Slayt 1

1
SAYISAL YÖNTEMLER
SAYISAL YÖNTEMLER
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
10.HAFTA IÇERIGI
2
INTERPOLASYON (Ara deger bulma)
SAYISAL YÖNTEMLER
Interpolasyon islemi, bilinen veri noktalari
arasindaki bilinmeyen degerin tahmin edilmesidir.
Genellikle tablo halinde verilen degerleri
kullanarak tabloda olmayan bir degerin
belirlenmesi gerekir. Bu islem için interpolasyon
kullanilir. Interpolasyon isleminde bilinmeyen
bir f(x) fonksiyonun xo, x1, x2,xn ayrik
noktalari için verilen f(xo), f(x1), f(x2)
f(xn) degerlerini kullanarak bu fonksiyondan daha
basit bir fi(x) interpolasyon fonksiyonu elde
edilir. interpolasyon fonksiyonu fi(x) polinom,
trigonometrik, üslü, logoritmik, ya da özel bir
fonksiyon olabilir.
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
3
INTERPOLASYON (Ara deger bulma)
SAYISAL YÖNTEMLER
Genellikle interpolasyon fonksiyon olarak
polinomlar kullanilir. Gösterim ise
seklindedir. n1 adet nokta için tüm noktalardan
geçen n. dereceden bir polinom vardir. Polinom
interpolasyonunda n1 adet nokta için tüm
noktalardan geçen n. dereceden bir polinom
belirlenir. Daha sonra bu polinom kullanilarak
ara deger hesaplanir. n1 veri noktasindan geçen
n. dereceden bir polinomun çok sayida ifade
edilis sekli vardir. Bunlardan en çok kullanilan
ve bilgisayar uygulamalarina uygun olanlari
Newton ve Langrange polinomlaridir.
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
4
INTERPOLASYON (Ara deger bulma)
SAYISAL YÖNTEMLER
Dogrusal polinom 1.dereceden
Parabolik 2.dereceden
Kubik polinom 3.dereceden
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
Genel bir yöntem verilmeden önce 1. ve 2.
dereceden interpolasyonlar basit ve sik
kullanilmalarindan dolayi anlatilacaktir.
5
Dogrusal Interpolasyon
SAYISAL YÖNTEMLER
En basit interpolasyon iki nokta arasinda dogru
çizmektir. Bu durumda interpolasyon fonksiyonu 1.
dereceden polinom yani dogru denklemi olur. Bu
sekildeki interpolasyona dogrusal intepolasyon
denilir.
y
fi(x) ? 1.dereceden interpolasyon fonksiyonu
fi(x)
f(x1)
f(x)
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
fi(x) aoa1x seklinde olacaktir
fi(x)
f(xo)
f(x) ? gerçek fonksiyon
xo
x1
x
x
Bilinen noktalar olan xo ve x1 için gerçek
fonksiyonun degeri ile, interpolasyon fonksiyonun
degeri ayni olacaktir.
f(xo) fi(xo) ve f(x1) fi(x1) olur . Bu
degerler interpolasyon denklemine xo ve x1in
yerine konulmasiyla ile ayni olacaktir.
6
SAYISAL YÖNTEMLER
Denk.(1) f(xo) aoa1xo Denk (2) f(x1)
aoa1x1 yazilir. Iki bilinmeyen (ao ve a1) ve
iki denklem oldugundan Denk (3) ao
f(xo)-a1xo bulunur ve 2. denklemde yerine
yazilirsa f(x1) f(xo)- a1xoa1x1 f(xo)
a1(x1-xo)
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
bulunur. Bu 3. denklemde yerine yazilirsa
7
INTERPOLASYON (Ara deger bulma)
SAYISAL YÖNTEMLER
elde edilir. Bu interpolasyon denkleminde yerine
konulursa
Kesme noktasi
Egim
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
Diger bir yaklasim ise üçgenlerin benzerliginden
yararlanilarak yazilir
ve buradan fi(x) çekilirse
Genel olarak veriler ne kadar dar olursa,
yaklastirma da o kadar iyi olur.
8
Örnek
SAYISAL YÖNTEMLER
f(x)1/x fonksiyonun xo 1 ve x1 5 için
degerlerini kullanarak x3 için degerini
