Speciale Relativiteitstheorie Taco D. Visser

1
Speciale RelativiteitstheorieTaco D. Visser
http//www.nat.vu.nl/tvisser
2
Einsteins gedachtenexperiment
lichtstraal
lichtsnelheid

• Als je je met precies de lichtsnelheid van de
  klokkentoren
• af beweegt, dan zie je de klok stilstaan.
• Maar staat de tijd dan ook stil?

3
Relativiteitstheorie

• Deze theorie gaat over ruimte en tijd.
• Zijn tijd en ruimte absolute grootheden? Nee!
• Zijn tijdsduur en lengte voor alle waarnemers
  hetzelfde? Nee!
• Zijn tijd en ruimte oneindig uitgestrekt of zijn
  ze begrensd?

4
Wat is tijd?

• Als niemand het mij vraagt, dan weet ik het.
• Als ik het moet uitleggen, dan weet ik het niet
• 
  Augustinus

5
Tijd is .
Verandering
Beweging
Relatief
Onomkeerbaar
Want de drager van causaliteit, de verbinding
tussen oorzaak en gevolg.
Tijd heeft een richting (de pijl van de
tijd), Want wanorde neemt spontaan toe.
6
Soorten tijd en tijdsduur

• Psychologische tijd 1 s tot 100 jaar
• is subjectief
• Culturele tijd 1 dag tot 5000 jaar
• minder subjectief, documentatie
• Fysische tijd 10-20 s tot 1010 jaar
• is meetbaar met klokken en daarom objectief
• Operationele definitie van tijd
• de tijdsduur van een proces is het verschil
  van twee tijdstippen die een waarnemer met zijn
  eigen klok bepaalt. Omdat iedere waarnemer zijn
  eigen klok heeft, opent deze definitie de weg
  naar verschillende metingen van de tijdsduur van
  een proces door verschillende waarnemers.

7
Soorten ruimte en afstanden

• Psychologische afstanden
• 10-3 m tot 100 km
• Fysische afstanden
• 10-16 m tot 1010 lichtjaar.
• Een lichtjaar is de afstand die licht in 1
  jaar tijd aflegt.
• 1 lichtjaar 9,4 1012 km
• Met onze zintuigen zien we maar een heel klein
  stukje van de werkelijkheid. Onze huis-, tuin- en
  keukenlogica (intuïtie) hoeft dus helemaal niet
  juist te zijn voor de rest van de werkelijkheid.
  Relativiteitstheorie geeft daarvan verschillende
  voorbeelden.
• I.t.t. alle andere wetenschappen laat Natuurkunde
  ons het hele kleine en snelle, en het hele grote
  en langzame van de werkelijkheid zien.

8
Hoe bepaal je posities?

• Een fysische meting betreft altijd een
• visuele waarneming.
• Licht speelt dus altijd een rol.
• Maar hoe snel gaat het licht?
• Het experiment van Foucault

9
De lichtsnelheid is eindig

• Alhoewel c 300000 km/s heel snel is, is het wel
  eindig.
• Dat betekent dat je altijd naar iets uit het
  verleden kijkt.
• Dit speelt vooral op astronomische schaal het
  licht van sterren dat
• ons nu bereikt is miljoenen jaren geleden
  uitgezonden
• je kijkt in het verleden.
• Bijv het licht van een ster op 1000 lichtjaren
  afstand doet er
• 1000 jaar over om ons te bereiken.
• De ster die je nu ziet, bestaat die nog wel?

Supernova
10
Definities van tijd en ruimte

• Tijd is een coördinaat waarmee je verandering
  vastlegt.
• Tijd is 1 van de 4 coördinaten van een
  gebeurtenis. Zoals lengte, breedte en hoogte de
  ruimtelijke positie van een gebeurtenis
  vastleggen, geeft een tijdstip aan waar een
  gebeurtenis zich op de tijdsas bevindt.
• Vandaar dat men spreekt over de vier-dimensionale
  ruimte-tijd. Een gebeurtenis is dus een punt met
  coördinaten (t,x,y,z) in de ruimtetijd.

11
Definitie seconde
Het element Cesium heeft een overgang waarvoor f
9 192 631 770 s-1 9.192.. GHz, een
microgolf frequentie.
1 sec 9 192 631 770 perioden van deze
overgang. Dit aantal perioden kan je makkelijk
tellen met behulp van electronica, en definieert
tijdsduren.
12
Ruimtelijke afstanden

• Engeland 1400 1 yard is de omvang van de taille
  van de koning
• Académie Française (1791) 1 meter 1/10 000
  000-ste deel van een vierde van de omtrek van de
  Aarde.
• 1889 1 meter is de lengte van een metalen staaf
  die in Sèvres wordt bewaard.
• Het meten van de lichtsnelheid is nu zo precies
  299792458 m/s dat c gewoon is vastgelegd
  (gedefinieerd), omdat de seconde ook vastligt,
  is de meter secondair is geworden.
• c is dus niet meer te meten, de meter weer
  wel!
• Sinds 1983 1 meter is gedefinieerd als het 1/
  299792458-ste deel van de afstand die licht (in
  vacuüm) in 1 seconde aflegt.

