2-1 ???????? ????????: Determinants of second order

1
(No Transcript)
2
2- ?????????????? Determination

• 2-1 ???????? ???????? Determinants of second
  order
• ????? ???? ??????? ?????? a1 , b1 , a2 , b2 ???
  ?????? ???????
• ???? ???? ???? ??????? ?????? a1b2 -a2b1 ?????
  ??? ??????? ??? ?????? ???????

3

• ???? (2-1) ???? ???? ???????
• ?????????????

4

• 2-2 ???????? ???????? (??? ?????? ???????)
  Determinants of third
  order
• ??? ???? ?? ??? ???? ??????? ???????? ????????
  ???? ??? ???? ??????? ????? ??? ??????
• ???? ???? ???? ???????
• ?? ??????? ??????

5

• ?????? ??? ???? ?? ??????? ???????? ????? ??
  ?????? ?? ?? ?? ?? ???? ?? ?????? ??????? ???????
  ????????

6

• ???? (2-3) ???? ????? ??????? ???????? ???????
• ????????????
• ???? ?? ??? ??????? ???????? ?? ?? ?? ?? ????
  ??? ????
• ???????? ???????? ?????

7

• 2-3 ???????? ?????? (????? ??????)
• ??????? ????? ?? ????? ?????? ??? ???? ????? ???
  ?????? ???? ?? ??????? ??????? ????? ??? ???
  ???????? ????????? ?????? ??????? ???????.
• ???? ???? ??????? ??????? ??
• ??? ??????? ?????? ??????? ?? ??? ?????? ?????
  ????? ????? (?? ?????? ????? ?????? ??????? ???
  ?????? a1) ???? ??????? ?????? ???????? ?????? a1
  ????? ??? ?????? A1 ?? ??
• ??????? ???????? ?????? ?????? b2 ????? ???? ???
  ?????? B2 ??

8

• ???????? ?????? ?????? c3 ????? ???? ??? ??????
  C3 ??
• 
  ?????.......
• ????????? ???????? ?????? ???? ????? ?????
  ??????? (D) ????? ????? ??????
• ???????? ????? ?????
• ???????? ???? ??????
• ???????? ???? ??????
• ???????? ??????? ?????
• ???????? ?????? ??????
• ???????? ?????? ??????

9

• 2-4 ?????? ???????? ????????.
• ????? ??? ???? ?????? ???????? ?? ?? ????? ???
  ???? ??????? ?? ?????.
• ?????? ??? ?????? ?? ???? ?? ?? ???? ???? ????
  ??? ????? ??? ??????? ????? ??? ????? ??????.
• ?????? ????? ??????? ??? ?????? ???? ?? ??????
  ????.
• ?????? ??? ???? ????? ?? ?? ?? ???? ?? ?????
  ???? (????? ??) ??? ??? ???? ?? ???? ??????? ??
  ???? ?? ??? ??????? ?? ??? ??????? .
• ?????? ??? ???? ????? ?? ?? ?? ???? ????? ??
  ??????? ?????? ????? ????? n ??? ??????? ?????
  ????? n ?? ???????? ?? ????? ???? ????? ??? ??
  ???? ???.
• ?????? ???? ??????? ?? ????? ??? ????? ??? ?????
  ?? ?? ?? ???? ??????? ??????? ???????? ?????? ??
  ??????? ??????

10

• ????? ??? ???? ?????? ???????? ?? ?? ????? ???
  ???? ??????? ?? ?????.
• ?????? ??? ?????? ?? ???? ?? ?? ???? ???? ????
  ??? ????? ??? ??????? ????? ??? ????? ??????

11

• ?????? ????? ??????? ??? ?????? ???? ?? ??????
  ????
• ??? ????? ?? ???? ??????? ????? (D) ????????
  ??????? ??????? ???????? ?????? ?????????? (??
  ???????? ??????????) ?????? ???? ??? ?????
  ??????? ????? ??? ????? ??????.

12

• ?????? ??? ???? ????? ?? ?? ?? ???? ?? ?????
  ???? (????? ??) ??? ??? ???? ?? ???? ??????? ??
  ???? ?? ??? ??????? ?? ??? ??????? ??? ???
• ?????? ??? ???? ????? ?? ?? ?? ???? ????? ??
  ??????? ?????? ????? ????? n ??? ??????? ?????
  ????? n ?? ???????? ?? ????? ???? ????? ??? ??
  ???? ???. ?????

13

• ?????? ???? ??????? ?? ????? ??? ????? ??? ?????
  ?? ?? ?? ???? ??????? ??????? ???????? ?????? ??
  ??????? ??????? ??????

14

• ???? (2-6) ?? ??????? ?????? ?? ???? ????? ??
  ???? ??????
• ?????????
• ???? ???? ????? ?? 6 ????? ?????? ?? 4 ?? ??? ???
  ?????? ????? ?? 4 ??????? ??? ?????? ??????
  ??????? ??? ?????? ????? ?? ?????? ?????? ???? ??

15

• 2-5 ??????? ???????? ?? ?? ?????????
• ?- ?? ???????? ?????? ?? ???????
• ???? ??? ??? ??????????
• ???? ???? y ?? ?????????? ?????? ??? ???? x ??
  ???? x ?????? ?????? ??? y ? ????? ?? ??????????
  ??
• ??? ???? ?? ???? ?????? ?? ????? ???? ?? ??
  ??????? ?????? ???? ???? ????? ???? ?????? ?????
  ??? ??????

16

• ???? (2-7) ???? ???????? ???????? ?? ??????????
• ?????????
• ??????? ???? ???? ?? ?????????

17

• ?- ?? ???? ??????? ???? ?? ???? ??????
• ???? ?? ????? ????????? ??????
• ???? ????? ?????? ????????? ?????? D ??? ???????
  ?? ????? ??????? x,y,z ?? ????????? ?????? ???
  ???? ????? ????? A1 , A2 , A3 ?? ???????? ??????
  ?????? ?????? ????? ?? ??????? D.
• ????? ???????? ?????? ?? A1 ???????? ?? -A2
  ???????? ?? A3 ?????? ???? ??

18

• ??? ????? ????? ?? ?????? y , z ????? ?? ??????
  ????? ????? ??? ????? x ?? ??????? D.
• ??? ????? ?????? ?? ??????? ??????? ?? ???
  ??????? D ??? ??????? ??????? x ?? ????????
  ??????? ??????? ????? ?????? ??? d1,d2,d3 ?????
  ?? ???? ???? ??????? ?????? Dx ????? ????
• ??????? ???

19

• ???? (2-8) ???? ???? ??????? ????????? ??????
• ?????????
• ???? ????? ????????? D ??????
• ?? ?? ????? ????????? ?? ????? ????? ????? ????
  ????????? ??????? ?? ?????.

20

• -6 ??????? ??? ????????
• ????? ?????? ???????? ???????? ?????
• ???? ?? (x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) ??
  ???????? ???? ?????? ABC ??? ???????? ????????
  ????? ??????. ???? ?? AB ???? ????? ?? ???? x
  ????? ???? AC ???? ????? ?? ?????? x ??? ?? ????
  ??????.

21
(No Transcript)
22

• ????? ???????? ???????? ??? ??? ???????? ????
  ???? ????? ?????? ??? ??????
• ??? ??????? ??? ??? ???? ???? ?????? ?? ?????
  ???? ?????? ???? ?????? ??? ??????? ?????? ????
  ???? ????? ???????. ???? ????? ?? ????? ?? ????
  ?????? ????? ???? ???????? C , B ????? ??? ?????
  ??????? ????? ???? ????? ????? ??????? ???????
  ????? ?????? ?? ??? ?????? ????? ?? ????? ?????
  ????? ?????? ????? ??????? ?????? ???? ?????
  ???????.

23

• ????? (1) ????? ?????? ???? ????? ???? ????? (0
  , 0) ? ???????? (x1 , y1) , ,(x2 , y2) , , ?????
  ?????? ??????? ??????? ½ (x1y2 - x2y1) .
• ????? (2) ??? ???? ????? ?????? ????? ????? ????
  ??? ??? ?? ????? ?????? A, B , C ??? ??? ???????
  ????? ?? ???? ?? ?????? ????? ????? ??????? ???
  ??? ????? ?????? (x1,y1) , ,(x2,y2) , ,(x3,y3)
  ,??? ??????? ????? ??
• ?????? ???? ???? ????? ?????? ???????? ??????

24

• ???? (2-9) ???? ??????? ??????? ????? ??? ???
  ??? ???? ??? ???? ???????? ????? ??? ????? ??????
  ???????? ???????? ????? (40 , 20) , (120 , 30) ,
  (0 , 160).
• ?????????