dogrusal interpolasyon yöntemi ile bulunuz.
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
9
Örnek
SAYISAL YÖNTEMLER
olduguna göre x 1.5 için degeri hesaplayiniz
x y 1
2.718282 2 7.389056
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
10
Örnek
SAYISAL YÖNTEMLER
(ex fonksiyonu için yandaki degerleri
aldik) verilere göre x 2.5 için y degerini
dogrusal interpolasyon uygulayarak hesaplayiniz
x y 2
7.38906 3 20.0855
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
11
2.dereceden interpolasyon
SAYISAL YÖNTEMLER
Dogrusal interpolasyon ile bir egriye bir dogru
ile yaklastirilma yapildigindan hata
olusmaktadir. Interpolasyon için tahmini
iyilestirmenin yolu noktalari birlestiren dogru
yerine egri kullanmaktir. Egri, eger bilinen üç
nokta var ise, ikinci derece bir polinom
(parabol) ile tahmin yapilabilir. 2.dereceden bir
polinom
yazilacagi gibi
(1)
(1)
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
(2)
seklinde yazilabilir
esitligi vardir
yukaridaki (2) nolu denklemde x yerine xo
yazilirsa,
12
SAYISAL YÖNTEMLER
bulunur. Ayni sekilde x1 yazildiginda
bulunur. Son olarak x2 yazildiginda
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
elde edilir
13
Örnek
SAYISAL YÖNTEMLER
n x y 0 1 0 1
3 1.09861 2 5 1.60944
Verilen üç noktadan geçen 2. dereceden polinom
uydurun ve x4 için y yi bulun .
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
Bu fonksiyon f(x) lnx ol.dan gerçek deger
x4 için
14
Newton Bölünmüs Fark Interpolasyon Polinomlari
SAYISAL YÖNTEMLER
2.dereceden elde edilen polinom fonksiyonunu n1
veri için n. dereceden bir polinom uydurulmasi
amaci ile genellestirmek mümkündür. n.dereceden
bir polinom
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
seklindedir. Buradaki bo, b1bn katsayilari veri
noktalari kullanilarak bulunabilir.
. . .
olur. Burada köseli parantezli fonksiyon
hesaplamalari sonlu bölünmüs farklardir.
15
SAYISAL YÖNTEMLER
Birinci dereceden sonlu bölünmüs fark
Ikinci dereceden sonlu bölünmüs fark
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
n. dereceden sonlu bölünmüs fark
16
SAYISAL YÖNTEMLER
Sonlu farklar tablo yardimi ile de hesaplanabilir
i xi f(x) Birinci Ikinci Üçüncü
0 xo f(xo) fx1,xo fx2,x1,xo fx3,x2,x1,xo
1 x1 f(x1) fx2,x1 fx3,x2,x1
2 x2 f(x2) fx3,x2
3 x3 f(x3)
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
17
Örnek
SAYISAL YÖNTEMLER
Asagidaki tabloda verilen degerleri kullanarak
fi(3) degerini Newton bölünmüs farklar yöntemi
ile hesaplayiniz.

• n x f(x)
• 0 1 1
• 1 4 3
• 5 9
• 8 5

Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
18
SAYISAL YÖNTEMLER

• n x f(x)
• 0 1 1
• 1 4 3
• 5 9
• 8 5

Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
19
SAYISAL YÖNTEMLER

• n x f(x)
• 0 1 1
• 1 4 3
• 5 9
• 8 5

Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
20
SAYISAL YÖNTEMLER
Ayni soruyu bölünmüs sonlu fark tablosu
hazirlayarak çözelim.
n xn f(x) Birinci Ikinci Üçüncü
0 1 1
1 4 3
2 5 9
3 8 5
Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
21
Ödev
SAYISAL YÖNTEMLER
Newton bölünmüs farklar yöntemleri ile
interpolasyon fonksiyonunu bulunuz.

• n x f(x)
• 0 2 5
• 1 4 8
• 7 2
• 9 10
• 11 7

Yildiz Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü