vwo a/c deel 2

1
vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 7
2
? ? ? lt ? ? ?
Intervallen
?
?
a -8 x lt 3 -8 , 3 b 4 lt x
4½ 4 , 4½ c 5,1 x 7,3 5,1 7,3
d 3 lt x p 3 , p
l
l
-8
3
?
?
l
l
4
4½
?
?
l
l
5,1
7,3
?
?
l
l
3
p
7.1
3
Oneindige intervallen
a x 4½
?
l
? , 4½
4½
b x gt -8
?
-8 , ?
l
-8
7.1
4
Stijgen en dalen
constante stijging
toenemende stijging
afnemende stijging
constante daling
toenemende daling
afnemende daling
7.1
5
Toenamendiagram

• De toenamen en afnamen van een grafiek kun je
  verwerken in een
• toenamendiagram
• 1 kies een stapgrootte
• 2 bereken voor elke stap de toename of afname
• 3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag
  bij afname
• 4 teken het staafje bij de rechtergrens
• 5 bv. toename van 3 ? 4 teken je het staafje
  bij 4

7.1
6
.
.
.
y
.
.
voorbeeld
.
.
.
x
0
7.1
7
Gemiddelde veranderingen
N
?t
rechts
?
?N
omhoog
N2 N1 ?N
N2
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid ?N
?t
?N
?
N1
?t
0
t1
t2
t
t2 t1 ?t
7.2
8
.
Het differentiequotiënt van y op het interval
xA,xB is
y
B
.
yB
f(b)
?y
?y
A
yA
f(a)
?x
x
0
xA
a
xB
b
?x
differentiequotiënt ?y ?x gemiddelde
verandering van y op xA,xB r.c.
hellingsgetal van de lijn AB
?y yB yA f(b) f(a) ?x xB
xA b - a


7.2
9
Gemiddelde snelheid

• In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s
  uitgezet tegen de tijd t
• Bij een tijd-afstandgrafiek geeft het
  differentiequotiënt op a,b de
• gemiddelde snelheid op a,b
• de gemiddelde snelheid is

?s ?t
7.2
10
?K K(b) K(a) ?P P(b) P(a)


voorbeeld
a gemiddelde snelheid op -6,-4 is ?K 4 12
-8 ?P -4 - -6 2 ?K ?P -8 2
-4 gemiddelde snelheid op -2,2 is ?K 6 6
0 ?P 2 - -2 4 ?K ?P 0 4
0 b differentiequotiënt op -5,0 is ?K 0 4
-4 ?P 0 - -5 5 ?K ?P -4/5
differentiequotiënt op -5,2 is ?K 6 4
2 ?P 2 - -5 7 ?K ?P 2/7
12
6
6
6
4
4
0
-6
-4
-2
2
-5
0
-5
2
7.2
11
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

• bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule
  bekend is,
• benader je de snelheid op het moment t a door
  het
• differentiequotiënt te berekenen op een klein
  interval
• a , a ?t met bijvoorbeeld ?t 0,001

7.3
12
.
.
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen ,hoe meer de
lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt.
.
.
.
Snelheid, raaklijn en helling
s
tijd-afstand grafiek v.b. s -t² 10t Bereken
de gemiddelde snelheid op 2,5,2,4, 2,3 en
2,2½. ?s 25 16 ?t 5 2 ?s
24 16 ?t 4 2 ?s 21
16 ?t 3 2 ?s 18,75 16 ?t
2,5 2 De lijn AB4 komt het dichtst bij de
lijn die grafiek A raakt.
25
B1
B2
B3
20
B4
A

3 m/s
15
4 m/s

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t
a gelijk aan de rc van de raaklijn van de
grafiek in het bijbehorende punt.
10
k
5 m/s

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A.
5
5,5 m/s

t
0
1
2
3
4
5
7.3
13
dydx voor x is xA
voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er
de notatie

y
k
dy dx
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
xxA
A

• rc. van de raaklijn van de grafiek in A
• helling van de grafiek in A
• snelheid waarmee y verandert voor x xA

x
O
xA
7.3
14
7.3
15
Het opstellen van de formule van een raaklijn
voer in y1 x² x 2 stel k y ax
b met a -1 dus k
y -x b f(-1) -2 dus A(-1, -2) -2 - -1
b -2 1 b -3 b k y -x - 3

dy dx
x -1
7.3
16
top v.d. grafiek ? helling is 0 ? hellinggrafiek
snijdt de x-as
y
Hellinggrafieken schetsen
top
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de
helling van de grafiek in het bijbehorende punt
toevoegen.
stijgend
dalend
stijgend
x
top
O
stijgend deel v.d. grafiek? positieve hellingen ?
hellinggrafiek boven de x-as
helling
dalend deel v.d. grafiek? negatieve hellingen ?
hellinggrafiek onder de x-as
pos.
pos.
overgang van toenemende daling naar afnemende
daling is de helling maximaal ? laagste punt
x
O
0
0
laagste punt
7.3
17
Hellinggrafiek plotten

• m.b.v. GR
• TI ? MATH MATH - menu
• optie nDeriv
• Casio ? OPTN CALC menu
• optie d/dx
• vb. voer in y1 0,1x4 x2 x 8
• en y2 nDeriv(y1,x,x) (op de TI)
• of y2 d/dx(y1,x) (op de
  Casio)

7.3
18
De afgeleide functie

• bij een functie hoort een hellingfunctie
• i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam
  afgeleide functie
• of afgeleide gebruikt
• notatie f (f-accent)
• regels voor de afgeleide
• f(x) a geeft f(x) 0
• f(x) ax geeft f(x) a
• f(x) ax² geeft f(x) 2ax

7.4
19
de afgeleide van f(x) axn

• f(x) ax3
• f(x) 3ax²
• g(x) ax4
• g(x) 4ax3
• h(x) ax5
• h(x) 5ax4
• algemeen geldt
• k(x) axn
• k(x) n axn-1
• somregel van het differentiëren
• f(x) g(x) h(x)
• f(x) g(x) h(x)

oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 3)
7.4
20
Vergelijking van raaklijn met behulp van de
afgeleide
Je weet dat de afgeleide f aan elke x de helling
in het bijbehorende punt van de grafiek van f
toevoegt. of f(x) is de rc van de raaklijn in
het bijbehorende punt. algemeen f(a) is de rc
van de raaklijn van de grafiek van f in het punt
A(a,f(a)).
y
f
k
A
x
O
xA
yA f(xA) rck f(xA)
7.4
21
Notaties voor de afgeleide

• notaties voor de afgeleide van y f(x) zijn
• f(x)
• (f(x))

dy dx
d dx
df(x) dx
7.5
22
Het algebraïsch berekenen van maxima en minima
y
f(x) 0
top
f(x) lt 0
f(x) lt 0
stijgend
dalend
dalend
x
O
f(x) gt 0
top
werkschema het algebraïsch berekenen van maxima
en minima 1 bereken de afgeleide 2 los
algebraïsch op 0 3 schets de
grafiek kijk in de schets of je met een max. of
een min. te maken hebt 4 bereken de extreme
waarde door de gevonden x-waarde in de formule
van y in te vullen
dy dx
dy dx
7.5