25
3- ?????????? Matrices

• ????? ????????? ??? ?????? ???? ??????.
  ????????? ???? ????? ???? ??? ??? ???? ?? ??????
  ???????? ???? ??????? ???? ?????? ????? ????????
  ?????????. ????????? ????? ?? ?????? ?? ???????
  ???? ????? m?n ????? ?? ????? ????? ??? m ??
  ?????? ?n ?? ???????. ?????? ???????? ?? ???????
  ?? ????? ??? ???? ????? ???????? ???? ??? ?????
  ?????? (?? ????????) ????? ?? ???????? ???? ????
  ???? A , B , C ???????? ?????? ? ??????

26
3-1 ???????? ??????? ????????? Matrices Algebra

• 3-1-1 ??? ? ??? ????????? Matrices addition and
  subtraction
• ???? ????? ?????? ????? ?????? ????????? ????
  ??? ??? ?????? ?? ??? ??? ????? ?? ?????? ????
  ????? ?? ???????. ???? ???? A , B ???????? ?? ???
  ?????? ??? ????? ????? ?????????? ???? ???? ?????
  ???????? C ???? ??? ??? ?????? ??? ???? ??
  ??????? ????? ????? ???????? ?????????? ?? A , B.
• ???? (3-1) ??? ????

27
??? ???????? ???? ??? ?????? ??????? ????? ??????
????? ??? ?????????? ???? ???????? ?????? ??
?????? ??????
??? ??????? ???? ????? ?? ????? ????????? ??
??????? ???????
28
???? ???? ???????? B ?? ???? ??? ??? m ??
????????? A ??? B mA ??? ???? ?? ????? ????????
B ????? m ?????? ?? ?????? ??????? ?? ????????
A.??? ?? ?????? ??????
??? ??? ?????? ???? ????? 1- ?????? ?????????? A
, B ??? ????? ???????? ????? ???? ????? ?? ?????
????????? ???????. 2- ???? ??? ?????? A ?? ??? m
????? ?? ????? (????? ????? ?? ????? ????) ??
?????? B ??????? ????? ?? ???? ??? ?? ???? ??
????? A ?? m.
29
????? ??? ???-
????? ????????? ?? ??? ???????? ?? ??? ????
?????? ??????? ?????? ??????? ?? ??? ?????
????? m (A B) mA mB ????? mA
Am ???? ?? ???? m ??? ????? ?????? ????
?????. ???? ?? ???? ?????? ?? ????? Scalar
Multiplication
30

• 3-1-2 ??? ?????????
• ??? ???? ???? ???????? A, B ?????? ??????
  ??????? ????? ??? ??? ??? ??????? ?? ????????
  ?????? A ??????? ???? ?????? ?? ???????? ?????? B
  . ???? ???? ??????? ?????????? A , B ???????? (3
  x 2) , (2 x2) ??? ??????? ?????? ??
• ???? ????? C AB ?? ?????? ?????? (3 x 2) ????
  ??????

31

• ???? (3-3) ???? ???? ??? ??????????
• ?????????

32
???? (3-4) ??? ?????
??? ???????? A ????? ????? ?? ???????? B ?????
???? ????? C AB ??
??? ??? ???? ??? ???????? B ????? ????? ??
???????? A ????? ???? ????? D BA ??
33
??? ??? ???? ?? AB ?BA ?? ?? ????? ??????? ??
???? ????????? ??? ?? ???? ???? ?????? ???? ???
A?B ????? ???? ?????? ???? ??? B?A.
34

• 3-2 ??? ???????? Trace of a Matrix
• ??? ???? ?????? ????? A(nxn) ??? ??? ???
  ???????? ???? ???? ????? ??????? ??????? ??
  ???????? ???????? ??????
• ????? ????? ?????? ??????

35
3-3 ??? ????????? ??????

• 3-3-1 ?????? ???? Row Matrix
• ???????? ???? ??? ?? ???? ???? ????? ?????? ???
  ???? ?????? ????? ?? ??? ??????? ??????? ?????
  Row Vector ????? ???? ???????? ?????? (A) ???????
  (1 x n) ????? ???
• 3-3-2 ?????? ?????? Column Matrix
• ???????? ???? ??? ?????? ?????? ???? ?????
  ?????? ??? ?????? ?????? ????? ?? ??? ???????
  ??????? ??????? Column Vector ????? ???? ????????
  ?????? A ??????? (m x 1) ????? ???

36

• 3-3-3 ???????? ??????? Squared Matrix
• ??? ?????? ???? ??? ?????? ????? ??? ??????? ???
  ???????? ???????
• 3-3-4 ???????? ??????? Diagonal Matrix
• ?? ???????? ??????? ???? ???? ?? ??????? ?????
  ??? ?? ??? ????? ????? ??????? ??? (????? ?????
  ???? ?? ?????? ??? ???? ???? ?? ?????? (a11 , a22
  , a33 , .......amn) ??? ???????? ???????

37

• 3-3-5 ???????? ???????? ??????? ?????? Scalar
  and Unit Matrix
• ???????? ??????? ???? ???? ????? ????? ?????
  ??????? ??????? ???? ???????? ???????? Scalar
  matrix ???? ???? ????? ????? ??????? ?? ????????
  ???????? ????? ?????? ?????? ???? ??? ????????
  ??????? ?????? Unit matrix ????? ??? ?????? In
  ??? (n x n) ?? ???? ????????? ??????
• ????? ??? ??? ???? A ?????? ????? ?????? I (m x
  m) ?? ?????? ?????? ???? ?????? ???
• ??? k ??? ???? ???? ????? ????? ??? ??????.

38

• ????? ?? ?????? A ?? ?????? ?????? ???? ????????
  A ??? ?? ???? ????? ???? ?????? ??? ??????????
  ??? ????? ??? ????????? ??????? ??????
• ???? ??? ????

39

• 3-3-6 ???? ???????? Determinant of the Matrix
• ??? ?????? ????? ????? ???? ??? ????? ??? ??????
  ?????? ??? ????
• ????? ???????? ??????? ???? ??????? ????? ?????
  ????????? ??????.
• ????? ???? ???????? ?????? ???????
• ??? ??? A , B ???????? ??????? ????????
  ????? ???
• 1)
• 2)
• 3)
• ??? A-1 ?? ????? ?? ????? ???????? ??? ?????
  ???? ???.

40

• 4)
• ??? c ????? ????? cA ?? ???????? ??????? ?? ???
  ?? ???? ?? ????? ???????? A ?? ???????
  ?????? c ??? ???

41

• 3-3-7 ???? ???????? ?? ???????? ??????? The
  transposed matrix
• ??? ??????? ?????? ???????? ?? ?????? A (m x n)
  ??? ???????? ??????? ???? ???? ???????? ??
  ???????? ??????? ????? ??? ?????? A (n x m) ?? AT
  ?? /A ? ???? ???? ?????? ?????? (3 x 2) ????
  ??????
• ????? ???????? ??????? ???? ???????? ????? ???
  ?????? AT ???????

42
??? ?????? ?? ???????? ??????? ??????? ?????? A
?? ?????? ???? (A) .?????? ??? ????
????? ??? ???????? ??????? ??????? ???? (A) ??
?????? ?????? A ?? ??
43
????? ???? ??? ??? ??? ???? A ?????? ?????? (m x
n) ??? ???? ???????? AT ?? (n x m) ???? ???? ??
????? ????? ?? ?????? .?????? ???? ???? ????? A
AT ?? ???? ???? ????? AT A ??? ??? ???? A ??????
?????.
????? ????? ?? ???????? ??????? ??? ???????
??????
???? ??? ??? ???? ?? ?????????. ???? ???? ??????
??? ????
44

• 3-3-8 ???????? ????????? ???? ?????????
• Symmetric and Skew Symmetric Matrix
• ??? ???? A ?????? ????? ????? ????? A AT
  ????? ???? ??????? Symmetric ?? ?? ????????
  ??????? ????? ???? ????????? ??????
• ?????? ??????? ?????? ?? ??????? ???? ???
  ???? ????? ?????? ????? ??????? ???? ??? ????
  ????? ?? ???????? ?????????.

45
????? ???????? A ??? ??????? ??? ???? A -AT ??
?? ???????? ????? ???????? ??????? ??? ????? ??
(-1)? ??? ??? ?????? ???? ?????? ????? ?? ???????
??????? ?? ???????? ??? ????????? ????? ???.
???????? ??????? aii ??? ???? ??? ???? ???
??????? ??? aii -aii ???? ?? ????? ??? ??? ????
aii 0 ????? ??? ???? ??????? ??? ???????
46

• 3-3-9 ???????? ???????? The Adjoint Matrix
• ??? ???? A ?????? ?????
• ??? ???????? ???????? ???????? A ?? ????????
  ??????? ??????? ??????? ???????? ???????? A ?????
  ??? ?????? adj. A ???? ??? Arc ?? ?????? ???????
  ?????? arc (?? ???? ??????? ??????? ???? ?? ??
  ???? ??????? ???? ????? ??? ?????? arc ?? ???
  ??????? ???????? ??? ????? ???????? ?????? ?????
  ?? ??? ????????? ?? ?????? ???? ??????? ??????
  ?????? arc ?? ??? ??????? ????????) ??? ??????
  ??????? ???????? B ???? ???? A ? ?????

