Tema 14. Estimaci

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Tema 14. Estimación de parámetrosEstimación
puntual y por intervalos. Características
deseables de un estimador. Cálculo de los
intervalos de confianza para los principales
parámetros.
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• Estimación puntual y por intervalos
• Como ya hemos visto, a partir de los estadísticos
  que hemos obtenido en la/s muestra/s queremos
  obtener una idea de los valores de los parámetros
  en la población.
• Se trata de emplear los estadísticos para estimar
  los parámetros.
• Veremos DOS tipos de estimadores
• Estimación puntual. Aquí obtendremos un punto, un
  valor, como estimación del parámetro.
• Estimación por intervalos. Aquí obtendremos un
  intervalo dentro del cual estimamos (bajo cierta
  probabilidad) estará el parámetro.

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Estimación puntual de parámetros
Un estimador puntual es simplemente un
estadístico (media aritmética, varianza, etc.)
que se emplea para estimar parámetros (media
poblacional, varianza poblacional, etc.). Es
decir, cuando obtenemos una media aritmética a
partir de una muestra, tal valor puede ser
empleado como un estimador para el valor de la
media poblacional. (Algunos autores comparan los
estimadores con los lanzamientos en una diana el
círculo central sería el valor real del
parámetro.)
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Propiedades deseables en los estimadores

• Veremos CUATRO propiedades
• Ausencia de sesgo
• Consistencia
• Eficiencia
• Suficiencia

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Propiedades deseables en los estimadores (1)
1. Ser insesgado. Diremos que es un estimador
insesgado de si la esperanza de es .
Es decir,
La media muestral es un estimador insesgado de la
media poblacional. Pero la varianza muestral NO
es un estimador insesgado de la varianza
poblacional, pero sí lo es en cambio la
cuasivarianza.
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Propiedades deseables en los estimadores (2)
2. Consistencia. Se dice que un estimador es
consistente si se cumple que
Esta expresión indica que a medida que se
incrementa el tamaño muestral, la diferencia
entre el estimador y el parámetro será menos que
cualquier número (e). A diferencia de la
ausencia de sesgo que se define para valores
finitos de n, la consistencia es una propiedad
asintótica. Tanto la media muestral como la
cuasivarianza son estimadores consistentes.
Nota la varianza muestral ES un estimador
consistente de la varianza poblacional, dado que
a medida que el tamaño muestral se incrementa, el
sesgo disminuye y disminuye.
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Propiedades deseables en los estimadores (3)
3. Eficiencia. Se emplea para COMPARAR
estimadores. Si tenemos dos estimadores y
de un mismo parámetro q, diremos que es más
eficiente que si tenemos que var( )ltvar(
)
Se puede comprobar que la varianza muestral es
más eficiente que la cuasivarianza muestral a la
hora de estimar la varianza poblacional. (Aún
así, se prefiere la cuasivarianza muestral como
estimador de la varianza poblacional por ser un
estimador insesgado.)
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Propiedades deseables en los estimadores (4)
4. Suficiencia. Diremos que es un estimador
suficiente del parámetro si dicho estimador
basta por sí solo para estimar
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Intervalos de confianza para los principales
parámetros El caso de la media (1)
En este caso, en lugar de indicar simplemente un
único valor como estimación del parámetro, lo que
haremos es ofrecer un intervalo de valores que
sea asumible con cierta probabilidad por el
parámetro que queremos estimar. -Intervalo de
confianza Es el intervalo de las estimaciones
(probables) sobre el parámetro. -Límites de los
intervalos de confianza Son los dos valores
extremos del intervalo de confianza
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Intervalos de confianza para los principales
parámetros El caso de la media (2)
Ahora bien, cuán grande habrá de ser el
intervalo de confianza? Evidentemente, si
decimos que el intervalo de confianza va de menos
infinito a más infinito, seguro que
acertamos...pero eso no es muy útil. Por su
parte, el extremo es la estimación puntual, en la
que lo usual es que no demos con el valor del
parámetro...
La idea es crear unos intervalos de confianza de
manera que sepamos en qué porcentaje de casos el
parámetro estará dentro del intervalo crítico. Y
cómo fijamos tal porcentaje de casos? Usualmente
se asume un porcentaje del 95. Al calcular un
intervalo de confianza sobre la media al 95 ello
quiere decir que el 95 de las veces que
repitamos el proceso de muestreo (y calculemos la
media muestral), la media poblacional estará
dentro de tal intervalo.
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Intervalos de confianza para los principales
parámetros El caso de la media (3)
Pero, cómo calculamos estos dos límites?
Sabemos que la distribución subyacente es normal,
lo cual nos ayuda enormemente. En una
distribución normal tipificada, es muy fácil
saber qué puntuación típica (z) deja a la
izquierda el 2.5 de los datos (yendo a las
tablas es -1.96) y cuál deja a la izquierda el
97.5 de los datos (o a la derecha el 2.5 de los
datos 1.96). Ahora habrá que pasar esos datos a
puntuaciones directas....
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Intervalos de confianza para los principales
parámetros El caso de la media (3)
Pero, cómo calculamos estos dos límites?
Vamos a ver DOS casos. Primero, veremos el caso
de que sepamos la varianza poblacional. Segundo,
veremos el caso de que NO sepamos la varianza
poblacional
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Intervalos de confianza para los principales
parámetros El caso de la media (4)

