C

1
CÔNICAS
2
CLASSIFICAÇÃO DE CÔNICAS
3
CÔNICAS NÃO DEGENERADAS
4
CÔNICAS

• Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas
  que são obtidas da intersecção de um cone
  circular com um plano.

5
(No Transcript)
6
(No Transcript)
7
(No Transcript)
8

• Vamos definí-las como conjunto de pontos que
  satisfazem certas propriedades e determinar as
  equações na forma mais simples.

9
ELIPSE
10
DEFINIÇÃO

• Dados dois pontos F1 e F2 chamamos elipse o
  conjunto dos pontos P do plano tais que
  d(P,F1)d(P,F2)2a.

11
ELIPSE
Elipse é o conjunto dos pontos P (x, y) tais
que d(P, F1) d(P, F2) 2a
12
ELIPSE
13
Elementos da Elipse

• Focos são os pontos F1 e F2,
• Distância Focal é a distância 2c entre os focos,
• Centro é o ponto médio C do segmento F1F2,
• Vértices são os pontos A1, A2, B1 e B2,
• Eixo maior é o segmento A1A2 de comprimento 2a (
  o segmento A1A2 contém os focos e os seus
  extremos pertencem a elipse),
• Eixo menor é o segmento B1B2 de comprimento 2b
  (B1B2 ? A1A2 no seu ponto médio).
• Excentricidade é o número e dado por ec/a. Como
  clta, temos 0ltelt1.

14
Equação Reduzida da Elipse

• Eixo maior sobre o eixo dos x
• Eixo maior sobre o eixo dos y
• Relação fundamental

15
Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo
Maior Sobre o Eixo dos x

• Proposição 1. (a) A equação de uma elipse cujos
  focos são F1 ( - c, 0) e F2 (c, 0) é

16
Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo
Maior Sobre o Eixo dos x
a
c
17
Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo
Maior Sobre o Eixo dos y

• Proposição 1. (b) A equação de uma elipse cujos
  focos são F1 (0, - c) e F2 (0, c) é

18
Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo
maior sobre o eixo dos y
a
c
19
OBSERVAÇÕES

• Como temos que
  .
• Então, sempre o maior dos denominadores da
  equação reduzida representa o número onde a é
  a medida do semi-eixo maior.
• E mais, se na equação da elipse o número é
  denominador de , a elipse tem seu eixo maior
  sobre o eixo x.

20
EXEMPLOS

• Determinar a medida dos semi-eixos, um esboço do
  gráfico, os focos e a excentricidade
• (a)
• (b)

21
EXEMPLOS

• 2. Deduza uma equação da elipse de focos
  F1 (-3, 0) e F2 (0, 4) e eixo maior 7.
• 3. Determine a equação da elipse que tem centro
  C(0,0), um foco F(3/4,0) e um vértice A(1,0).

22
APLICAÇÕES
A figura mostra os planetas girando em torno do
Sol. Foi o astrônomo e matemático Johannes Kepler
(1571-1630) que formulou 3 leis que regem o
movimento planetário. Uma delas diz que um
planeta gira em torno do Sol em uma órbita
elíptica com o Sol em um dos focos.
23
APLICAÇÕES

• No caso da Terra os semi-eixos são a
  153.493.000km e b 153.454.000 km. Donde podemos
  obter a excentricidade da órbita da Terra (quase
  uma circunferência)

24
APLICAÇÕES

• Arcos em forma de semi-elipse são muito
  empregados na construção de pontes de concreto e
  de pedras (desde os antigos romanos)

25
APLICAÇÕES

• Engenharia Elétrica conjuntos de elipses
  homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas
  na teoria de correntes elétricas estacionárias.
• Engenharia Mecânica são usadas engrenagens
  elípticas (excêntricos).

26
HIPÉRBOLE
27
DEFINIÇÃO

• Dados dois pontos F1 e F2 chamamos hipérbole o
  conjunto dos pontos P do plano tais que
• d(P,F1) - d(P,F2)2a (0lt2alt2c, 2c d(F1,F2) ).