47
(No Transcript)
48

• ???? (3-5) ??? ????
• ???? ???????? ????????.
• ?????????
• ?????? ??????? ?????? a11 ?? ???????
• ??????? ??????? ?????? a12 ?? ???????
• ? ????....

49

• ????? ???? ??? ?????? ??????? ???????? B ???? ??

50

• 3-3-10 ????? ???????? The inverse matrix
• ??? ???????? ????? ????? ??? ??? ?????? ?? ?????
  ?????? ????? ??????? ????? A ???? ????? ????? ???
  ???? ?????? C ???? ??????? ACCAI ??? I ??
  ?????? ?????? ???? ??? ??? ???? ?? ?? A,C ?????
  ???????? C ????? A ????? ??? ?????? A-1 ????
  ??????? ???????. ?? ??? ??? ???? C ????? A ??? A
  ????? C ?? ?? A. A-1 A-1.AI.
• ????? ????? ???????? ?? ??????? ???????? ??? ??
  ???????
• ????? ????? ??? ??????? ??? ????? ???? ??? A.
  (Adj. A) ??? ???? ??

51
(No Transcript)
52
(No Transcript)
53

• ???? (3-6) ???? ???? A-1 ??? ????
• ?????????
• ??? ?????? ?????? ???

54
3-4 ????? ????????? Partitioning of Matrices

• ?????? ???????? ???????
• ???? ??????? ??? ????? ??????
• ????? ???? ??????? ?? ??????

55
???????? ?????? ????? ??? ??? A , B ????????
???? ??? ??? ??????? ???? ?????? ???? ?????????
???????? ??? ??? ??? ?????? ???? ??????? ?? ??
A,B ??????? ???? ??????? ???? ???? ????? ?????
????? ???????? ???? ???? ??????? ????????? ?? ??
?? ????????? ??????? ?????????? ?? ??
56
??? ????? ??????? (transpose) ????? ??? ?? ????
?? ???????? ????? ?????? ???????? ?? ???????? A
?????? ?????? ???????? ?? ????????? ???????
?????? ?????? ?? ???????? (1)
????? ????? ???????? ???????
57
??? ??????? ?????? ????? Multiplication ???????
????????? ????? ??? ?? ???? ?? ???????? ??????
????? ???????? A ?? ???????? B (?? ?? ????? A
????? ??? ???? B) ????? ?????? ?? ?????? ??????
????? ????????? ??????? ?????? ?? ??? ??? ???
????? ????????? ??????? ?? A ?? ??? ??????? c1 ,
c2 ,......, cn ???? ?? ???? ??? ???? ?????????
??????? ???????? ?? B ?? c1 , c2 ,......, cn
?????? ??????
??? ??? ????? A11 ????? ??? ???? B11? ??? ?????
A12 ????? ??? ???? B21 ?? ??? ?????? ???? ?????
????? ????? ? ???? ?????? ?? ??????
58
???? (3-7) ??? ???
????? ???? ????? ??
59
?????? ?? ?? C11 , C12 , C21 , C22 ???? ????
????? ??? ???????? C. ???? ???? C11
????? ??????? ???? ???? ???? ????????? ????????
????? ?????? ?? ??????
60
???? (3-8) ???? ???? ????? ??????

61

• 3-5 ?? ????????? ???????? ?????????
• ??? ??? ????? ?????? ????? (n) ?? ?????????
  ?????? ?? ??? ?? ???????? ????? (n) ??? ??? ???
  ????????? ?????. ?? ??
• ??? ????????? ain ,bi ????? ?????
• ???? ???? ????? ????????? ??????? ??? ????
  ??????? ??????

62

• ?? A . x b
• ??? A ?? ????? ?? ?????? ?????????
• x ?? ???? ???? ?? ???? ???? ??? ?????????
• b ?? ???? ?? ???? ???? ??? ????????.
• ???? ???? A?0 ?? ?? ?????? ????????? A ???
  ???? ???? ???? ??????? ?? A-1 ????
• ?????? ??? A-1 . A I ???
• ??? ?? ???????? ????????? A . x b

63

• ???? (3-10) ?? ????????? ??????
• ?????????
• ???? ????????? ??? ?????? A . x b
• ?????? ???? ???????? ??? ??

64

• ?? ?? ?????? ????????? ?? ????? ????? ?? ????
  ??? ????.
• ???????? ????

65
(No Transcript)
66
4- ?????? ????????? Functions Limits
4-1 ?????????? ( ???????????? ) Inequalities
???? a , b ????? ??????? ?????? a lt b ??????
????? ?? b gt a ???? ?? a ??? ?? b ???????? ??
???????????? ???? ????? ???? ????? ???? 1) if a
lt b and b lt c , then a lt c 2) if a lt b ,
then a c lt b c and a - c lt b - c 3) ????
??? ?????????? ??? ??????? ?????? ?? ?? if a lt
B and c lt d , then a c lt b d ?????? ??
?????????? ?? ?? ???? ????? ?? ???? ??????? ?????
2 lt 5 , 1 lt 7 ??????? ???? ?? 3 lt 12 ????
??????? ????? .. ??? ?????? ???? ??? 1 lt -2 ????
????? ???? ????. 4) if a lt b , then ac lt bc
, if c positive number if a lt b , then ac gt
bc , if c negative number ?????? ??? ?????? ??
???? ?????? ??? ????? d ??? ??? ???? ????? ??
( 1/d )
67
-1-1 ??????? ??????? ????????? Geometric
Representation
2 1 0 -1 -2 ??? (4-1) ???? ??? ?????????? a lt b
???? ?? a ??? ??? ???? b 4-1-2 ?????????
Interval
b( )a ??? (4-2) ???? ??? (4-2) ??? ?? ????
??????? ???????? Open Interval? ?? ?? ??????
???????? ????? ?? ???? ???????? ???? ??? a , b
????? ??? ??? ????? x ??? a , b ??? ??? ???? ??
a lt x ????? x lt b ??????? ???????? ??????? ?? ???
?? a lt x lt b.
68
b a ??? (4-3)
?????? ?????? ??????? Closed Interval ??? ??
????? (4-3) ???? ?????? x ???? ??? ?? ??? ??????
??? ?? ???? ???? ?? ?? ????? a ????? x ? a ??
??? ??? ?? ?? ????? b ????? x ? b ??? ??? ????
??????? ?? ?????? ??????? ?? a ??? b ????? ?????
?? ???? ????? x ???? ???? a ? x ? b
69
????? ?????? ???? ???? ????? b ??? ???? ????? a
???? ??? ?????? ?? ?????? half-open on the left
?? ?? a lt x ? b ??????? ???? ?????? ???? ???? a
??? ???? b ???? ??? ?????? ?? ?????? half-open
on the right ????? a ? x lt b ????? ???????
??????? ??????? ?? ??? ??????? ??? ??? (a , b)
open interval a lt x lt b a , b closed
interval a ? x ? b (a , b interval half-open
on the left a lt x ? b a , b) interval
half-open on the right a ? x lt b
70
????? ??????? ??????? ?????? ??? ??????? ?????
????? ????? ?? ???? ???? ?? ??????? ?? ????
??????? ???? ???? ?? 7 ???? ??????? ???? ?????
??? ???? ????? ??????? ??? ???? ????? ???? ????
?????? ?????? ????? ( 7 , ? ) ??????? ??? ????
????? ?? ??????? ???? ???? ?? 7 ????? ????? ???
??????? ???????? ????? ?? x ???? 7 lt x lt ?
??????? ??? ????? ( - ? , 12 ) ???? ????
??????? ???? ??? ?? 12 ??? ?? ????????? ????????
- ? lt x lt 12 ?? ????? ???? ?????? ???? ???????
x ????? ?? 12
71
-1-3 ??? ????????? ?? ??????? ?? ????????
?????? ?????? ?? ???? ??? ????? ???? ????
???????? ?????? ??????? ????? ?????? ??????
?????? 2x 7 15 ??? ?? ???? ?? x 4
??????? ?????? ??????? x2 - x -2 0 ??? ????
??? x 2 , x -1 ?? ??? ?? ????????
???????? sin x ½ ??? ??? ??????? ?? ?????? ??
x 30o , 150o , 390o , 510o , ......
72
???? (4-1) ?? ????????? 3x -7 lt 8
??????? ??? 7 ??? ??? ?? ???? ????????? ?????
3x - 7 7 lt 8 7 or 3x lt 15 ?????? ???????
??? 3 ???? ?? x lt 5 ???? ???? ?? ??? ????
????? ?? ???? ??????? ?? ?????? (-? , 5) ????
(4-2) ?? ????????? -7 - 3x lt 5x 29
??????? ???? 5x ?? ??????? ??? ?? -7 - 8x lt
29 ???? ??????? ?? (-1) ???? ????? ?????????
???? ??7 8x gt -29 ???? 7 ?? ??????? ????
????????? ??? 8x gt -36 ????? ??????? ??? 8
???? ??? ???? x gt -9/2 ????? ??????? ?? ????
??? ???? ???? ???? ??? x ?? ?????? ( -9/2 , ?)

