TEMEL KURAM VE A

1
TEMEL KURAM VE AÇMAZLARIYLABILGISAYAR BILIMI
Yilmaz Kiliçaslan
2
Sunum Plani

• Hilbertin Problemi
• Hilberte Yanitlar
• Bilgisayar Bilimi
• Bilgisayim Kurami
• Enformasyon Kurami
• Hesaplanabilirlik
• Sayilabilir Kümeler
• Sayilamaz Kümeler
• Karmasiklik
• Verimli Hesaplama
• Chomsky Hiyerarsisi

DIGER BILIMLERLE ILISKISI IÇINDE BILGISAYAR
BILIMI
3
Hilbertin Problemi (1928)
Formel Dil
ALGORITMA ?
Dogru / Yanlis
Matematiksel Ifade (Önerme)
Algoritma Bir problemi sonlu sayida adimla etkin
(mekanik) olarak çözen yöntem.
4
Hilberte Kötü Haberler

• Aritmetik Sistemlerin Eksikligi (Kurt Gödel)
• (Incompleteness of Systems of Arithmetic)
• (Birinci Dereceden Yüklem) Mantiginda Karar
  Verilmezlik (Alonzo Church)
• (Undecidability of (First Order) Logic)
• Dogrulugun Tanimsizligi (Alfred Tarski)
• (Undefinability of Truth)
• Fonksiyonlarin Hesaplanamazligi / Durma Problemi
  (Alan Turing)
• (Uncomputability of Functions / Halting Problem)

5
Gödelin Eksiklik Teoremi

• Gödel Yalancinin Paradoksunu asagidaki sekilde
  degistirdi
• Bu önerme ispatlanabilir degildir.
• Aritmetigin her tutarli biçimsellestirilmesi için
  öyle aritmetik dogrular vardir ki, bunlar bu
  biçimsel sistem içinde ispatlanabilir degillerdir.

6
Durma Problemi
Program
ALGORITMA (BILGISAYIM MODELI) ?
Durur / Durmaz
Input
Alan Turing 1936da, Durma Problemini bütün
program-input çiftleri için çözebilecek genel bir
algoritmanin olmadigini ispatlamistir.
7
Tipik Matematiksel Bilgisayim Modelleri

• Durum Modelleri
• Sonlu Durum Otomatlari
• Bask-Birak Otomatlari
• Turing Makineleri
• etc.
• Lambda Calculus gibi fonksiyonel modeller
• Mantik programlama gibi mantiksal modeller

8
Bilgisayar Bilimi

• Bilgisayim Kurami
• Enformasyon Kurami

9
Hesaplanabilirlik

• Sayilabilir Kümeler
• Sayilamaz Kümeler

10
Sayilabilir Kümeler

• Tamsayilar
• Rasyonel Sayilar

11
Sayilamaz Kümeler

• Reel Sayilar
• Karmasik Sayilar

12
Karmasiklik

• Verimli Hesaplama (Efficient Computation)
• NP Problemleri
• Üstel Patlama

13
Verimli ve Verimsiz Algoritmalar

• Verimli algoritmalarin zaman karmasiligi
• O(n)
• O(nlogn)
• O(n10)
• vs.
• Verimsiz algoritmalarin zaman karmasiligi
• O(nlog n)
• O(2n)
• O(n!)
• vs.

Çok terimli (Polynomial)
Bir c sabiti için O(nc)
Çok terimli degil
14
"Iyi Algoritmalar"

• An explanation is due on the use of the words
  "efficient algorithm"I am not prepared to set up
  the machinery necessary to give it formal
  meaning, nor is the present context appropriate
  for doing thisFor practical purposes the
  difference between algebraic and exponential
  order is more crucial than the difference between
  computable and not computable (Paths, Trees
  and Flowers, Jack Edmonds, 1965)

15
P versus NP

• NP contains lots of problems we dont know to be
  in P
• Classroom Scheduling
• Packing objects into bins
• Scheduling jobs on machines
• Finding cheap tours visiting a subset of cities
• Allocating variables to registers
• Finding good packet routings in networks
• Decryption

Hence proving P NP would break cryptosystems
16
Kaynak
Computers and Intractablity A guide to the
Theory of NP-completeness by Mike Garey and David
Johnson
17
Chomsky Hiyerarsisi
Otomatlar
Diller
Turing Machine
TIP 0
R.E.
TIP 1
Baglama-duyarli
ATN
TIP 2
Baglamdan-bagimsiz
RTN
Düzenli Diller
TIP 3
FSA
18
Bir Kognitif Hiyerarsi Denemesi
Bilissel Yetiler
Bilissel Araçlar
Akil
Mantik
Turing Machine
ATN
Anlam
Semantik
RTN
Bellek
Sentaks
Morfoloji
FSA
Özyineleme
19
En Kisa Özet

• Bilgisayar Bilimi
• Bilgisayim ve
• Enformasyon
• kuramlarini içerir.
• Bilgisayim Kurami
• Hesaplanabilirlik ve
• Karmasiklik
• alt kuramlarini barindirir.