28
Elementos da Hipérbole

• Focos são os pontos F1 e F2,
• Distância Focal é a distância 2c entre os focos,
• Centro é o ponto médio C do segmento F1F2,
• Vértices são os pontos A1 e A2,
• Eixo Real ou transverso é o segmento A1A2 de
  comprimento 2a,
• Eixo imaginário ou conjugado é o segmento B1B2
  de comprimento 2b,
• Excentricidade é o número e dado por ec/a. Como
  cgta, temos egt1.

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Equação Reduzida da Hipérbole

• Eixo real sobre o eixo dos x
• Eixo real sobre o eixo dos y

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Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo
Real sobre o eixo dos x

• Proposição 1. (a) A equação de uma Hipérbole
  cujos focos são F1 (- c, 0) e F2 (c, 0)
  é

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Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo
Real sobre o eixo dos x
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Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo
Real sobre o eixo dos y

• Proposição 1. (b) A equação de uma hipérbole
  cujos focos são F1 (0, - c) e F2 (0, c) é

33
Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo
Real sobre o eixo dos y
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Assíntotas

• As retas são chamadas assíntotas da
  hipérbole.
• São retas das quais a hipérbole se aproxima cada
  vez mais à medida que os pontos se afastam dos
  focos.

35
EXEMPLO

• 1. Determinar na hipérbole
• A medida dos semi-eixos
• Um esboço gráfico
• Os vértices
• Os focos
• A excentricidade
• As equações das assínotas

36
EXEMPLO

• 2. Determinar na hipérbole
• A medida dos semi-eixos
• Um esboço gráfico
• Os vértices
• Os focos
• A excentricidade
• As equações das assínotas

37
EXEMPLO

• 3. Encontre uma equação da hipérbole de focos
  F1(0,-5) e F2(0,5) e eixo real de medida 6.
• R
• 4. Encontre uma equação da hipérbole de focos
  F1(-2,1) e F2(1,3) e eixo real 2.
• R

38
APLICAÇÕES

• Recentemente, experimentos físicos mostraram que
  partículas carregadas atiradas em núcleos de
  átomos se espalham ao longo de trajetórias
  hiperbólicas.
• Mecânica Celeste dependendo de sua velocidade,
  um cometa tem uma órbita elíptica, parabólica ou
  hiperbólica (o foco coincide com o Sol).
• Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas
  referentes ao fluxo estacionário de eletricidade
  são utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo
  foco).

39
APLICAÇÕES

• O sistema LORAN (long range navigation) e o
  sistema DECCA de navegação aérea usam a
  hipérbole.
• Igualmente na navegação marítima utilizam-se
  sistemas hiperbólicos O sistema RADUX (de
  baixíssima freqüência) e o sistema LORAC (de
  ondas contínuas para observações de grande
  precisão).

40
APLICAÇÕES
41
PARÁBOLA
42
Parábola

• Dados um ponto F e uma reta d,
• com , seja p d(F,d). Chamamos parábola o
  conjunto dos pontos P do plano que são
  equidistantes de F e d, i. é., d(P,F) d(P,d).

43
Parábola
44
Elementos da Parábola

• Foco é o ponto F,
• Diretriz é a reta d,
• Eixo é a reta que passa pelo foco e é
  perpendicular à diretriz,
• Vértice é o ponto V de interseção da parábola
  com seu eixo,
• d(V,F)d(V,A)

45
Equação Reduzida da Parábola

• O eixo da parábola é o eixo dos y
• Se pgt0 a parábola tem concavidade voltada para
  cima e se plt0 a parábola tem concavidade voltada
  para baixo.

46
Equação Reduzida da Parábola

• O eixo da parábola é o eixo dos x
• Se pgt0 a parábola tem concavidade voltada para a
  direita e se plt0 a parábola tem concavidade
  voltada para a esquerda.

47
EXEMPLO

• 1. Achar as coordenadas do foco e a equação da
  diretriz das parábolas
• a)
• b)

48
EXEMPLO

• 2. Determine a equação da parábola sabendo que
• a) Vértice V(0,0) e foco F(-1,0)
• b) Vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-2,5) e
  concavidade voltada para cima.

49
APLICAÇÕES

• (a) A secção de um farol de automóvel tem o
  formato de uma parábola (a superfície espelhada é
  um parabolóide). A lâmpada situada no foco,
  quando acesa, emite raios luminosos que após
  incidirem sobre a parábola serão refletidos numa
  mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da
  parábola.