73
???? (4-3) ???? ??? x ?? ????????? 3/x lt 5
??? ??? ( x ? 0 ) ??????? ?????? ?????????
???? ?? ???? ????? ??? ????? ?? x ??????? ????
???? ????? ?? ???? ?? ??? ???? x ????? ?? ?????
??? ??? ?? ????? ?? ???? ??? ??? ???? ????
?? x gt 0 ?? ?? x ????? ???????? ??? ????? ?? x
???? ????? ????????? ???? ?? 3 lt 5x ????????
??? 5 ???? ?? x gt 3/5 ???? ???? ???? ??? ??
???? ?? ???? ??????? ???? ???? ????
??????????? x gt 0 , x gt 3/5. ??? ?????? ??
?? ??? ???? ?? 3/5 ???? ????? ???? ??? ????? ????
?? ??? ?????? ?? ???? ??? x ?? ?????? ( 3/5 , ?
)
74
????? ???? ?? x lt 0 ?? ???? ????? ??????? ?? x
???? ????? ????????? ???? ?? 3 gt 5x or 3/5 gt
x ???? ???? ?? ??? x ???? ???? ???? ???????????
x lt 0 , x lt 3/5 ????? ???? ?? ??? ?????? ??
???? ??? x ?? ?????? (- ? , 0) ???????
??????? ?? ???????? ???? ??? ??? ???? ????? ??
???? ??????? x ???? ?? ??? ?? ?????? ???????
0 , 3/5 ??? (4-4)
3/5 ?) (-? 0 ??? (4-4)
75
???? (4-4) ???? ??? x ?? ?????????
??? ??? x ?-2 ????????? ??? ??? ?? ??????
?????? ??? ?? ???? ??? ??? ???????? ??? ?? ???
??? (x 2) ???? ?? ????. ?????? ?????? x
2 gt 0 ?????? ?? 3( x 2 ) ???? ?? 6x -
9 lt x 2 ?????? ( 9 - x ) ??? ??? ?? ???????
??? ?? 5x lt 11 or x lt 11/5 ???? ????
????? ?? x 2 gt 0 ??? x ??? ?? ???? ???? ??
(-2) ???? ?? 11/5 ?? ?? -2 lt x lt 11/5 ?? ??
??? ???? ????? ?? ???? ??? x ?? ?????? ( -2 ,
11/5 )
76
?????? ??????? x 2 lt 0 ?????? ?? 3( x 2
) ????? ????? ????????? ??? ??? 6x - 9 gt x
2 ????? ???? ??? 5x gt 11 or x gt 11/5
??? ??? ?????? ???? x ??? ?? -2 ????? ?? 11/5
???? ???? ??????? ??? ???????? ???? ??? ??? ????
???? ????? ?? ???? ??????????? ?? ?????? ( -2 ,
11/5 ) ??? ?? ??? (4-5)
11/5( 0 )-2 ??? (4-5)
77
-2 ?????? ??????? Absolute Value ???? ??????
??????? ???? ???? a ????? ????? ?????? ???? ???
??? ??? ????? a ???? ??? ????? ??????? ???? ?????
????? ?????? ?? -a ??????? ??????? ????? ?????
???? ??????? ????? ?a? ??????? ??? ??????
??????? ????? a ? ????? ?7? 7 , ?-13? 13 ,
?2-5? ?-3? 3
????? ?????? ??????? ?????? ??????? ?????
?????? ??????? ?????? ???? ?? ??????? ?? ???? ??
????? ????? ??????? ???? ??????? ?? ?? ?a
b? ? ?a? ?b?
78
????? ??? ??? a -3 , b -7 ? ??? ?(-3)
(-7)? ?-10? 10 ????? ???? ?-7? 3 7
10 ?-3? ?? ?? ?(-3) (-7)? ?-3? ?
-7? ??? ??? ??? ??????? ?????? ??????? ????
?????? ??????? ?????? ??????? ??????? ?(3)
(-7)? ?-4? 4 ?? ??? ?? ????? ???????? ?????
??????? ?? ?-7? 3 7 10 ?3? ?? ??
?(3) (-7)? lt ?3? ?-7?
79
????? ?????? ??????? ????? ??? ????? ???? ????
?? ?? ????? ????? ??? ???????? ????????? ?????
??????? ? ?? ??
????? ?????? ??????? ????? ????? ????? ???? ???
?????? ??????? ? ?? ?? ?a . b ? ?a ?. ? b
? ????? ?????? ??????? ????? ???? ????? ????
???? ?????? ??????? ??????? ??? ?????? ???????
??????? ????? ?? ??
????? ?????? ??????? ???? ??? ?? ???? ???? ?????
??? ?????? ??????? ??????? ?? ??
???????? ??????? ???????? ???????? ???? ?????? ??
????? ?????? ???????
80
???? (4-5) ???? ???? x ?? ?x-7? 3
????????? ???? ?????? ?????? ??????? ???
???????? ???? ?? x - 7 3 or -3 ???? ?? ????
???????? ???? ?????? ??????? ????? 3 ???? ??? x
-7 3 ??? x 10 ??? ??? ??? x - 7 -3 ???
x 4 ???? ???? ?????? ??????? x ??????
???????? ???????? ?? ?? x 4 , x 10
81
???? (4-6) ?? ???????? ?2x-6? ?4 -
5x? ??????? ???? ???????? ???? 2x - 6 4 - 5x
and 2x - 6 - (4 - 5x) ??? ??? ?? ?????
?????????? ???? ??? ?????? x 10/7 , x
-2/3
82
?????? ??? ???? x ?? ??? ?? ???? ????????? ?x?lt
4 ??? ??? ???? ?? ???? x ?? ??? ?? ??????
??????? ?? -4 ??? 4 ???? ???????? ??? ??????
??? ??? ????? ???? ?? x ??? ?? ??? ?? ?????? (-4
, 4) ???? ???????? ?????????? ??? ??????? -4 lt
x lt 4 ????? ??????? ?????? ??????? ???? ??????
????????? ?x?lt 4 ??????? ??? ?x - 3?lt 5 ???? ??
x - 3 ???? ?? ??? ?? ?????? ( -5 , 5 ) ?????
???? ??????? ??? ????????? -5 lt x - 3 lt 5
?? ?? ???? x ??? ?? ???? ???? ??????????? ??
??????? ??????? . ??????? 3 ??? ??? ?? ?????
????????? ???????? ??????? ?????? ??? -2 lt x lt 8
???? ???? ?? x ??? ?? ??? ?? ?????? (-2 , 8 )
??? ?? ??? (4-6 )
)8 0 -2( ??? (4-6 )
83
???? (4-7) ???? ??? x ??? ??? ?2 - 5x? lt 3
??????? ?????? ???????? ???? ????????? ?? -3
lt 2 - 5x lt 3 ???? 2 ?? ?? ??? ???? ?? -5
lt -5x lt 1 ??????? ??? -5 ???? ????? ?? ??
?????????? ??????? ?? 1 gt x gt -1/5 ?????? ???
???????? ?? ??? x ?? ?????? ???????? (-1/5 , 1)
??? ?? ??? (4-7 ).
)1 0 -1/5( ??? (4-7)
84
4-3 ??????? ??????? ???????? ???????? Constant
and Variables
-3-1 ????? ????? ??? ?????? ???? ?? ?????
?????? ????? ?? ????? ?????? ???? ???? ??? ??????
..... ????? ????? ?? ??????? ??????? 1- ????
????? ????? ??? 1 , 2 , 3 , 1/2 , 3/4 , 12
...... 2- ???? ????? ????? ????? ??? ????
??????? ?????? ?????????? ??? a , b , c , d ,
.... ????? ??????? ???? ????? ??????? ?? ????
??????? ???????? ??????? Absolute Constants
????? ???? ???????? ???? ???? ??????? ??? ????
????? ?????? ???? ???? ???? ????? ?? ?????? ?
?????? 22/7 ?? 3.14159 ??????. 4-3-2 ???????
???????? ??? ??????? ???? ???? ?? ???? ???? ??
???? ?? ???? ????? ????? ????? ????? ???????
????? ??? ????? ?????? ??????? ???? ?????? ???
????? ????? ?????. ????? ??? ??? ??????? ????????
??? ??????? ? ??? ????? ? ??????? ? ????? ?????
?????? ????? ??? ???? ????? ??????.
85
4-4 ?????? Function
????? ??? ???? ?? ???? ?????? ?? x ??????? ????
????? ?????? ??? y ????? ???? ?? y ???? ?? x
????? ???? y f (x) , y ? (x) ????? x
????? ????? Independent Variable ????? ???? y
???????? ?????? Dependent Variable ??? ?? ???? ??
???? x ???? ??? ???? ?? ???? y ?????? ??? ???????
??? ??? ?????? ? ???? ??? ??? ??????? y ???? ??
??????? x ??? ??????? x ???? ?? ???? ???? ????
??????? y ?? ??? ??? ????????? y f ( (x )
???? ???? ?? ??? ???? ?? x f (y) ??? ??????
?????? ???? x ??????? ??????? ? y ??????? ??????
. ????? ?? ?????? ??????? ???? y ??????? ???????
? x ??????? ??????. ??? ????? ???????? ???
??????? ?? ?????? ?????? ???? ????? ??? ??????
??????? ???? ?????.
86
?????? ??????? ??????? ???
?????? y x2 y sin x y log x ?????? ??????? x ? x sin 1y x ey
87
4-4-1 ????? ?????? Types of Functions

