Het berekenen van verlenging en verkorting

1
Sterkteleer fantastisch !
les 3

Het berekenen van verlenging en verkorting
2
Trekproef

• Beschrijving van de trekproef
• treksterkte
• vloeigrens/0,2 rekgrens
• spanning en rek
• blijvende rek / rek bij breuk
• elasticiteitsmodulus
• Filmpjes van trekproef

3
Trekkromme

• Machine trekt met constante snelheid

F (N)
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
d (mm)
10
20
30
40
50
0
4
Rek
Rek is verlenging gedeeld door oorspronkelijke
lengte

• Wat is de rek van een staaf van 1 m lengte die 1
  mm verlengt?
• Wat is de rek van een staaf van 0,5 m lengte die
  1 mm verlengt?

5
Onafhankelijk maken van afmetingen staaf

• van kracht naar spanning delen door A (de
  oorspronkelijke A, niet de ingesnoerde A!)
• van verplaatsing naar rek delen door L0

s (MPa)
400
300
200
100
e
0,05
0,25
0
0,10
0,15
0,20
0,30
0,35
0,40
6
Twee belangrijke grensspanningen

• Treksterkte sU (geen kracht maar een spanning)
• Vloeigrens sY (ook een spanning)
• Breukrek e f (dimensieloos getal)

s (MPa)
sU
sY
sY
e
e f
0,05
0,25
0
0,10
0,15
0,20
0,30
0,35
0,40
7
Plastische vervorming meestal taboe!

• Als ontwerper ga je nooit boven de vloeigrens sY
• Wel van belang bij omvormprocessen, zoals
  dieptrekken, extruderen, etc.

s (MPa)
sU
verboden gebied
sY
sY
e
0,05
0,25
0
0,10
0,15
0,20
0,30
0,35
0,40
8
Opzoeken in tabellen staal van Corus
tensile strength ultimate strength treksterkte
0,2 rekgrens is (ongeveer) gelijk aan vloeigrens
9
Opzoeken in tabellen ABSPA6 van BASF
10
Elasticiteitsmodulus E

• Elasticiteitsmodulus E is de helling (de
  tangens) van het lineair-elastische deel van de
  trekkromme
• Hoe hoger E, des te stijver is het materiaal.

s (MPa)
400
300
200
100
e
0,05
0,25
0
0,10
0,15
0,20
0,30
0,35
0,40
0,014
11
Elasticiteitsmodulus E

• Wees precies met taal. De woorden betekenen echt
  verschillende dingen!
• Woorden als flexibel, elastisch en stevig
  betekenen niets. Gebruik ze dus niet!

sterker
s (MPa)
400
stugger
zwakker
300
taaier
brosser
weker
200
stijver
100
slapper
e
0,05
0,25
0
0,10
0,15
0,20
0,30
0,35
0,40
12
Wet van Hooke

• De Wet van Hooke zegt dat in het
  lineair-elastische gebied de verhouding tussen
  spanning en rek constant is. Deze verhouding is
  de elasticiteitsmodulus E. Dus

s (MPa)
400
300
200
100
e
0,05
0,25
0
0,10
0,15
0,20
0,30
0,35
0,40
0,014
13
Samenvatting elasticiteitsmodulus

• De elasticiteitsmodulus E is getal dat aangeeft
  hoeveel spanning er voor nodig is om een
  proefstaaf een bepaalde rek te doen ondergaan.
• E is een materiaaleigenschap en hangt dus niet af
  van de vorm van de proefstaaf.
• E is te vinden in tabellen op Internet.
• De eenheid van E is de MPa.
• Een stijf materiaal (bijv. staal) heeft een hoge
  E.
• Een slap (bijv. PP) materiaal heeft een lage E.

14
Afleiding verlengingsformule
F
definitie spanning
Onthouden!
15
Oefenopgave 1
Gegeven Een liftkooi hangt aan een kabel met een
lengte van 40 m. De kabel is van massief staal
(Estaal2,11011 2,1105 MPa) De diameter van de
kabel is 10 mm. Gevraagd Hoeveel zakt de lift
wanneer acht mensen van 75 kg instappen?
16
Derde wet van Newton
De eerste Wet van Newton Wanneer op een voorwerp
geen kracht wordt uitgeoefend zal het volharden
in zijn bewegingstoestand.
De derde Wet van Newton Wanneer een voorwerp op
een ander voorwerp een kracht uitoefend, zal dat
andere voorwerp op het eerste voorwerp een even
grote maar tegengesteld gerichte kracht
uitoefenen. Korter gezegd Elke kracht roept een
even grote tegengestelde kracht op, die
reactiekracht wordt genoemd. Nog korter actie
reactie
17
Elke kracht roept een tegenkracht op

krachten van man op vloer
krachten van vloer op man
18
Elke kracht roept een tegenkracht op

• Het in één figuur tekenen van
• beide voorwerpen
• de kracht
• en de reactiekracht
• leidt tot grote verwarring!
• NIET DOEN DUS!

19
Afspraken voor CIP1201
Betekenis van krachtpijlen We tekenen nooit
krachten die in of door voorwerpen worden
uitgeoefend, maar alleen krachten die op
voorwerpen worden uitgeoefend.
Vrijlichaamsschema (of vrijlichaamsdiagram) Een
tekening van een voorwerp (of een losgemaakt deel
van een voorwerp) met alle daar op uitgeoefende
krachten
20
Zo zorg je voor verwarring
Vier voorbeelden van hoe het niet moet
21
Toepassing vrijlichaamsschemas (VLS)
VLS kap
G

VLS voet
G
dus splitsen in
Fout! In een samenstelling tekenen we nooit
krachten.

VLS bureaublad
22
Het berekenen van reactiekrachten (en momenten)
krachten
inwendige krachten
uitwendige krachten
lasten
reactiekrachten
nuttige belasting
toevallige belasting
eigen gewicht
23
Het berekenen van reactiekrachten (en momenten)
krachten
uitwendige krachten
inwendige krachten
lasten
reactiekrachten
nuttige belasting
toevallige belasting
eigen gewicht
24
Het berekenen van reactiekrachten (en momenten)
krachten
uitwendige krachten
inwendige krachten
lasten
reactiekrachten
nuttige belasting
toevallige belasting
eigen gewicht
A
B
25
Het berekenen van reactiekrachten (en momenten)
krachten
uitwendige krachten
inwendige krachten
lasten
reactiekrachten
VLS auto
nuttige belasting
toevallige belasting
eigen gewicht
P
P
P
P
A
B
VLS brug
26
Het berekenen van reactiekrachten (en momenten)
krachten
reactiekrachten uitwendige krachten die
opgeroepen worden zodra een voorwerp belast wordt
en die dat voorwerp in evenwicht houden.
uitwendige krachten
inwendige krachten
lasten
reactiekrachten
nuttige belasting
toevallige belasting
eigen gewicht
P
P
A
B
27
Het berekenen van reactiekrachten (en momenten)
krachten
uitwendige krachten
inwendige krachten
lasten
reactiekrachten
nuttige belasting
toevallige belasting
eigen gewicht
A
B
A
B
28
Het berekenen van reactiekrachten (en momenten)
krachten
uitwendige krachten
inwendige krachten
lasten
reactiekrachten
nuttige belasting
toevallige belasting
eigen gewicht
A
B
A
B
29
Het berekenen van reactiekrachten (en momenten)
krachten
uitwendige krachten
inwendige krachten
lasten
reactiekrachten
nuttige belasting
toevallige belasting
eigen gewicht
A
B
30
Inwendige krachten tekenen als uitwendige
krachten in een VLS

• Het tekenen van inwendige krachten
• Het tekenen van inwendige krachten is niet
  toegestaan.
• DUS
• Wanneer we inwendige krachten willen afbeelden,
  dan mag dat alleen door ze te tekenen als
  uitwendige krachten in een vrijlichaamsschema.

31
Soorten steunpunten
F
32
Oefenopgave 2
Hoeveel verplaatst punt B in x- en y-richting?
Houd rekening met verlenging en verkorting.
staalkabel Ø 5 mm
C
25
A
B
200 N
aluminium vierkant kokerprofiel 40 x 40 x 3 mm
33
Uitwerking
Teken VLS AB en stel evenwichtsvergelijkingen op.
C
voldaan, ze gaan allemaal door B
VB
Fk
A
25
HA
B
HB
200 N
34
Uitwerking
Teken kabel en buis beide als VLS, snijd beide
pal links van B door!
Fk473,24 N
voldaan, ze gaan allemaal door B
C
B
Fk473,24 N
B
A
HA
HB
428,90 N
428,90 N
35
Uitwerking
De verkorting van de koker is verwaarloosbaar.
Fk473,24 N
C
B
Fk473,24 N
B
A
HA
HB
428,90 N
428,90 N
36
Uitwerking
De verkorting van de koker is kennelijk
nauwelijks iets. ? verwaarlozen.
C
25
B
A
B
37

Oefenopgave 3

• Gevraagd
• bereken de minimaal vereiste diameter van de
  staalkabels, rond af op hele mm.
• bereken de verlenging van beide kabels, onder
  invloed van het lampgewicht.

A
B
2 m
P

• Gegeven
• de gevraagde veiligheid is 2,5.
• de kabels zijn even dik en van massief
  staaldraad,
• het eigen gewicht van de kabels mag verwaarloosd
  worden,
• Treksterkte staal 360 MPa
• staal heeft een elasticiteitsmodulus E van 2,1
  105 MPa

75 kg
38

Oefenopgave 3
De vraag is om de spanningen in de kabels te
berekenen. Daarvoor moeten we eerst de krachten
in de kabels berekenen. We halen eerst de lamp
weg en vervangen hem door een kracht, zijn
gewicht. Het gewicht van een voorwerp berekenen
we met
A
B
P
736 N
In onze verdere berekeningen rekenen we verder
met alle decimalen. In de tekening ronden we het
gewicht af.
Gewicht kracht (in N) waarmee de aarde aan een
voorwerp trekt.
39

Oefenopgave 3
Punt P is in evenwicht. Dit kan niets anders
betekenen dan dat er een kracht naar boven moet
werken die even groot is.
A
B
736 N
P
736 N
40

Oefenopgave 3
Helaas, de naar boven gerichte kracht bestaat
niet! Wél zijn er twee kabelkrachten FA en FB
werkzaam op punt P. De resultante van deze twee
kabelkrachten moet evenwicht maken met het
gewicht van de lamp.
A
B
736 N
FB
FA
P
736 N

• Resultante van twee krachten
• Kracht die in zijn eentje hetzelfde effect
  heeft als twee gegeven krachten
• De resultante is de diagonaal van een
  parallellogram, waarvan de geven krachten twee
  zijden vormen

41

Oefenopgave 3
Hoe vinden we de grootte van FA en FB? Wat is
bekend?
736 N
FB
FA
P
736 N
42

Oefenopgave 3
Noem de hoeken die de kabels met de horizontale
lijn door P maken en . Bereken zelf deze
hoeken.
A
B
2
2
P
2
6
43

Oefenopgave 3
Noem de hoeken die de kabels met de horizontale
lijn door P maken en . Bereken zelf deze
hoeken.
A
B
2
2
P
45
18,435
2
6
44

Oefenopgave 3
Uit deze hoeken kunnen we de overige afleiden.
Eerst berekenen we de complementaire hoeken.
736 N
FB
Als we de figuur goed bekijken, zien we dat er
zogenaamde Z-hoeken in voorkomen.
FA
18,435
45
P
736 N
45

Oefenopgave 3
Tenslotte berekenen we de nog resterende hoeken.
Bedenk dat de som van de hoeken van een driehoek
altijd 180 moet bedragen.
736 N
FB
FA
18,435
45
P
736 N
46

Oefenopgave 3

• Nu gaat het erom de lengtes van de rode vectoren
  te berekenen.
• Wat weten we?
• - de lengte van de zwarte vector
• alle hoeken
• We willen de onbekende zijden berekenen.

FA
71,565
63,435
736 N
FB
45
c
(dit heet de sinusregel)
a
b
47

Oefenopgave 3
FA
71,565
63,435
736 N
FB
45
48

Oefenopgave 3
736 N
780,65 N
581,85 N
45
18,435
P
736 N
49

Oefenopgave 3
De kabelkrachten zijn nu bekend. We gaan nu de
vereiste kabeldiameters berekenen.
A
B
736 N
780,65 N
581,85 N
P
736 N
50

Oefenopgave 3
Omdat we op hele mm moeten afronden, wordt de
diameter van beide kabels dus 3 mm. Altijd naar
boven afronden, anders voldoen we niet aan de
gevraagde veiligheidsfactor! Nu berekenen van de
verlenging van de kabels.
A
B
736 N
780,65 N
581,85 N
P
736 N
Eerst de oppervlakte van de doorsnede berekenen
51

Oefenopgave 3
Ook moeten we de lengte van de kabels weten.
Pythagoras! Alle gegevens op een rij
A
B
6,32
2,83
2
2
P
2
6
De kabelkrachten zijn ook bekend. De
elasticiteitsmodulus is gegeven Estaal2,1 105
MPa
A
B
736 N
780,65 N
581,85 N
P
736 N
52

Oefenopgave 3
Nu de verlengingen berekenen
A
B
6,32
2,83
2
2
P
2
6
A
B
736 N
780,65 N
581,85 N
P
Dit was gevraagd. Is de totale verplaatsing van
punt P ook te berekenen?
736 N
53
Oefenopgave 3 (toegift)
B
A
P
54
Oefenopgave 3
B
A
P
55
Oefenopgave 3
P
P
56
Oefenopgave 3
P
P
57
Huiswerkopgave
Een houten plankje rust los op een rolletje. Het
rolletje is met vier diagonale staafjes van 3 mm
dik scharnierend verbonden met de muur. Slechts
twee staafjes, vóór het plankje, zijn getoond. De
andere twee, gelegen achter het plankje, zijn
niet zichtbaar. De staafjes zijn van aluminium.
De elasticiteitsmodulus van aluminium bedraagt
6,9104 MPa. Het plankje vervormt niet en het
eigen gewicht van alle materialen mag worden
verwaarloosd.
Maten in mm
600 N
40
40
Gevraagd bereken de zakking van het meest
rechtse punt (het punt waar de kracht van 600 N
op staat) Tip het rolletje kan uitsluitend een
verticale kracht op het plankje uitoefenen. (denk
aan de ladder tegen de muur)
40
120