13
Vragen

• Stel dat twee waarnemers t.o.v. elkaar bewegen
  (bijv. een astronaut die naar Mars reist, en
  iemand die op Aarde acherblijft), en ze bepalen
  beiden met hun eigen klok de tijdsduur tussen
  twee lichtflitsen van een quasar.
• Meten ze dezelfde tijdsduur?
• Stel dat er een komeet langs vliegt. Meten beide
  waarnemers dan ook dezelfde lengte van de
  komeetstaart?

14
Reference frames

• Reference frame waarnemer, iemand met een klok
• en een
  lengtemaat
• Intertial reference frame waarnemer waarvoor de
• 
  1ste wet van Newton geldt
• De aarde is slechts bij benadering een intertial
  frame de sterren die ver weg staan bewegen voor
  ons niet rechtlijnig

15
De ether

• Een watergolf laat het water trillen
• Een geluidsgolf veroorzaakt een trilling in de
  lucht
• Ergo er moet wel een oneindig verdund medium
  zijn waardoor het licht reist. Dit
  alomtegenwoordige, gewichtsloze, wrijvingsloze en
  transparante medium noemde men de ether.
• Maar als er een ether bestaat, dan kan de
  lichtsnelheid niet absoluut zijn!

16
Roeien in de rivier (1)

• Twee roeiers bewegen met 5 m/s t.o.v. het water.
  Nummer 1 gaat van A naar B en terug nummer 2
  gaat van A naar C en terug. Beiden leggen in
  totaal 180 m af. Hoelang zijn ze onderweg?
• Roeier 1 moet zn boot in de richting AP sturen
  om in B te komen.
• Pythagoras (AQ)242 52 dus (AQ )2 9 -gt AQ
  3 meter.
• Roeier 1 gaat dus met 3 m/s van A naar B.
• De afstand AB is 90 meter, de heenreis duurt dus
  903 30 s.
• De terugreis duurt ook 30 s roeier 1 is dus in
  totaal
• 3030 60 s onderweg.

B
90 m
Stroomsnelheid 4 m/s
4
P
Q
90 m
5
C
A
17
Roeien in de rivier (2)

• Roeier 1 gaat van A naar B en terug. Zijn reis
  duurt 60 s.
• Roeier 2 gaat eerst met de stroom mee van A naar
  C.
• Zn snelheid is 45 9 m/s
• De heenreis van A naar C duurt dus 909 10 s.
• De terugreis van C naar A is tegen de stroom in
  en gaat met
• 5-4 1 m/s. De terugreis duurt dus 901
  90 s.
• De totale reisduur voor roeier 2 is dus 1090
  100 s.

B
4 m/s
90 m
4
P
Q
90 m
5
C
A
18
Is de lichtsnelheid absoluut?

• Licht reist door de ether met 300 000 km/s.
• Net als in het voorbeeld van de twee roeiers in
  de rivier maakt het voor de lichtsnelheid die je
  meet uit of het licht met de ether meebeweegt of
  juist niet.
• M.a.w. c moet wel relatief zijn en niet absoluut!
• Maar is dat ook zo?

19
Michelson-Morley 1881
Michelson en Morley splitsten een lichtbundel in
twee delen, en laten het ene deel loodrecht op
het andere deel reizen. Als de ene helft met de
ether mee zou bewegen, moest de andere helft wel
dwars op de ether bewegen. Net als bij de
roeiers in de rivier, verwacht je dat de ene
lichtbundel sneller dan reist dan de andere.
Maar dat bleek niet zo te zijn Dit alleen
betekent nog niet dat er geen ether bestaat het
kan zijn dat de Aarde stilstaat ten opzichte van
de ether.
20
Michelson-Morley (2)
Maar als het geval is, beweegt de Zon wel t.o.v.
de ether, want de Zon beweegt immers t.o.v. de
Aarde. Als je nu het Michelson en Morley
experiment een paar maanden laat duren, beweeg
je bijv. eerst van de zon af, en enkele maanden
later naar de zon toe
Positie Aarde nu
Zon
Positie Aarde 4 maanden geleden
Je kunt nu in plaats van een lichtbron op Aarde,
het licht van de Zon zelf gebruiken om c te
bepalen.
21
Michelson-Morley (3)
De snelheid van zonlicht blijkt hetzelfde te zijn
in verschillende jaargetijden. Het blijkt datc
onafhankelijk is van de snelheid van de bron
t.o.v. waarnemer!
Beweging tegen zonlicht in
Zon
Beweging met zonlicht mee
Blijkbaar is er niet zoiets als beweging ten
opzichte van de ether. Daarmee is het hele
bestaan van de ether niet meer nodig! Licht kan
gewoon door vacuüm reizen.
22
Einsteins postulaten