• (1) ?????? ??????? ??????? ????? ?????
• ?????? ???????
• ?????? ????? ????? (?????????)
• y sin x , y log10 x

88
(2) ?????? ??????? ??????? ??????? ???????
??????? ?? ???? ?? ????? ?????? ?? ??????? ?? ??
??????? ??? ????? (-x) ???? ?? x ?? ??? ???? f
(-x) f (x) ??? ?????? ??????? ??? ???? ?????
?????? ?? ??????? ??? ??? ????? (-x) ???? ?? x ??
?? f (-x) f (x) ????? y x2 5 ????
(-x) ???? ?? x ???? ?? y ( -x)2 5 x2 5
?? ?? y f (-x) f (x) ? ??? ???? ?????
Even function
??? ??? ???? ?????? ???? y 2x3 - 4x
???? (-x) ???? ?? x ???? ?? y 2 (-x)3 - 4
(-x) 2x3 4x - (2x3 - 4x) -y ?? ?? (f
(-x) - f (x ????? ???? ?????? ????? add
function ????? ????? ????? ??????? ??? ????
?????
89
???? ??? ?????? ???? ???? ????? cos -x
cos x ???? ????? sin -x - sin x ???? ?????
tan -x - tan x ????? ?????? ??? ??? ??????
?? ?????? ??? ??? ??????? ?????? ?????? ?? ???
??????? ??? ??????? ???????? ????? ?????. ???
????? ?????? ??????? ?????? ?? ??????? ????
?????? ??????? ??????? ????? ??????? (y) ??????
?????? ??????? ???? ??????? ??????? ????? ?????.
90
(3) ?????? ????? ?????? ??????? ?????? ??????
?- ?????? ????? ?????? ?? ???? ???? ???? y
???? ????? ??? ?????? ??????? x ???? ?????.
??????? y x2 - 3 ???? ????? ?????? ???? ???
???? x ?????? (1) ??? y ???? ?????? (-2) ????
???? x ?????? (3) ??? y ???? ???? ????? ?? (6)
?- ?????? ?????? ?????? ?? ?????? ???? ????
???? y ???? ?? ???? ??? ????? x ???? ????? ???.
??????? y ?x ???? ??? ???? x ?????? (4)
???? ??? y ???? ?????? ?2 ?? ?????? ????????? ??
??????? ????????? ?? ??????? ???? ?????? ?????
?????? ????? ?????? ???? ???? ?? ???? ??? ???? ??
??? ??????? ???????. ??? ?????? ???????? ?????
???? ?????? y sin-1 x ???? ???? (x) ??????
1/2 ??? y ????? 30o ?? 30o 360o ? 30o
720o ? 30o 1080o ????? ??? y ???? ?? ???? ???
??????? ?? ????? ... ??????? ??? ?? ???? ??????
?????.
91
(4) ?????? ??????? ??????? ??????? ?- ??????
??????? ?? ?????? ???? ???? ???? ??????? ???
??????? ??????? ???????? ?????? ??? ??????
??????? y f (x) ?? ???? ????? ?? y ?????
?????? x ????? ?????? y ?? ??? ?????? ???? ?????
Explicit Function ???????? ??????? x. ? ? ??????
??????? ?? ?????? ???? ???? ???? ??????? ????
???? x , y ??? ?????????? f (x , y) 0 ??? ??
y ???? ????? Implicit Function ??????????? xy2
- sin y 3 ???? ?????. ????? ?? ??? ???????
????? ?????? ??????? ??? ?????? ??????? ???? ???
x2 - 3xy 4x - 2y 1 ???
??? ???? ????? ????? ?????? ??????? ??? ??????
??????? ?????? ?? ??? ??? ???? ????? ??????
??????? ??? ?????? ??????? ?????
y 3x2 -5 ???? ?? ???? ??? ?????? ???????
???? y - 3x2 5 0 ?? y -
3x2 -5
92
(5) ?????? ??????? ??????? ???????? ??? ???? y
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??????? x ??????? ??? ???? y ???? ?? ????? ???? x
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??? ???? y ???? ???? ???? ?????? x ???? ?? y
????? ?????? ?????? ??????? ???????? ???????
??????? ??????? ??????? .....????? ??????
??????? y 3 1/x ???? ??????? ????? x
1/y - 3 ???? ?????.
(6) ?????? ??????? ??????? ????? ????? ????? ???
x ?- ?????? ??????? ????? ??? x ?? ??????
???? ???? ????? ?????? ??? ??? ??????? x ?? ????
???? ??? ?????? ???????
????? ???? x ???? ????? ??? ???? ?? y ??? ????
?????? ?? ?? ????? ???? ?????.
93
? ? ?????? ????? ????? ?????? ??? x ??????
???????
???? ??? ????? ????? ??? x ??????? ?????? ????
????? ????? x 0 ?? x ????? ?? ???? ????? ???.
??? ??? ???? x ?? ???? ????? ???? ?????? ???
?????. ??? ?????? ??????? ????? ??? ??? ???? x
???? ????? ???? ???? ?? ???? ????? ?? ??? ?????
???? ??? ????? ...... ????? ?? ???? ???????? -1/2
??-3/4 ??? ??????? ??????? ????? ????? ??????
????????? ??? -?. ??? ?????? ??????? ???? ?????
????? ??? x ????? x3 , x1 ???? ????? ????????
???? ?????? ??? ?????.
94
(7) ??????? ????? ????? ??????? ??????? ?????
??? ?????
???? ??? ???? ???? ?????? ??? ???? ?? ????? x 1
?? ???????? ???????
? ??????
?? ???? ??? ????? ????? x 1
95
???? ??? ?????? ??? ????? ??????? ??? ???? ????
????? ??? ????? ???????
??? ?????? ?? ???? ?? f(x) 2 ????? x 1 ???
????? ?? ????? ???? ?????? ??? ??? x ???? ?????
?? ??????? ?? ??????? ????? ???? ??? ???? ???
????? ?????? ??????? ????? ????? ?????? ???? ????
?????? ????? ??? ??????
96
???? ????? ??? ????????
??? ??? ?????? ?????? ??????? limit ???? ?? ?????
??? ???? ?????? ??? ??? ????? ???? ?? ???? ????
????? ??? ????? ??????? ???? ????? ????? ?????
???? ????????.
97
-5 ????? ?????? The limit of function ???? ??
y f (x) ?? ???? ????? ?? ???? ?? ??? ??????
xa ???? ?????? f (x ) ???? ????? ?? ??????? A
????? ????? x ?? a ??? ???? ????? ??? ??? ????
???? ??? ? ???? ????? ??? ???? ????? ? ?????
??? ? ???? ??? ????? ??? x ???? ???? ?????????
????
????? ??? ??????? ??? ?????? ???????
?????? (4-8) ???? ??? ??????? ??? ????? ?????? y
f (x) ??? ???
98
(No Transcript)
99
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????? ????? ?????????
????? ??? ?? ?? ????? x ???? ?? ???? ?? ????? a
????? ?? ? ??????? ??? M ??? ????? ?????? ???
?????? ?? ?????? ?????? ???? ???? 2???????
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??????? ?? ???? ?????? ????? ??? ????? a ???
?????? ??????? ????? x?a ??? ????? ????? ???? ??
??????? ????? ??? ?????? ??? ????? ???? ??? ??
???? a ????? ????? ???? ??????? ?????? ???? ???
100
???? (4-9) ???? ??
????????? ?? ??? ?????? ??? ?? ??????
??? ????? ??? x 2 ????? ?? ????? (0/0)
???????? ?????? ???? ??? ??? ???? ???????? ?????
? ???? ? ????? ???? ???? ?????????
??? ????
????? ????? x ?2 ??? ????????? ?????? ?????
????????? .
????? ??? ??? ? ??????? ????? ????????? ??????
??? ???? ????????? ??????? ?? ????? ??? ? ?
???? ??????? ?? ????? ???? ???? ?? ?????? ???????
???? ??? ??????? 4 ????? x?2. ???? ?????? ???? ??
???? f (x) ????? ?? ??????? A ????? x?a
101
????? ??? ??????? ??? ??? ???? x ???? ???
????? ??? ??a ??????? ?? ???? ????? ??? ????? f
(x) ?????? ?A ????? ???? ????? ?? ?? f (x)
A ? ??? ? ??? ??? ???? ??????? ????? .... ????
??? ????? ???? ?????? x ?? a ???? ?????.
??????? ?????? ?????? ???????? ????? ??? ????????
?????? ?? ??? ???????? ????? ????? ??? ??? ?? ???
?????? ???????.
-5-1 ???????? ???????? ???????? Basic Theorems of
limits ???? ????? ??????? ?????? ???? ?????
?? ?????? ????? ??? ??????? ?????? ??????? ???
??????.
???? (4-10)
102
????? ????? ???? ??? ?? ??? ????? ?? ??????
????? ???? ??? ?????? ??? ?????? .
???? (4-11) ??? ???
????????? ???? ???? ?????? f(x) ??? ???? ????
??? ?????? g (x) , f (x) ?????
?????? ????? ??????? f (x) h (x) ??? ??
103
?????? ????? ???? ???? ?????? ????? ?????
????? ?????? ??? ????? ?????? ???? ?? ???? ?????
?????? ?? ????? ????.
???? (4-12)
104
???? (4-13) ???? ????
????????? ????? ?? ?????? ??? ????? ??? x 2
??? ???? ??????? ??????? ???? ????? ?????? ????
??? ????? ?????? f ( ?) ???? ??? ????? x ? 2
??
??? ?????? g (x) ????? ????? ??? x ??? ????? ??
f (x) g (x) ???????? ??? x 2 ???? ??? ????
??????? ???????? ??
105
-5-2 ????? ??? ??? ???????? ???????? ???? ?????
??????
?? ?? ????? ??? ??????? ?????? ??? ??? ???????
????? ???? ??????? ??? ????? ????? ???? ????
...... ?????? ??? ??????? ???? ?????? ??? ???
??????? ??? ??????? ???? ????? ??? ????? ??????
??? ?? ????? ????? ??????? ???????? A O M ??????
x ??? 0 lt x lt ?/2 ??? ????? ???? ?? ???????? AN
??? ?? ????? AM ???? ????? ??? ?? ???????? AC ??
?? ltAC
lt
AN ???????? ??? OA ???? ??
106