• Nuestra distribución es normal, pero con cierta
  media y cierta desviación típica, las cuales
  sabemos por el tema anterior
• La media de la distribución muestral de medias es
  la media poblacional m
• La varianza de la distribución muestral de medias
  es s2/n
• O lo que es lo mismo, la desviación típica de la
  dist.muestral de medias es

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Intervalos de confianza para los principales
parámetros El caso de la media (5)
Y para pasar directas-típicas
Estimador de es
Recordad que O lo que es análogo
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Intervalos de confianza para los principales
parámetros El caso de la media (6)
z 0975
z 0025
En Punt.típicas
Aplicando la lógica de pasar de puntuaciones
típicas a directas
En Punt.directas
En definitiva
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Intervalos de confianza para la media CASO DE
DESCONOCER LA VARIANZA POBLACIONAL
Para la media (cuando conocemos la varianza
poblacional), tenemos la expresión
Pero si no conocemos la varianza poblacional, no
podemos emplear En su lugar hemos de
emplear Ahora la distribución ya no
es exactamente una distribución normal... Por el
tema anterior sabemos que la distribución
muestral de
no es una distribución normal, sino una
distribución t de Student con n-1 grados de
libertad.
Recordad, en el caso de varianza conocida
teníamos
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Intervalos de confianza para la media CASO DE
DESCONOCER LA VARIANZA POBLACIONAL
En definitiva, para la media (cuando conocemos la
varianza poblacional), tenemos la expresión
Pero si no conocemos la varianza poblacional (el
caso realista), tenemos la expresión
En todo caso, recordad que si "n" es grande, la
distribución t de Student será virtualmente una
distribución normal N(0,1). En otras palabras, si
"n" es grande, ambas fórmulas dan unos intervalos
virtualmente idéntico, y emplear la distribución
normal es correcto.
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Intervalos de confianza para los principales
parámetros El caso de la media (7)
Qué quiere decir la expresión siguiente?
Quiere decir que cada vez que extraigamos una
muestra y hallemos la media, el parámetro
desconocido m estará entre los límites de dicho
intervalo el 95 de las veces. (O el 99 si
hubiéramos elegido un intervalo al 99, etc.)
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Intervalos de confianza para los principales
parámetros Tamaño muestral y la amplitud del
intervalo de confianza
Para el caso de la media hemos visto que
Es claro que a medida que el tamaño muestral
aumente, la amplitud del intervalo disminuye.
(Evidentemente, esto es general, no sólo para la
media.) Veamos, en todo caso un ejemplo Caso A1.
Media muestral10, varianza pobl4, tamaño
muestral12 Caso A2. Media muestral10,
varianza pobl4, tamaño muestral20
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Intervalos de confianza para los principales
parámetros Amplitud del intervalo de confianza y
el valor del índice de confianza
El caso "usual" (por defecto) es emplear
intervalos al 95.
Pero evidentemente es posible emplear intervalos
a, digamos, el 99. En tal caso, tendremos más
seguridad de que el parámetro de interés se halle
en los límites del intervalo. El problema es que
incrementar tal índice aumenta así mismo la
amplitud del intervalo. Caso A1. Media
muestral10, varianza pobl.4, tamaño
muestral12. Intervalo al 95 Caso A2. Media
muestral10, varianza pobl4, tamaño muestral12.
Intervalo al 99
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Intervalos de confianza para OTROS parámetros
Intervalos de confianza para las proporciones
Caso de muestras grandes
Caso de muestras pequeñas
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Intervalos de confianza para OTROS parámetros
Intervalos de confianza para la varianza