i.1 ?????????? ???????????? ??????????? ? ?????? ?????????????? ?????? A = { ,

1
??????????????????????????????

• ?. ?. ??????, ?. ?. ???????
• ??? ??. ?.?. ??????????

2
I. ???????????? ??????????

• i.1 ?????????? ???????????? ??????????? ? ??????
  ?????????????? ?????? A ,Ч,R
• ??? ?????????? ?????????? ??????? n ??????????
• n ?????????? ????????
• n/2O(1) ?????????
• ?(n1/2) ??????????? ????????
• ??? ?????? ??????????? (Motzkin, ???, ??????
  1950-? ??.
• Paterson, Stockmeyer 1973)

3
I. ???????????? ??????????

• i.2 ?????? ?????????? ?????????? ?? n/2O(log n)
  ????????? (????? ?????????)
• ???? ????? f(x) ????????????? ?????????
  ??????? 2k1 1
• ????? f(x) (x2k a) f0(x)
  f1(x), (1)
• ??? f0(x), f1(x) ????????????? ??????????
  ??????? 2k 1
• ?????????? (1) ???????? ? f0(x), f1(x) ? ?.?.
• ????????? (?) ??????????? ??????? x2k , x2k-1 ,
  , x2 ??????????? ?? k ????????? (??????????
  ????????)
• (?) ???? ??? ?????????, ??
  ????? ????????????? ????????? ??????? 2m 1
  ??????????? ?? 2m-1 1 ????????? (???????? ??
  (1))

4
I. ???????????? ??????????

• i.3 ?????? ?????????? ?????????? ?? 2n1/2
  ??????????? ?????????
• ???? ????????? f(x) ??????? rs 1
  ?????????????? ? ????
• f(x) ((( f0(x) xr f1(x)) xr ) xr
  fs-1(x), (2)
• (????? ???????) ??? fk(x) ?????????? ??????? r
  1
• (?) ??????? x2 , x3 , , xr ??????????? ?? r 1
  ??????????? ????????? ?????????? fk(x)
  ?????????? ??? ???????? ?????????? ???? ????????
  
• (?) ??? ?????????? ?????????? ?? ??????? (2)
  ?????????? ????????? ??? s 1 ????????? ?? xr

5
I. ???????????? ??????????

• i.4 ??????????? ?????? ??????
• ? 70-90-? ??. StraЯen ? ??? ??????? (von zur
  Gathen, Heintz, Schnorr, StoЯ, Baur, Halupczok, ?
  ????? Sieveking, van de Wiele) ????????? ???????
  ?????????? ???????????, ??????? ?????????,
  ??????? ? ??????????? ?????????. ????????????
  ????? ???????????, ??? ???????, ?????????????
  ??????????? ???????????? ??? ?????? ????????
  ???????????? ?????. ??????? ??????? ???????????
• S pi1/2 xi S 22i xi S ir
  xi
• ????? pi ? P, r ? Q / Z

6
I. ???????????? ??????????

• i.5 ??????????? ?????????
• 
  xi x2i
• ????????????? ??????? ??????????? ????????????
  ????? ???????????? ????? ?????????? ??????? 2n1
  ? ??????????????? (????????? ?? ??????
  ??????????) ???????????? n ??????????
• ??????? ???? f(x) ????????????? g(x0 , , xn-1)
  , ??
• L(f) L(g) n 1

7
II. ?????????? ?????????

• ii.1 ??????????????? ?????????? ??????????, ?.?.
  ? ???????????????? ????????????? ??????????????,
  ? ????????? ?? ?????????? ??? ??????????
  ?????????????? ??????? A ,Ч,R.
  ?????????????? ???????? ?????? ?????????? ???????
  ??????????? ? ?????????????? 0 ? 1
• ii.2 ?????????????????? ?????? ??????
• ?????? ??????????????????? ?????? ?????? ????????
  ??? ??????????????????? ?????????? ???????
  k-????? ? ?????
• CLn,k S ?
  xis, it
• 1 i1 lt lt ik n 1 s lt t k
• L(CLn,k) Cnk 1 , ? ?????????,
  L(CLn,n/2) 2n-o(n)
• Schnorr 1976

8
II. ?????????? ?????????

• ?????? ?????? ?????? ?????? ???? 2O(vn) ???
  ?????????????? ??????????? n ?????????? ? ??????
  80-? ??. ???????? Valiant, Jerrum, Snir
• ii.3 ???????????????? ?????? ??????
• 2n/2 1 ?????-???? 1983
• O(22n/3) ?????? 1987
• 2n-o(n) ??????, ??????? 2010
• (????? ????????)