?????? ???? ?????? ??? sin x
??? ???????? ??? ????????? ??? ??? ?? x gt 0
???? ?????? ??
???? ???? ?? ????????? ????? ???? ???? x ???????
???? ??
??? ??????
??? ??? ?????? ???? ??? ??????? (?????? ) ????
??? ????
107
????? ??? ?? x ????? ???????? ??????? ???
???? (4-14)
( ???? ????? x ?0 ??? 8x ? 0 ???? )
108
???? (4-15)
109
????? ? ???????
??? ??????? ????? ????? ??? n ??????? ???????
???????? . ??????? ??? ??????? ???? ?? y x - a
?????? x?a ??? y ?0 ????????? ?? ????????
??????? ???? ??
????? ?????? ??? ?????? ??? ??
????????? ?? ??????? ??????? ???? ??
???? ?????? x ?? a ???? y ??? ????? ????? ???
110
???? (4-16)
???? (4-17)
111
????? ? ???????
??? e 2.7182818 ?????? ????????? ?????
??????????? ???????? ????? ??? ???????
????????? ????? ??? ?????? ??? ????? ???????
?? ????? ????? n ????? ?? ???? ?????. ????
??????? ??? ??? 3 , 2.5 ????? ?? ?????? e ????
??? ??????
????? ?? ??????? e ????? ????? x ?? ???? ????? .
???? ????? u 1/x ???? ????? x ? ? ??? ?? u
?0 ????? ????? ??????? ??????? ??? ??????
???????
112
???? (4-18)
???? (4-19)
113
(No Transcript)
114
6- ???? ??????? Differential Calculus

• 6-1 ??????? ?????? ??????
• ??? ???? y f (x) ?? ???? ????? ???? ????
  ?????
• ???? ????? ?????? ?????????? ??????? ???????
  x ?? ????? ????? ?????? ??? ?????? A ??? ????
  ??????? ????? ??? ?????? x ??????? B ????? ???
  ?????? x ?x ??? ?x ?? ?????? ???? ???? ???
  ??????? ??????? x ?? ??????? ?? ?????? ??????
  ??? ?????? ??????? ????? ???? ??? ??????? ??
  ??????? ???????.

0 A B x
115

• ????????? x , x ?x ??????? ??????? ????????
  ?????? ??????? ?????? ???
• y , y ?y
• ???? ???? ?????? ?????????? ?????? ??
• y f (x)
• ??? ?????? ???????? ????
• y ?y f (x ?x)
• ??????? ???? ??? ??????? ?? ?????? y ?????
  ??????? ?x ?? x
• ? ?y f (x ?x) f (x)
• ??????? ????? ???? ?????? ?????? ?? ?????? ??
  ?????? (y) ??????? ???x ?? ?????? (x , (x
  ?x)) ???? ?????? ??? ???? ????? ????? ????
  ?????? ?? ??? ?????? ???? ??

116

• ???? ?? ?y ????? ??? ?x ??? ?????? ?????
  ????? ??? ?x ????? ????? ???? ?x ??? ????? ??? ?y
  ???? ??? ????? ????? ?????? ?? ????? ?????
  ????? ???? ?x ??? ????? ????? ???? ???????
  ??????x) )? f ?? )? y) ?? ?? ?? Dy ?? Df

117

• ???? (6-1) ???? ??????? ?????? ??????
  ????? x gt 0 ?????????

????? ??????? ??? ??????
118

• ??????
• ???? ?? ????? ??? ????? ???? ???? ??????? ..
  ???? ???? ?? ??????? ??? ??????? ? ?? ?????
  ?????? ??? ???? ??? ??????? ???? ????? ????
  ????? ???? ??? ???? ?? ?????.

119
-1-1 ?????? The velocity ???? ?? ?? ??? ?????
???? ?? ????? ??? ??????? s f (t) ??? ?? "s
"?? ??????? ? "t "?? ????? ???? ????????
?????????? ?????? ??????? ???????? ????? ????
????? ?? ???? ?? "t "??? ??????? ??????? ??? ???
?? ????? "t"???? ????? ?????? "s "???? s
f(t) ??? ????? t ?t ???? ????? ?? ?????? s
?s f (t ?t) ???? ??? ??? ?????? ?? t ???
???? ????? ?? ????? ????? ????? ?s f (t ?t)
f (t)
120
????? ?? ?????? ????????Average velocity ?? ????
???? ??????? ??????? ?????
????? ?????? ??????? ??? ????? t ?? ????? ??????
???????? ?????
? ?? ??
??? ????? ??????? ???? ??
121
?????????? (6-2) ???? ???? ??? ??? ??? ?????
???????? ??????? ?????????? ??? ?? ????? ??????
??? ????? ???????? ??????? ???? ??????? ???????
??? ?? s ??????? ? t ????? ? g ????
???????? ??????? . ??????? ?? ???? ???? ???????
??????? ?????
122
(No Transcript)
123
-1-2 ?????? ??????? ??????? ??????
The Geometric meaning of the Derivative
??? ???? ?????? f(x) ???? ????? ?? ??? ????
?????? ????? ??? ?????? y f(x) ???????? ??
????? ??? ?? ????? ?????? ????????? P(x,y) , Q(x
?x, y?y) ???? ????? ?????? PQ??? ????? ???
??? ?????? ?? ??????? ?????? ????? ??????? ??
??????? ((? ???? ????

