Introdu

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Introdução ao ?-calculus

• Prof. Gustavo MottaDepartamento de
  Informática/UFPB

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Sumário

• Redução-? e igualdade
• Teorema de Church-Rosser

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Redução-? e igualdade

• A regra-?
• (?) (?x.P)Q ? Q / xP
• Para x, P e Q arbitrários, a expressão-? (?x.P)Q
  é chamada de ?-redex e o lado direito é chamado
  contractum
• O contractum de um ?-redex é, em geral, mais
  simples que o próprio ?-redex
• (?x.x)Q ? Q (?x.y)Q ? y
• mas
• (?x.(x)x)?x.(x)x ? ?x.(x)x / x(x)x ?
  (?x.(x)x)?x.(x)x
• ou seja, o contractum é ?-congruente com o
  próprio ?-redex

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Redução-? e igualdade

• Redução-?
• Definição A relação M ? N (leia M ?-reduz para
  N) é definida por indução como segue
• 1. M ? N se M ? N
• 2. M ? N se M ? N é uma instância da regra-?
• 3. Se M ? N para algum M e N, então para qualquer
  expressão-? E, (M)E ? (N)E e (E)M ? (E)N também
  valem
• 4. Se M ? N para algum M e N, então para qualquer
  variável x, ?x.M ? ?x.N também vale
• 5. Se M ? E e E ? N, então M ? N também vale
• 6. M ? N apenas para os casos especificados nos
  itens de 1 a 5

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Redução-? e igualdade

• M ?-reduz para N se N é obtido de M pela troca de
  uma parte de M com a forma (?x.P)Q pelo
  contractum Q / xP, ou N é obtido de M através
  de uma seqüência finita de dessas trocas
• A relação ? é reflexiva e transitiva, mas não é
  simétrica
• M ? N é invariante sob a conversão-?
• Definição - M é ?-conversível (ou apenas igual) a
  N, em símbolos M N, se e somente se M ? N, ou M
  ? N, ou N ? M, ou existe uma expressão-? E tal
  que M E e E N.

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Redução-? e igualdade

• Noção de igualdade definida de maneira puramente
  formal
• Não há referência ao sentido, ao significado
• Embora seja relevante para o significado
• O significado das expressões-? devem ser
  invariantes sob a conversão-?
• Como decidir se duas expressões-? são iguais ou
  não?
• Problema indecidível em geral
• A conversão-? representa um caso especial de
  extensional equality

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Redução-? e igualdade

• O processo de Redução-? visa simplificar as
  expressões-?
• Termina quando não há mais ?-redexes
• Noção de forma normal
• Diz-se que uma expressão-? está em forma normal
  quando não ocorre ?-redexes nela, i. e., quando
  não existe na expressão-? uma subexpressão com a
  forma (?x.P)Q
• Uma expressão-? em forma normal não pode mais ser
  reduzida
• É a mais simples dentre as expressões-? que são
  iguais a ela

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Redução-? e igualdade

• Atenção, podem existir expressões-? como
• (?x.(x)x)?x.(x)x
• para as quais a redução-? nunca termina
• Principal razão para a indecidibilidade da
  igualdade de expressões-? arbitrárias
• Para certas expressões-?, pode haver reduções-?
  que terminam assim como aquelas que não terminam
• Ressalva se existir pelo menos uma redução-? que
  termine, então diz-se que essas expressões-? têm
  uma forma normal

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Redução-? e igualdade

• Por exemplo, a forma normal da expressão
• (?y.(?z.w)y)(?x.(x)x)?x.(x)x
• é
• w
• apesar do fato de ela ter uma redução-? que não
  termina
• Caso uma expressão-? tenha pelo menos uma
  redução-? que termina, então pode-se encontrar
  tal redução de maneira simples, sem retrocesso

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Redução-? e igualdade

• Caso uma expressão-? tenha uma forma normal,
  então toda redução-? que termina resulta na mesma
  forma normal (sob ?-congruência)
• Em outras palavras, a ordem com que os ?-redexes
  são contraídos é irrelevante, desde que a redução
  termine
• Corolário do teorema de Church-Rosser

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Teorema de Church-Rosser

• Motivação
• Tendo-se um polinômio com duas variáveis x e y
• para calculá-lo, é indiferente a ordem com a
  qual substituem-se x e y por seus valores
• ou
• o resultado final não é afetado

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Teorema de Church-Rosser

• A ordem das substituições não afeta o resultado
  final, caso a substituição seja definida
  corretamente
• Para quaisquer expressões-?, P, Q e R, e
  variáveis x e y, tem-se que
• (?x.(?y.P)R)Q ? Q / x(?y.P)R ? (Q / x?y.P)Q
  / xR
• ? (?z.Q / xz / yP)Q / xR ? Q / xR / zQ
  / xz / yP
• Ao mesmo tempo, tem-se
• (?x.(?y.P)R)Q ? (?x.R / yP)Q ? Q / xR / yP
• De acordo com o teorema de Church-Rosser, ambos
  os resultados devem ser iguais

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Teorema de Church-Rosser

• Versão I
• Teorema Se E ? M e E ? N, então existe algum Z
  tal que M ? Z e N ? Z
• Corolário Se E ? M e E ? N, estando M e N em
  forma normal, então M ? N

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Teorema de Church-Rosser

• Versão II
• Teorema Se M N, então existe algum Z tal que
  M ? Z e N ? Z

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Teorema de Church-Rosser

• Versão II
• Corolário A Se N está em forma normal e M N,
  então M ? N
• Duas expressões-? iguais em forma normal são
  ?-congruentes
• Para duas expressões-? quaisquer, M e N, é sempre
  decidível se M ? N ou não

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Teorema de Church-Rosser

• Versão II
• Corolário B Se M N, então ambas M e N têm a
  mesma forma normal (sob ?-congruência) ou senão
  ambas não têm formal normal
• A questão da igualdade de expressões-? pode ser
  reduzida ao problema de decidir se elas têm ou
  não formas normais
• Infelizmente, não é decidível em geral

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Bibliografia

• Revesz, G. E. Lambda-Calculus, Combinators, and
  Functional Programming. Cambridge University
  Press, 1988.