50
APLICAÇÕES

• (b) Se um espelho parabólico é apontado para o
  Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo da
  parábola) serão refletidos para o mesmo ponto
  (foco). Pela grande quantidade de calor produzido
  nesta fonte, procede o nome foco (em latim focus
  significa fogo).
• Aplica-se o mesmo princípio na construção de
  espelhos para telescópios, antenas de radar e
  antenas parabólicas (as ondas paralelas ao eixo
  da parábola, se refletem na antena e confluem
  para o retransmissor).

51
APLICAÇÕES

• (c) Em balística, quando se lança um projétil
  sobre o qual atua somente a força da gravidade, a
  trajetória é uma parábola.

52
TRANSLAÇÃO DE EIXOS
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Translação de Eixos

• Consideremos no plano cartesiano xoy um ponto
  o(h,k), arbitrário.
• Vamos introduzir m novo sistema xoy tal que
  os eixos ox oy tenham a mesma unidade de
  medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos
  eixos ox e oy.
• Nestas condições, um sistema pode ser obtido do
  outro, através de uma translação de eixos.

54
Translação de Eixos

• Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas
  coordenadas são
• x e y em relação ao sistema xoy,
• x e y em relação ao sistema xoy.
• Pela figura anterior, obtemos
• xxh e yyk
• Ou
• xx-h e yy-k
• que são as fórmulas de translação e que permitem
  transformar coordenadas de um sistema para outro.

55
Translação de Eixos
56
Translação de Eixos
57
Translação de Eixos
58
Translação de Eixos
59
Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do
Sistema

• 1º Caso O eixo da parábola é paralelo ao eixo
  dos y.
• A equação da parábola de vértice V(h,k) é
• 2º Caso O eixo da parábola é paralelo ao eixo
  dos x.

60
Equação da Parábola na Forma Explícita

• Sabemos que a equação da parábola de vértice
  V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma
  padrão
• Uma equação nessa forma pode ser escrita como
• que é chamada forma explícita da equação da
  parábola cujo eixo é paralelo ao eixo dos y.
• Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x,
  sua equação na forma explícita é
• correspondente à forma padrão
  .

61
Exemplo

• 1. Determine a equação da parábola de foco em
  F(1,2) e diretriz dx5
• Observação Para completar o quadrado da
  expressão somamos o quadrado da metade
  do coeficiente de y, isto é, .
• 2. Determinar o vértice, um esboço gráfico, o
  foco e a equação da diretriz da parábola

62
Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do
Sistema

• 1º Caso O eixo maior é paralelo ao eixo x.
• A equação da elipse de centro C(h,k) é
• 2º Caso O eixo maior é paralelo ao eixo y.

63
Exemplo

• 1. Determinar o centro, os vértices, os focos e a
  excentricidade da elipse de equação

64
Equação da Hipérbole de Centro Fora da Origem do
Sistema

• 1º Caso O eixo real é paralelo ao eixo dos x.
• A equação da hipérbole de centro C(h,k) é
• 2º Caso O eixo maior é paralelo ao eixo y.

65
Exemplo

• 1. Determinar o centro, um esboço do gráfico,os
  vértices e os focos da hipérbole de equação

66
Exemplo

• 2. Obter a equação reduzida resultante de uma
  translação de eixos, classificar, dar os
  elementos e esboçar o gráfico da equação.
• A)
• B)
• C)

67
Equação Geral do Segundo Grau
68
Equação Geral do Segundo Grau
69
Equação Geral do Segundo Grau

70
Equação Geral do Segundo Grau
71
Equação Geral do Segundo Grau
72
Equação Geral do Segundo Grau

• Portanto o gráfico de uma equação do segundo grau
  pode ser
• Uma elipse
• Uma hipérbole
• Uma parábola
• Um par de retas
• Uma única reta
• Um ponto ou
• Conjunto vazio
• De 1 a 6 chamamos cônicas e de 4 a 6 cônicas
  degeneradas.

73
Proposição

• Proposição O gráfico de uma equação do 2º grau,
  isto é, o gráfico de uma equação da forma
• ax2 by2 cxy dx ey f 0,
• a, b ou c não nulo é uma cônica.

74
Sessões Cônicas
75
Sessões Cônicas
76
Sessões Cônicas
77
Sessões Cônicas
78
FIM