124
?? ?? ??? ??????
???? ??????
?? ????? ??? ?????? Q ????? ??? ??????? ?? ??????
P ????? ?????? ??? ?????? P ????? ?????? ?????? P
????? ????
????? ?????? ??????? ??????? ? ???? ??? ?????
????? P ?????
? ????? ???? ????? ??? ?????
????? ?????? PQ ??? ?????? ??????? ??? ?????? P
???? ???? tan? ??? ??? ????
?? ?? ???? ???????
??? ???? ????? x ????? ??? ?????? ????? ??????
f (x) ??? ?????? (x , y).
125

• ????????? (6-3)
• ???? ??? ?????? ??????? 3 y x2 ??? ??????
  (1,4) P ??????????
• ???? ?????? tan ? 2x
  ?
• ??? ?????? ??? ?????? P (1,4) ??
• tan? f,(1) 2 x 12

126

• 6-2 ???????? ???????? ???????
• The fundamental laws of differentiation
• ????? ????? ?????? ??????? ????? ????? ??? ??
  ???? x (????? ?? ????? ???? ????? ???) ???? ????
  y c ??? c ????? ???? ? ???? ???? ???? y ????
  ???? x ?? ??? ??????? ?x ?? x ???? ??????? ?y
  ?????? ?????? ?????
• ???? ???? ?? ?????? y c ???? ?? ?????? ?????
  ???? x ????? ????? ???

127

• ?????? ????? ?????? y x n ??? n ??? ?????
  ???? ?? ???? ???? ?? ??? ????.
• ????? ????? ??? ???????? ??????? ?????? ??????
  ????? ?????? ??????? ??????.

128

• ?????? ????? ???? ??? ???? ????? y c. f(x)
  ??? c ????? ????
• ?? ?? ??????? ?????? ???? ???? ???? ????? ???????
  ????? ????? ??? ??????? ???????? ??????? ??????
  ?????? ????? ?????? ??????? ?????? ????????
  ???????.
• ?????? ????? ????? ??? ????? ?? ?????? ?????
  ??????? ??????? ??????? ??????. ???? ????
• y u(x) v(x) w(x)
• ??? ?? ???? ?????? ????? ??????? ?? ???? ?????
  ??????? (x)??? ??????( ) ????

129
(No Transcript)
130

• ???? (6-4) ???? ????? ??????
• 9 5x y 12 x3 - 6x2
• ????????
• ???? (6-5) ???? ????? ??????
• ?????????

131

• ?????? ????? ???? ??? ??????
• ?????? ?????? ?????? ?? ????? ??????? ??????
  ??????? ?????? ?? ????? ??????. ?? ??
• ?????? ??? ???? ????? ????? ??????? ?????? ??
  ??????? ??????? ??? ???
• ???? ??

132
??? ?? v , u ?? ????? ???
????? ?????? ?? ????? ?????? ????? ??
????? u f(x) ???? ????? ??????? ???????
???????? ???
????? ??? ??? ???? ?????? ???? ??????? ?????
????? ???
133
???? ??????? ?????? ??? ????? ???? ?????? ????
??? ?? ??? ????? ?? ?????? ... ???? ??? ?????
???? ??? ???? ???? y u . v . w ???? ????
????? ????? ?????? ????? ??? u ?? (vw) ???? ??
134
????? ??????? ?????? ?????? ??? ????? ???? ??????
???? ??? ?? ??? ????? ?? ?????? ?? ??? ???
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????? ????? ????? ????? ???? ??? ?????? ???
?????? ??????
???? ????? ?? ?? ???? ??????? ??? u.v .... ?????
???? ????? ?????? ??? ???? ???? ?????? ???? ???
?? ??? ?? ?????? ???? ??
135
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2x) (3x 1) ????????? ?? ?????? ??? ???? ?????
??????? ??? ??????? ????? ?? ????? ?????? ? ???
???? ?? ?????? ????? ?? ???? ??? ?????? ?????? u
( x22x) , v(3x1) ??????? ????? ???? ???
?????? ???? ??
136

• ?????? ????? ???? ???? ??????
• ????? ???? ???? ?????? ????? ?? ???? ??? (????
  ?????? ?? ????? ???? ????? ?????? ??? ???? ???
  ???? ????? ?? ????? ???? ?????? ) ?????? ??? ????
  ???? ??????.

???????? ??? ???? c ????? ???? ? v ???? ????
??????? ???
137

• 6-3 ????? ????????
• ???? ??
• ???? ?????
• ??? ?????? ?? "u "???? ??" x "????? ?? ???? ???
  ???
• u f(x)
• ???? ??? ??????? ????????
• ???? ???? " u " ???? ?? ?????? ???? " x " ????
  ????? y f (u) ?u f(x) ???
• y f f(x)
• ????? ???? ??????.
• ????? ????? ?????? ????? ???
• y sin x3

138

• ??? ???? ?????? ????? ???? ???? ?? ????
• y sin u sin (x)3
• ???? ??? ??? ???? ??????.
• ????? ???? ??????
• ??? ????
• g(x) u? y f(u)
• ?????? ???? ????????? ??? ???? ???? ??????y
  fg(x) ???? ????????
• ????? ????? ??? ??????? ?????? ?????? ???????
  ?????? ??? ???
• y f(u) , u ?(t) , t ?(x)
• ???

139
????(6-7) ???? ????? ?????? 3(y (1
x2 ????????? ??? u ?(x) 1 x2 ?????
y f(u) u3 ????? ??????? ???????? 2x .
2(1 x2). 2x 3. 3 u2
????? ?????? ??? ??? ??????? ?????? ???? ???
?????? ???????? u ?????? ????? ??????
???????? y ??????? ????? ????? ??? 2(1 x2)
3 ?? ???? ?????? ?? ????? ????? ???? (??????
????????) ??????? ??? x ?? (2x) .
140

• ???????? (6-8) ???? ????? ??????
• ??????????

141

• 6-4 ??????? ?????? ?????? ???????
• ??? ?? ????? ?? ?????? ??????? ?? ?????? ????
  ???? ?? ??????
• f (x , y) 0
• ??????? ??? ??????? ?????? ???? ?????? ????
  ??????? ???????
• ????? ?? ?? ?? ???? ??????? ??????? ??? ???????
  ??????? x ????? ??? ??????? ??? ??????
• f(x , y , dx/dy ) 0
• ??? ???????? ???? ????? ??? dy/dx)) ????? ?????
  ?? ????? ?????? ?? ????????? ????????? ??????? ??
  dy/dx)) ?? ????? ????? ?? ???????? .
• ???? ?? ?? ??????? ??? ????? dy/dx)) ????? ????
  ??? ??????? ???????? .

142

• ???? (6-9) ???? ??????? ?????? dy/dx)) ?????? x
  ,y ?????? ??????? ??????
• x2 3xy 5y2 6x - 3y 12 0
• ????????
• ????? x2 ?? 2x ??? ???? 3xy ???? ?????? ???
  ??? ???? ??? ?????? ????????? ?????? ?? dy/dx)
  3y ) 3x ?? ??? ?? ????? 5y2 ?? 10y (dy/dx) ?
  ????? 6x ?? 6 ?????? -3y ?? -3 (dy/dx) ?????? 12
  ?? ????? ???
• 2x 3x(dy/dx) 3y 10y(dy/dx) 6- 3(dy/dx)
  0
• (dy/dx) x (3x 10 y -3) -2x-3y -6

143

• ????(6-10) ???? ??????? ?????? ?????? ??????
• y5 3x2 y3 - 7x6 - 8 0
• ???????????