1. Absolute, rechtlijnige beweging kan niet worden
   vastgesteld. Galileis boot!
2. De lichtsnelheid is onafhankelijk van de snelheid
   van de bron alle waarnemers in verschillende
   inertiaalstelsels meten dezelfde waarde voor c.

23
Galileï Transformatie

• Hoe vertaal je een ruimte-tijd meting van
  waarnemer S
• naar die van een tweede waarnemer S ?
• S meet (t, x, y, z) en S meet (t, x, y, z).
• Hun onderlinge snelheid is v m/s, langs de x-as,
• en op t 0 vallen hun coördinaat-oorsprongen
  samen.
• (zie Fig. 39-2, p. 1270). We proberen dus als
  transformatie
• (als vertaling van de meting van S naar die van
  S)
• t t, x x v t , y y, z z,
• Snelheid van een voorwerp volgens S is dx/dt
  ux ,
• Snelheid volgens S is ux dx/dt dx/dt v
  ux v.

24
Galileï Transformatie (2)

• Snelheid volgens S dx/dt ux,
• Snelheid volgens S ux ux v
• Versnelling volgens S is ax dux/dt
  dux/dt
• Versnelling volgens S is ax dux/dt
• Conclusie S en S meten verschillende snelheden
  van
• een voorwerp maar wel dezelfde versnelling!

25
Lorentz Transformatie

• Snelheid volgens S dx/dt ux,
• Snelheid volgens S ux ux v.
• Alhoewel dit in overeenstemming is met onze
  alledaagse
• metingen, is het strijdig met Einsteins
  postulaten
• S meet c voor de lichtsnelheid, net als S
• en niet c v !
• Blijkbaar is de Galileï-transformatie niet
  algemeen
• geldig

26
Lorentz Transformatie (2)

• We proberen een andere vertaling, nl.
• x g (x vt ) met als inverse
• x g (x - vt)
• De factor g moet nu bepaald worden. Beschouw een
• lichtpuls langs de x-as vanuit de oorsprong van S
  
• op t 0. Op t t 0 vallen de beide
  coördinaat-
• oorsprongen samen. Dus S ziet een lichtpuls in
  zijn
• oorsprong op t 0. Beiden meten iets later de
  positie
• van het licht
• S meet x ct dus ct g (ct vt)
  g (c v) t
• S meet x ct en ct g (ct - vt)
  g (c - v) t

27
Lorentz Transformatie voor x

• ct g (c v) t
• ct g (c - v) t

Elimineer ct/ t om g te bepalen
Ga na
Nu weten we het transformatiegedrag van x
28
Lorentz Transformatie voor t
Los de laatste uitdrukking op voor t in termen
van x en t.
Ga na!
29
Transformatie van Ruimte en Tijd

• De coördinaat x hangt af van x en t. Hetzelfde
  geldt
• voor het tijdstip t. Ruimte en tijd zijn nu
  gekoppeld
• (ruimtetijd ).
• Tijdstippen en posities zijn niet meer absoluut,
  
• maar relatief.

30
De Inverse Transformatie
Voorwaartse Lorentz transformatie, van S naar
S.

• De inverse transformatie (die van S naar S)
  volgt door
• het teken van v om te draaien

Alternatief druk x en t ieder uit in x en t
mbv. de voorwaartse transformatie. Ga na.
31
Tijdsduren en Lengtes
De operationele definitie van de tijdsduur van
een proces zegt dat je dat bij aanvang van het
proces een tijdsmeting doet (t1 voor S, t1 voor
S), en een tweede meting bij afloop van het
proces (t2 voor S, t2 voor S). Ook doen beiden
een positiemeting van de twee events event 1
aanvang proces, event 2 afloop proces. De
tijdsduur Dt t2- t1. Hoe transformeert deze
tijdsduur?
Conclusie het transformatiegedrag van een
tijdsduur is hetzelfde als dat van een tijdstip.
Hetzelfde geldt ook voor afstanden Ga na.