Prospect Theory: An Analysis of Decision Under Risk

1
Prospect Theory An Analysis of Decision Under
Risk

• Kamil Janus

2
Expected Utility Theory

• Mamy zbiór aktywów X (x1p1,xn,pn)
• p1 pn 1, pi gt 0
• Oczekiwana uzytecznosc U(x1p1,xn,pn) u(x1)p1
  u(xn)pn
• u(x) lt 0 funkcja uzytecznosci wypukla w
  przypadku awersji do ryzyka

3
Paradoks Allaisa

• Która inwestycje wybierzesz?
• A B
• a 100 na wygranie 1mln c 11 na wygranie
  1mln
• 89 brak wygranej
• b 89 na wygranie 1mln d 10 na wygranie
  5mln
• 10 na wygranie 5mln 90 na brak
  wygranej
• 1 na brak wygranej

4
Paradoks Allaisa cd.

• Wedlug teorii uzytecznosci
• 1.00U(1m) gt 0.89U(1m) 0.01U(0) 0.1U(5m)
• 0.89U(0) 0.11U(1m) lt 0.9U(0) 0.1U(5m)
• Przeksztalcamy drugie równanie
• 0.11U(1m) lt 0.01U(0) 0.1U(5m)
• 1U(1m) - 0.89U(1m) lt 0.01U(0) 0.1U(5m)
• Ostatecznie uzyskujemy sprzecznosc
• 1U(1m) lt 0.01U(0) 0.1U(5m) 0.89U(1m)

5
Efekt odbicia

• Która inwestycje wybierzesz?
• A B
• a 100 na wygranie 20 c 100 na strate 20
• b 33 na wygranie 60 d 33 na strate 60
• 67 na brak wygranej 67 na brak
  straty

6
Ubezpieczenie probabilistyczne

• Mozesz wykupic polise od wlamania, gdzie
  placisz polowe zwyklej stawki. W momencie, kiedy
  zostaniesz obrabowany masz 50 szans (np.
  warunek, ze wlamanie wystapilo w dzien parzysty),
  ze doplacisz druga polowe i dostaniesz pelne
  odszkodowanie oraz 50 szans, ze dostaniesz
  wplacone skladki, ale nie dostaniesz
  ubezpieczenia. Dodatkowo odszkodowanie jest tak
  male, ze wlasciwie nieoplacalne.

7
Ubezpieczenie probabilistyczne

• Co mówi na to teoria uzytecznosci?
• y premia za ubezpieczenie
• w wartosc ubezpieczanego aktywa
• x strata
• p prawdopodobienstwo straty
• ry premia za ubezpieczenie probabilistyczne
• (1-r)p prawdopodobienstwo straty w przypadku
  ubezpieczenia probabilistycznego, gdzie 0ltrlt1
• Dodatkowy warunek jesli jest nam wszystko jedno
  czy poniesiemy strate czy zaplacimy skladke
  ubezpieczeniowa to wybieramy Ubezpieczenie
  Probabilistyczne

8
Ubezpieczenie probabilistyczne

• pu(w-x)(1-p)u(w)u(w-y) prowadzi do
• (1-r) pu(w-x)r(1-p)u(w)gtu(w-y)
• Zakladamy, ze u(w-x)0 i u(w)1
• rp(1-p)(1-p)u(w-ry)gt1-p lub u(w-ry)gt1-rp

9
Teoria perspektywy

• Dwie fazy podejmowania decyzji
• Pierwotna
• Kodowanie kategorie zysku i straty
• Kombinacja (200,.25200,.25) ? (200,.50)
• Segregacja (300,.80200,.20)
• Kasacja - 200,.20100,.50-50,.30) i
  (200,.20150,.50-100,.30) ?(100,.50-50,.30) i
  (150,.50-100,.30)
• Wtórna
• Funkcja Wag pi(p), która przyporzadkowuje
  prawdopodobienstwo danej decyzji
• Funkcja Wartosci v(x), która odzwierciedla
  wyplaty

10
Teoria perspektywy

• Uogólnione równanie teorii uzytecznosci
• V(x, p y, q) pi(p)v(x)pi(q)v(y), gdzie
• p, q prawdopodobienstwa
• x, y wyplaty
• v(0)pi(0)0, pi(1)1.

11
Funkcja Wartosci
12
Funkcja Wag
13
Podsumowanie

• Rozwazmy nastepujacy problem
• Dwóch inwestorów
• A majatek zmniejszyl sie dzis z 4mln do
  3mln
• B majatek wzrósl z 1mln do 1.1mln
• Kto jest bardziej zadowolony ze swojego stanu
  posiadania?
• Kto jest dzis szczesliwszy?