P( k lt T(x) ? k1 ) kqx A
função de distribuição de K(x) é uma função
escada (K(x) é discreta) com F(k) 0qx ...
kqx k1qx , para k 0, 1, 2, .. Note que
kqx kpx - k1px
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• Comentários sobre a Tábua de Mortalidade
  americana 1979-1981
• tabela parte de uma raiz (hipotética) l0 100
  000
• 1 dos recém-nascidos deverá morrer no 1o. ano de
  vida
• 77 dos recém-nascidos viverá até 65 anos
• Mínimos locais no número de mortes ocorrem aos
  11 e 27 anos
• O máximo número de mortes dentro de um grupo é
  aos 83 anos
• Não há indicação de idade limite pois 21 ainda
  estão vivos
• lx e dx foram arredondados (sem haver
  necessidade).

15
Exercícios sobre tábuas de mortalidade - Parte
I 1) Usando a tábua de mortalidade americana
1979-1981, qual a probabilidade de (20) i)
viver até 100 anos? ii) morrer antes de 70
anos? iii) morrer em sua 10a
década? Solução i) P( T(20) gt 100) P( T gt 100
T gt 20 ) P( T gt 100)/ P( T gt 20 )
S(100)/S(20). Mas S(x) lx / l0 . Logo,
S(100)/S(20) l100 / l20 . ii) P( T(20) ? 70 )
P( 20 lt T ? 70 T gt 20 ) S(20) - S(70) /
S(20) 1 - S(70)/S(20). Das contas em (i),
S(70)/S(20) l70 / l20 . iii) P( 90 lt T(20) ?
100 ) P( 90 lt T ? 100 T gt 20 ) S(90) -
S(100) / S(20). Das contas em (i), P( 90 lt
T(20) ? 100 ) ( l90 - l100 )/ l20 .
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• Números esperados de anos vividos por
  sobreviventes
• Tx - número esperado de anos vividos pelos
  sobreviventes até x
• Tx ??0 t lxt ?xt dt ??0 lxt
  dt
• Pode se mostrar que Tx / lx e0x .
• Lx - número esperado de anos vividos entre x e
  x1 pelos sobreviventes até x
• Lx ?10 t lxt ?xt dt lx1 . 1
  ?10 lxt dt
• Logo, Tx Lx Lx1 ...
• Vida média entre x e x1
• ax E T(x) T(x) lt 1 ?10 t lxt ?xt
  dt / ?10 lxt ?xt dt

27

• Taxa central de mortalidade
• mx ?10 lxt ?xt dt / ?10 lxt
  dt ( lx - lx1 ) / Lx dx / Lx
• Média de ?x ponderada pela padronização de lx
• É uma espécie de versão discreta da força de
  mortalidade ?x
• Útil na modelagem estatística de tábuas de
  mortalidade pois fornece a relação entre o número
  de falecidos entre as idades x e x  1 e o número
  de indivíduos que possuem a idade x.
• Temos ainda que
• mx dx / lx - (dx /2) (dx / lx ) /
  (lx / lx)- (dx /2 lx) 2 qx / ( 2 - qx ).
• Daí decorre que qx 2 mx / (2 mx ) e px 2
  - mx / (2 mx ).

28

• Se as mortes entre x e x1 se distribuem
  uniformemente (lxt ?xt dx )
• ? ax 1/2
• Lx lx1 (1/2) dx lx - (1/2) dx (
  lx lx1 ) / 2
• Tx (1/2) lx lx1 lx2 ...
  (provar)
• e0x ex 0,5
• Outras possibilidades podem ser contempladas para
  a forma de distribuição das mortes entre x e x1.
  As mais famosas são
• i) uniforme (vista acima),
• ii) exponencial (força de mortalidade constante)
• iii) Balducci

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• Existem situações que fazem com que mortalidade
  seja diferenciada
• indivíduos podem ter sido aprovados em exame
  médico
• indivíduos podem ter deficiência física
• etc...
• Padrão de mortalidade é alterado e novas
  probabilidades devem ser utilizadas.
• Para explicitar esse ponto, notação também será
  alterada
• x ? x , idade na qual indivíduo
  teve padrão mudado (por exame médico).
• (xu) ? (xu) , indivíduo com xu anos que teve
  padrão mudado em x
• Exemplo considere 3 indivíduos com 30i anos
  (30i), (30i) e (31i-1)
• 2q30i é a probabilidade de (30i)
  morrer em 2 anos
• 2q30i é a probabilidade de 30i
  morrer em 2 anos
• 2q31i-1 é a probabilidade de 31i-1
  morrer em 2 anos

37

• Espera-se que efeito do exame acabe com o tempo e
  mortalidade dependa apenas da idade,
• isto é, que exista r tal que qx-jrj ? qxr
  ? qxr , para j gt 0
• r é o período de seleção.
• A sociedade de atuária americana recomenda r15,
  isto é, tomar qx-j15j ? qx15
• Com isso, tábuas seletas só precisam ter r
  colunas com probs. qxj , j1,... , r.
• A tábua de mortalidade para (25) necessita dos
  valores de q25j , j1, ... , 15, 16, ...
• Podemos obter
• q25j , j1,... , 15 da tábua seleta
• q2515j , j1,... das relações
  q2516 ? q2615 ? q41 , q2517 ? q2715 ?
  q42 , ...
• Tábuas seletas e finais são obtidas pela
  truncagem das tabelas seletas
• após o período de seleção r.

38
A tabela abaixo contém um trecho da tábua de
seguradoras inglesas 1967-1970 x 1000 qx
1000 qx1 1000 qx2 lx lx1 lx2
x2 30 0,43767 0,57371 0,69882
33.829 33.814 33.795 32 31 0,45326
0,59924 0,73813 33.807
33.791 33.771 33 32 0,47711 0,63446
0,79004 33.784 33.767 33.746 34 33
0,50961 0,68001 0,85577 33.760
33.742 33.719 35 34 0,55117 0,73655
0,93663 33.734 33.715 33.690 36 O
período de seleção usado nessa tábua foi
r2. Note que lx2 ? lx11 ? lx2 e
portanto é razoável supor que lx2 lx2
. Entretanto qx2 lt qx11 lt qx2 são bem
diferentes e, embora todas se refiram a (32),
ordem faz sentido. Tábua agregada leva em conta
apenas a idade dos indivíduos.
39
Exercício sobre tábuas seletas Com base na
tábua das seguradoras inglesas, calcule 2q30,
5p30 , 1q31 e 3q311 Solução i)
2q30 P( (30) sobreviver 2 anos) l32 /
l30 33.795 / 33.829 0,99899. ii) 5p30
P( (30) sobreviver 5 anos) l35 / l30
33.719 / 33.829 0,99675. iii) 1q31 P(
(31) morrer em seu 32o. ano) ( l311 -
l312 ) / l31 Como l312 l33 .,
1q31 ( 33.791 - 33.771 ) / 33.807
0,00059. iv) 3q311 P( (311) morrer em 3
anos) ( l311 - l314 ) / l311
Como l314 l35 ., 3q311 ( 33.791 -
33.719) / 33.791 0,00213. ,
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41

• Inferência em tábuas de mortalidade (cont.)
• Normalmente em tábuas, não há censura ? qx dx /
  lx .
• Supondo que as mortes na idade x estão
  concentradas em
• x ½, o tempo de exposição na idade x é
• Ex lx1 . 1 dx . ½ lx - dx . ½
• Supondo que a taxa de mortalidade é constante em
  cada idade (?xs ?x1/2 , para 0 lt s lt 1),
  estimamos
• ?x1/2 dx / Ex ? qx 1 exp( - ?x1/2 ) 1
  exp(- dx / Ex).
• Observações
• Os 2 estimadores de qx são parecidos pois 1
  exp(-z) ? z, se z for pequeno
• Se a taxa de mortalidade é constante para cada
  idade,
• a verossimilhança da idade x é (?x1/2 )dx exp( -
  ?x1/2 Ex)
• ? dx / Ex é EMV de ?x1/2
• ,

42

• Para usar métodos analíticos de inferência,
  precisamos assumir distribuição para v.a.s dx e
  Ex (ou lx).
• Costuma-se assumir Ex (ou lx) conhecidos.
• Existem 2 opções mais comuns para dx
• dx ? Poisson (?x1/2 Ex) ? da verossim. Acima
• dx ? Binomial ( lx , qx )
• Na prática, não há muita diferença nos 2
  caminhos
• Se lx é grande e qx é pequeno (normalmente
  verdade) então
• Binomial ? Poisson,
• lx ? Ex
• qx ? ?x1/2

43
Intervalos de confiança (caminho
Poisson) Assumindo o caminho Poisson, podem-se
construir I.C.s para ?x1/2 a partir de I.C.s
para ? ?x1/2 Ex. Exemplo suponha dx 19 e
Ex 2000, para algum x O I.C. 90 para ? é
12,44 lt ? lt 27,88 (da tabela do
Gerber) Dividindo todos os termos por 2000, I.C.
90 para ?x1/2 é 0,00622 lt ?x1/2 lt 0,01394.
? 1,00624 lt exp ( ?x1/2 ) lt 1,01404 ?
0,98616 lt exp ( - ?x1/2 ) lt 0,99380 ? 0,00620
lt 1 - exp (-?x1/2) lt 0,01384 ? I.C. para qx
Note semelhança entre os I.C.s de ?x1/2 e qx

44
Intervalos de confiança (caminho
binomial) Assumindo o caminho binomial, podem-se
construir I.C.s para qx a partir da aproximação
normal dx /lx ? normal (qx , qx (1- qx )/lx
). Daí, obtém-se o I.C. 95 para qx dado pelos
limites (dx /lx) ? 1,96 dx (lx - dx )/ (lx)3
1/2 Para I.C. 99 troca-se 1,96 por
2,576. Exemplo suponha dx 19 e lx 2000,
para algum x dx /lx 0,0095 dx (lx - dx )/ (lx)3
19 (2000-19)/20003 (0,002169)2 Assim, I.C.
95 para qx tem limites 0,0095 ? 1,96 .
0,002169 ? I.C. 95 0,00525 lt qx lt
0,01375 Aproximação normal funciona bem para lx
grandes.
45
Abordagem Bayesiana (caminho Poisson) Usando
Poisson, a verossimilhança da idade x é dada
por l(?x1/2 ) (?x1/2 )dx exp( - ?x1/2
Ex) Supondo prioris ?x1/2 ? Gama ( ?x , ?x ),
obtém-se, pelo teorema de Bayes, a
posteriori ?x1/2 dados ? Gama ( ?x dx , ?x
Ex). A média a posteriori de ?x1/2 é (?x dx
) / ( ?x Ex). A média a posteriori de qx 1
exp( - ?x1/2 ) é 1?x/(?x 1) ?x. Intervalos
de credibilidade para ?x1/2 podem ser
construídos, a partir da distribuição Gama.
Intervalos de credibilidade para qx podem ser
construídos, a partir dos intervalos para ?x1/2
.
46
Abordagem Bayesiana (caminho Binomial) Usando
binomial, a verossimilhança da idade x é dada
por l(?x1/2 ) ? (qx )dx (1 - qx )lx -dx Supondo
prioris qx ? Beta ( ?x , ?x ), obtém-se, pelo
teorema de Bayes, a posteriori qx dados ?
Gama ( ?x dx , ?x lx). A média a posteriori
de qx é (?x dx ) / ( ?x lx). Intervalos de
credibilidade para ?x1/2 podem ser construídos,
a partir da distribuição Gama. Intervalos de
credibilidade para qx podem ser construídos, a
partir dos intervalos para ?x1/2 .
47
Graduação Os valores de qx estimados por todos
os procedimentos acima não levam em conta nenhuma
relação entre seus sucessivos valores. A
decorrência disso é que eles podem ter grandes e
indesejáveis flutuações, principalmente nas
idades mais avançadas. Além disso, não levam em
conta possíveis formas determinísticas (leis de
mortalidade) que pode se querer impor. A idéia
da teoria de graduação, introduzida por Whittaker
em 1920, visa justamente tratar essas questões.
Veremos mais tarde como isso pode ser feito.
48
Forças de mortalidade proporcionais Sejam ?px1/2
f. m. para idade x da tábua padrão ?x1/2
f. m. para idade x da tábua de interesse Suponha
que tábua de interesse tenha força de mortalidade
proporcional à uma tábua padrão, isto é, ?x1/2
f ?px1/2 , para toda idade x. Temos que dx ?
Poisson (?x1/2 Ex) Poisson (f?px1/2
Ex). Assim, d ?x dx ? Poisson (f ?x ?px1/2
Ex). Portanto, f pode ser estimado por (?x
dx)/(?x ?px1/2 Ex) e e ?s1/2 pode ser estimado
por ?ps1/2 .(?x dx)/(?x ?px1/2 Ex) Intervalos
de confiança para f (e ?x1/2) podem ser
construídos.
49

• Múltiplas causas de morte
• Considere a decomposição da morte pelas suas m
  causas.
• Temos assim, para cada idade x,
• m forças de mortalidade ?1,x1/2 , ... ,
  ?m,x1/2
• m prob. condicionais de morte q1,x , ... , qm,x
• m contagens de mortos d1,x , ... , dm,x
• Os E.M.V. de ?j,x1/2 são dados por dj,x / Ex , j
  1, ... , m.
• Analogamente, os E.M.V. de qj,x são dados por
• (dj,x/dx) 1 exp ( - dx/Ex ) , j 1, ... ,
  m.
• Intervalos de confiança para ?j,x1/2 e qj,x
  podem ser construídos.
• Estimadores e intervalos Bayesianos também podem
  ser obtidos.