5y4
3y2 . 3x2
3y3. 2x - 42x5 0
144
-5 ?????? ???????? ???? ?? ??? ?????? ??? ?????
????? ? ?? sin ? , cos ? , tan ? , cot ? , sec ?
, cosec ? ?? sin x , cos x , tan x , cot x , sec
x , cosec x ??????? ???????? ?? ?? ?????? ????
????? ?? ?? ????? ??? ?????? ???? ???? ?? ???? ??
?? f(x na) f(x) ??? a ???? ? n ??? ????
.???? ?? ???????? sin x, cos x ??????????? cosec
x , sec x ???? ???? ????? ???? ?? ???? (2?) ????
??? 2?) sin x x)sin 2?) cos x x)cos
145
????? ?? ??????? ???? ?? ???? ????? ??? sin 0 0 ????? ?????? ?? ??????? ?? ??????? ??? ??? ??? ?????? (1) ??? x?/2 ?? ???? ??? ??????? ??? ??? ??? ????? ??? x ? ??????? ?? ??????? ??? ??? ??? (-1) ??? x 3?/2 ?? ????? ??????? ??? ?? ??? ??? ????? ??? x 2? y sin x
146
???? ?? sin x ???? ????? ??? ????? ?? ??????
2? ????? ????? ??? ??? ?? ???? ????? 2? ???? ???
?? ??? ??????? ????? ????? ??? sin (-x) - sin
x ???????? ?????? ??????? ????? ????? ?? ????? .
???? ????? ?? ?????? sin x ?????? ??? ?? ????
??????? x ??? ?? ???? ?? ????? ??????? .
147
???? ???? ????? ?????? ????? ?????? cos x y
????? ???? ???? ??????? (1) ????? x0 ??????? ??? ??? ??? ?????? (-1) ??? x ??? ?????? ??? ??? ??? ????? ??? x 3?/2 ?????? ?? ??????? ??? ??? ????? ??? ???? ???? ??? ??? (1) ???x 2? y cos x
?????? ?? ??? ?????? ????? ?????? ??? cos (-x)
cos x ???????? ?????? ??????? ????? ???????
?????? ?? ????? ?????? cos x ???? ?? ????? ??????
sin x ?????? ???? ??????? ??? ?????? ????? ?/2
??? ???? ?? ???????
148
???? ??? ???????? y tan x , y cot x
?????? ??????? ???? ?? ????? ? ??? tan (? x)
tan x , cot (? x) cot x ???? ????? ??? x.
y tanx
1- ?????? ?????? ??? ???? ??? x ???????? ????
??? ?????
?? ?? ????? ?????? ??? ???? ??? ?????
149
???? ???? ?? ???????
??? ????? ?????? cos x ??? ??? ????? ????? ??????
??? ????? ??? ??? ?????. 2- ?????? tan x ????? ??
?? tan (-x) -tan x. 3- ?????? tan x ??? ?????
????? ?? ???? ????? ?? -? ??? ? ?? ?? ??? ??????
??? ?????. 4- ?????? ????? ?????? ?.
150
????? ??????? ????? ?????? y cot x ?? ?????
?????? tan x ??????? ??
?? ?? ???????? sin x , cos x ??????? ??
?????? ?????? y cot x ???? ?????? ?? ????
????? ??? ??? ??? x ???? ????? ????? ?????? sin x
?? ??? ????? x n? , n 0, 1 , 2 ????
?????? ????? ???????? ?????? ??????? ?????
????? cot (-x) -cot x
??? ?? ?????? ????? ?????? ? ??? ??? ????? ?????
???? ????? ??? -? ? ?.
151
???? ???? ??????? ????? ?????? sec x ?????????
????? ?????? cos x ???? ??? ??? sec x ????
?????? ?? ???? ??? x ???? ??? ????? ???? ?????
????? cos x ?? ???
??? ???? ????? ???????? ?????? ??????? ?????
??????? sec (-x) sec ? ??? ???? ????? ??????
2?
???? ?? ??? ?????? cos x ?? (-1 , 1) ??? ???
?????? sec x ?? ???? ??????? ???? ?? ??? ??
?????? ???????? (-1 , 1) ?? ?? ????? ?????? ???
???? ?????? ?????? ?????? ??????????? y 1.
152
??????? ?????? y cosec x ???? ???? ???????
??????? ???? ????? ?????? sin x ??? ?????? ??
???? ??? ??? ?????? ?????? ??? ???? ??? x ????
??? ??? ????? ???? ????? ????? ?????? ?? ??? x
n? , n 0 , 1 , 2 ???? ?????? ??? ?????
????? ???? ????? ???? ?? ??? ?? ?????? (-1 , 1)
??? ???? ????? ???????? ?????? ??????? ?????
?????. ??? ???? ????? ??????? 2?.
153
??????? ?????? ?????? ???????? ????? ?????
?????? y sin x ??? ?? ?????? ???? ????????
?????? ????? ?????? sin x ??? ???? ???? ????? sin
x ???????? ??????? ??????? ????? ???? ???????
???? ???????? ?????? ???????? ??????. ???? ???
??? ????? ????? ??????? ?????? ????????? y sin
x ?? ??????? ??????? ???? ??? ???
154
(No Transcript)
155
???? ???? "U " ??? ???? ?? x ????? ??????? ?? u
? (x) ????? y sin u ??? ????? ???? ??????
???? ???
???? (6-11) ???? ????? ?? ?? ?????? ??????
?????????
156
?????? ????? ?????? y cos x ????? ??
????? ???? ??
???? ???? y cos u ??? u ? (x) ???
157
?????? ??????? ?????? ?????? y tan
x ??? ??
??????? ????? ????? ???? ???? ?????? ??? ??
???? ???? y tan u ??? u ? (x) ???
158
?????? ??????? ?????? ?????? y cot
x ???? ????? ??????? ?????? ???? ?????? ??? ???
????
?? ??? ???? ??
???? ??????? ??????? ???????. ?? ??
159
(No Transcript)
160
?????? ??????? ?????? ?????? y sec
x ?????? ????? sec x ???
161
?????? ??????? ?????? ?????? y cosec
x ??????? ??
162
???? (6-12) ???? ????? ?? ?? ?????? ???????
????????? ?????? ?????? ???????? ??????? ??? ??
163
(No Transcript)
164
?????? ????? ??? ?????? ????? ??? ???? ???????
??????
165
-6 ??????? ?????? ?????? ???????????? ??? ??
?????? ?? ????? ?????? ??
??????? ???? ???? (e) ????? ??? ??? ???? ??
??????? ???????. ????? ?????????? ?????? ??? ???
?????? (e) ????? ????????? ??????? ?????? Log
x ??? ??? ?????? ?? ?????? Ln x ???????? ??
?????????? ??????? ??? ???????? ??? ???? a
???? ?????? ???????
??????? 10 ????? ???? ??? ???? ?? ????????
???????? ??????????
???? ???? y loga x ?? ???? ?????????? ???
???? a ???? ?? 0 ? x ? ? ???? ??????
??????? ?????? ???? ?????? ??? ??
166
(No Transcript)
167
???
?????
????? ???????? ????? ? x ? 0 ??????? ??? ?????
? x ? 0 ??? m ? 0
????? ???????? ?????? ?????? ???????????? ???
???? ( a ) ??
168
??? ??? ???? ?????? ?????????? ?????? ??????
(e) ???? ??????? ??
????? ??? ??? y Ln u ??? u ? ( x )
???
???????? ?????? ???????????? ??? ???? ( a )
????
????? ??????? ???? ??? ??????
169
???? (6-13) ???? ????? ?????? y Loga
(x2 2 ) ??????????
???? (6-14) ???? ??????? ??? x ??????
?????????? ???? ????? ???????? ??? ?????? ??????
???? ?????????? ????
170
???? (6-15) ???? ??????? ?????? ?????? y
Ln sin x ??????????????
171
-7 ??????? ?????? ?????? ??????? ??? ??? ??????
y f ( x ) ???? ????? x ? ( y )
(???????? ?????? ?????) ???? ???? ?????? ???????
??? ?????? y ?????
?? ????? ????? ???? ??? ?????? ???????? x ????
?????? y f ( x ) ?????
?????
?? ??
172
??????? ??? ????? ???? ??????? ??????? x ? ( y
) ??????? ??? x ????? ?? ???????? ?? y ????
?? x ??? ??
??? ??????? .
173
??????? ?????? ?????? ???????? ??????? ????
?????? y sin-1 x ????? ???? ?????? ?? y
????? ?? ??????? ???? ????? x ?? ?? x sin
y ????? ?????? ??????? ??????? ???????? ???????
?????? ??????? ???????
??????? ????? ??? ?????? ????? ???? ??????? x
sin y ??????? ??? y
174
??? ???? ??????? ??????? ???? ????? ??? ??????
y sin-1 x ???? ???? ?? ??????
???????? ???? cos y ? 0 ???? ???? u ????
??????? x ???? ???????? ???? ?????? ???? ?????
??
175
???? (6-16) ???? ????? ?????? y ???????
??? x ??? ??? y sin-1 (tan x )
?????????????
176
????? ?????? y cos-1 x ?? ?????
??? ?????? ??????? ??? ???? ?????? ??????? ??????
x cos y
" ??????? ????? ???? ??? ?????? ??????? ?????
???? ????? ?? x cos y ???????
??? " y " ??? ??? ?? ?????? ???????.
( ??? u ???? ??????? x ).
177
????? ?????? y tan-1 x ???? ???
?????? ????? ?????? ??????? ?????? x tan y
???? ?????? ????? ????? ??? x ?? ?????? - ? ?
x ? ? ????? ?????? ??????
?? ?? ????? ??
??????? ????? ??? ?????? ???? ??? ???????
??????? x tan y
( ??? u ???? ??????? x ) .
178
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