9
III. ????? ?????? ????????

• iii.1 ???. ???????????? M ?????????????
  ?????????? (G, ) ?????????? (k, l)-??????, ???
  kl, ???? ??? ????? ??????????? A, B ? G, ?????,
  ??? Ak ? Bl ?????????
• A Ч B ab a ? A, b ? B ? M
• ??? kl ?????????? ?????? k-?????? ????????????.
• ?????? ???????????? 0, 1, 3 ? (Z7, )
  ???????? 2-??????
• ???. ????? f ????????? n ??????????. ?????
• mon f ? (N ? 0)n ????????? ??????-????????
  ??? ???????.

10
III. ????? ?????? ????????

• iii.2 ???????? ???????
• ????? k1 ? mon f (k, l)-?????? ???????????? (N
  ? 0)n,
• L(f) ?????????? ?????????? ?????????
  ?????????? f,
• LЧ(f) ????????????????? ?????????? ????????? f,
• a(k) ?????????? ????? ??????? ???????? ????? k
  1, ?? ???? ?? ??????? ?? ????? ??????????
  ?????????? ??????.
• ????? h max (k 1)3, (l 1)2 .
• ????? (i)
  L(f) h-1 mon f 1
• (ii) LЧ(f) Ck, l mon f
  a(k)/(2a(k)-1) n 2
• ? ?????????, LЧ(f) O( mon f 2/3) ??? kl2
• ? LЧ(f) O( mon f 3/5) ??? kl3.
• ??? ?????? ?? ??????? ???????????
  ?????? 1987

11
III. ????? ?????? ????????

• iii.3 ??????? 2- ? 3-?????? ???????? ???????
  ????????
• 1. 2-?????? ???????????? Zn ???????? n1/2
• ????????? ?.?. ????????? 1979
• ????? np(p1), p?P, ? ??????????? ???????
  ????????????????? ?????? ???? Zp. ?????
• M si i 0, , p-2 , ??? si i
  mod (p-1), si ?i mod p
• ????????? ??????? 1938
• ????? nq2q1, q ??????? ???????? ?????, ?
  ??????????? ??????? ???? GF(q3). ????? GF(q)
  ?1, , ?q . ?????
• M 0 ? si ?si / (? ?i) ? GF(q), i1,
  , q

12
III. ????? ?????? ????????

• ???. Em 0, , m-1 .
• 2. 2-?????? ???????????? Emn ????????
  mn/2
• ????? q pk, p?P\2. ?????
• M (x, x2) x ? GF(q) ? GF(q2) ? Ep2k
• ????? q 2k. ?????
• M (x, x3) x ? GF(q) ? GF(q2) ? E22k
• 3. 3-?????? ???????????? Emn ????????
  m2n/3
• ????????? ?????? 1966
• ????? q pk, p?P\2 ? ? ???????????? ???????
  ? GF(q). ?????
• M (x, y, z) x2 y2 z2 ?, x, y, z ?
  GF(q) ? GF(q3) ? Ep3k

13
III. ????? ?????? ????????

• iii.4 ????????? ??? ????????? ???????????
• ????? ?????????? ??????? ????????? f ?? n
  ?????????? ??????? ?? ???? m 1 ?? ??????
  ??????????, ?????, ??? (??? ????????????
  ???????????? ?? m ? n)
• L(f) (1 o(1))mn/2 LЧ(f) (2
  o(1))mn/3
• (???? ? ???????? mon f ?????????? ??????????
  2-?????? ?????????) ???
• L(f) (1/8 o(1))m2n/3 LЧ(f) (2-4/5
  o(1))m2n/5
• (???? ? ???????? mon f ?????????? ??????????
  3-?????? ?????????)
• (? ???????? ?????? ? ?????-???? 2-??????
  ?????????)

14
III. ????? ?????? ????????

• ???? (Erdцs, Spencer 1974) ????? (k, l)-??????
• ???????????? M ? Emn ????? ???????? Ok,
  l(mn(1-1/k))
• iii.5 ?????? ????????? ????????????? ????????
• ????????? ???????-??????-???? 1996
• ? ?????? (GF(qt), ) ????????? ?????????
  ????????? ?????
• M x x(qt-1)/(q-1) 1, x ? GF(qt)
• ???????? (t, t!1)-?????? ????????????? ? ?????
• ???????? (qt 1)/(q 1).

15
III. ????? ?????? ????????

• iii.6 ????? 1
• ????? ?s, t, m Emst ? E s(2m-1)t
• ??????? ??????????? ???????????
• ?s, t, m ( , ait , , aitt-1 , ) ( ,
  ait , , aitt-1 2m-1 , )
• ????? ???? M ? Emst ???????? (k, l)-??????
  ?????????????, ??
• ?s, t, m(M) ? E s(2m-1)t ????? ???????? (k,
  l)-??????
• ?????????????.
• ak , , a0 m ((ak m ak-1)m )m a0
  (?????? ????? ? ??????? ????????? ? ?????????? m)

16
III. ????? ?????? ????????

• iii.7 ???????? ????????? (?? ???????? ??????? ?
  ??????????? ??????? 1)
• ????? m 2 ? n 1. ????? ?????????? ???????
  ????????? f ?? n ?????????? ??????? ?? ???? m 1
  ?? ?????? ??????????, ?????, ??? ??? mn ? 8
• L(f) m n (1 - o(1)) LЧ(f) m n (1/2 -
  o(1))
• ??? ?????? ? ????? ???? ??? ???????????.

17
IV. ?????????? ? ???????????? ?????????

• iv.1 ??????? ??????????? ????? ?????????? L(f) ?
  ?????? ?????? A ,Ч,R ? ?????????? LM(f) ?
  ?????????? ??????
• A ,Ч,R
• f ?????????????? ?????????? n ??????????
• L(f) nO(1) LM(f) c n1/2
  Valiant 1979
• L(f) nO(1) LM(f) c n
  ?????-???? 1983
• LM(f) / L(f) nO(1) deg f 3
  Schnorr 1976
• LM(f) / L(f) 2n(1/2-o(1))
  ??????, ??????? 2010
• LM(f) / L(f) n1-o(1) deg f 2
  ??????, ??????? 2010

18
IV. ?????????? ? ???????????? ?????????

• iv.2 ??? ???? ?????? ?????????? ?????? ????????
• ???. ?????? ??????? ?????????? (k, l)-??????,
  ???? ??? ?? ???????? ????????? ??????? k Ч l,
  ????????? ?? ???? ??????
• ????? 2
• ????? M1 a1 , , ar ? M2 b1 , , br
  k-?????? ???????????? Emn ? (µi, j) l-??????
  ??????? ??????? r. ?????
• (i) M ( ai , bj )
  µi, j 1 ? Em2n
• (ii) M ai (2m 1) bj µi, j 1
  ? E nm2
• ((k 1)(l 1)1)-?????? ????????????
• ???????? L(fM) L( fa1 , , far , fb1 , , fbr
  ) L(µi, j) O(log m), ???
• M mon fM , L(µi, j) ????????? ?????????
  ??????????????

19
IV. ?????????? ? ???????????? ?????????

• ????????? (?? ????? 1 ? ?????????? K?llar,
  R?nyai, Szab?)
• ????? ???? ??????? no(1)-?????? ????????????
  ??????? ??????? n ? ???? n2-o(1)
• ????????? (?? ????? 2)
• ????? f ????????? ? ?????????????? 0 ? 1,
  ?????, ???
• M mon f . ????? (µi, j) r o(1) -??????
  ???????????? ??????? ? ????? k r o(1) ? ???? n
  log m r o(1), ???? deg f r o(1). ?????
• LM(f)O(r 2-o(1)) L(f) r
  1o(1)

20
IV. ?????????? ? ???????????? ?????????

• iv.3 ????????? (? ??????????? ????? ?????????? ?
  ???????????? ??????????)
• ????? m 2 ? n 1. ????? ?????????? ???????
  ????????? f ?? n ?????????? ??????? ?? ???? m 1
  ?? ?????? ??????????, ?????, ??? ??? mn ? 8
• LM(f) / L(f) m n (1/2 - o(1))
• iv.4 ?????? ?????????? ??????? 2
• ????? (µi, j) no(1)-?????? ???????????? ???????
  ??????? n ? ???? n2-o(1). ?????????
• f S µi, j x i y j
• 
  1 i lt j n
• ????? LM(f) / L(f) n1-o(1)

21
??????????????????????????????

• ?. ?. ??????, ?. ?. ???????
• ??? ??. ?.?. ??????????