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Inferência em tábuas de mortalidade
Estimação de mx Na prática, dispomos de
informação sobre mortes observadas na
população. Com base, nesses dados procuramos
obter estimadores de propriedades da
população. Uma das mais usadas é a taxa central
de mortalidade pois é dada por uma relação direta
entre mortes e indivíduos em risco para cada dado
intervalo (de 1 ano). Sejam Dx número
observado de mortes na idade x e Lx
número observado de anos vividos na idade x
Note que EDx dx , E Lx Lx e mx
dx / Lx . Uma hipótese comumente feita é
que Dx Lx ? Poisson ( mx Lx ). Daí, obtém-se
o estimador Dx / Lx para mx Hipóteses
paramétricas sobre mx podem ser feitas. Exemplo
Gompertz - mx B cx Pela regra de multiplicação
P(A1... An) P(A1) P(A2 A1) .... P(AnAn-1...
A1) ? ( D1 L1 ) , ( D2 L2 ), ( D3 L3 ) ,
... são independentes.
55

• Temos todas as condições de um modelo linear
  generalizado (MLG)
• observações independentes D1 , D2, ... , Dw
• função de ligação para a média
• variáveis explicativas (no caso, x a idade)
• Aplicando para o caso Gompertz temos mx B cx.
• Portanto, E Dx mx Lx B Lx cx.
• Tomando ligação logarítmica temos log E Dx
  log Lx log B (log c) x.
• Trata-se de MLG com 1 covariável x e intercepto
  dado por log Lx log B .
• Se Gompertz não é apropriada, outras opções podem
  ser usadas.
• Descrições mais realistas podem ter covariáveis
  x, x2 , x3 , ...
• Ligação logarítmica é útil pois garante
  positividade de mx
• Outra opção é a abordagem não-paramétrica.

56
Beltrão e Pinheiro (2002) num relatorio técnico
da Funenseg construíram uma tábua seleta da
população consumidora de produtos das
seguradoras brasileiras . Eles optaram pelo
caminho binomial. A graduação foi feita através
da especificação de Thiele qx q1(x) q2(x)
q3(x) onde q1(x) cuidaria da população infantil
(ausente nesse caso), q2(x) cuida da mortalidade
por causas externas q3(x) cuida da mortalidade
por envelhecimento As formas adotadas
foram q2(x) D exp - E (log x log F )2
e q3(x) G Hx / ( 1 K G Hx )
57
Outras possibilidades a serem exploradas em
graduação Ao tomar o caminho binomial, queremos
modelar probabilidades de morte qx que estão no
intervalo 0,1. Nesse caso, a transformação
mais apropriada não é a logarítmica, usada no
caso de taxas de mortalidade. A mais comum é a
trasformação logit ?x log qx /(1- qx
). Diferentes modelos podem ser usados aqui
como visto anteriormente.
58

• Outra opção é aplicar as transformações
  diretamente nos dados e
• assumir a partir daí distribuição normal.
• Assim,
• no caminho Poisson, tomamos
• log (dx/Ex) como sendo normal com média
  ?x1/2
• no caminho binomial, tomamos
• logit (dx /lx) como sendo normal com média qx.
• Nesses casos, ainda resta a variância normal para
  ser modelada.
• Esse caminho é aproximado (os anteriores são
  exatos).
• Mas a aproximação será boa para Ex (ou lx)
  grandes.

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63
Sequência de tábuas de mortalidade Na prática,
observamos várias tábuas publicadas a intervalos
de tempo regulares. Podemos coloca-las em
sequência de forma a estabelecer padrão para
evolução delas. Se população for estacionária,
padrão é constante. Isso pode ser checado! Idade
\ Ano 1975 1980 1985 1990 1995 2000 1
D11975 D11980 D11985 D11990 D11995 D12000 2
D21975 D21980 D21985 D21990 D21995 D22000 3 D3
1975 D31980 D31985 D31990 D31995 D32000 4 D41975
D41980 D41985 D41990 D41995 D42000 5 D51975 D51
980 D51985 D51990 D51995 D52000 6 D61975 D61980
D61985 D61990 D61995 D62000 ... onde Dxz
denota o número de mortos da idade x observado
no ano z Continuamos com independência
(condicional) entre D1z , ... , Dwz , para todo
ano z. Supondo que as tabelas foram geradas de
forma independente, temos independência entre as
tabelas.
64
Assim, temos independência para D11975 , ... ,
Dw1975 , ... , D12000 , ... ,
Dw2000. A hipótese básica se mantém Dxz Lxz
? Poisson ( mxz Lxz ), onde mxz é a
taxa central de mortalidade da idade x no ano
z Lxz é o número observado de anos vividos
após x no ano z Podemos propor MLG como o
anterior só que agora temos x e z como possíveis
covariáveis. Modelando x (como vimos antes)
estudamos o padrão de morte da população. Modelan
do z estudamos o padrão de evolução da
mortalidade ao longo do tempo. Exemplo é
razoável supor um declínio da taxa central de
mortalidade ao longo dos anos
para todas as idades (x1, ... , w)
? log mxz ?x ?x z onde espera-se ? lt
0. ?x 0 indica
estacionariedade da população.