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TEMA VALORES , VECTORES PROPIOS Y
DIAGONALIZACIÓN
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• Competencias
• . Explica los conceptos de valores y vectores
  propios de
• una matriz cuadrada.
• . Explica los conceptos de polinomio
  característico
• y ecuación característica de una matriz.
• . Explica el concepto de base propia.
• . Explica el concepto de matriz diagonalizable.
• . Determina cuando una matriz es diagonalizable y
  hallar
• la matriz de transición necesaria para
  diagonalizarla.

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INTRODUCCIÓN
En muchas aplicaciones se requiere el cálculo de
potencias grandes de matrices (cadenas de
markov , crecimiento poblacional , análisis de
estructuras,etc) tales cálculos suelen ser
tediosos. Con información adicional acerca de la
matriz se puede facilitar el trabajo. Así tenemos
por ejemplo Calcúlese A6 , donde A
y si se sabe que A P
P -1 donde P y
P -1 como sería A6 ?
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VECTOR Y VALOR PROPIO
Definición
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POLINOMIO Y ECUACIÓN CARACTERÍSTICA
SEA A
y SEA V NO NULO,
nx1
nxn
AV V entonces
Tal que
polinomio característico
P( ) det ( A- I)
ecuación característica
det ( A - I ) 0
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CONJUNTO DE VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ
SEA UN VALOR PROPIO DE A EL
CONJUNTO
nxn
CONTIENE TODOS LOS VECTORES PROPIOS DE A
CORRESPONDIENTES AL VALOR PROPIO

observe que los v son las soluciones del sistema
homogéneo (A - I)V0
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PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS
VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ 1.
Se halla los valores propios que son las raíces
1, 2 ,..., n de p( ) det(A- I ) 0
2. Para determinar los vectores propios se
resuelve el sistema homogéneo (A- I)v 0,
correspondiente a cada valor propio i ( son
los vi )
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EJEMPLO Hallar los valores y vectores propios
de A
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BASE PROPIA DE Rn
Definición
Se llama base propia de Rn respecto a la
transformación lineal T a una base de Rn formada
por los vectores propios de T.
Teorema El conjunto de vectores propios
correspondientes a valores propios distintos es
linealmente independiente.
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MATRIZ DIAGONALIZABLE
Definición
Una matriz A de nxn es diagonalizable si existe
una matriz C tal que A CDC-1, donde D es una
matriz diagonal.
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TEOREMA Una matriz A de nxn es diagonalizable
si y sólo si tiene n vectores propios linealmente
independientes.En tal caso la matriz diagonal D
semejante a A está dada por

D

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Donde 1 , 2, 3,..., n son
los valores propios de A , y C es una
matriz cuyas columnas son los vectores propios
linealmente independientes de A,entonces

DC-1AC
Matriz de transición
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Nota
Para que una matriz cuadrada A sea
diagonalizable basta que esta posea una base
propia.
Corolario Si la matriz A de nxn tiene n valores
propios diferentes, entonces A es
diagonalizable.
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CONCLUSIONES

• Una matriz A es diagonalizable si existe
• C tal que C-1 A C D , donde D es
• diagonal

• La matriz C que diagonaliza a A esta
• formada por vectores de una base propia
• de A en sus columnas.

• Para que A sea diagonalizable basta con
• que posea una base propia.