Cap. 4

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Cap. 4 Equações básicas na forma integral para
volumes de controle
4.1 Equações para sistema
4.2 Relação entre as equações para sistema e a
formulação para VC
4.3 Conservação da massa para volume de controle
4.4 Conservação da Quantidade de movimento para
VC inercial
4.5 Conservação da Quantidade de movimento para
volume de controle sob aceleração retilínea
4.6 Conservação da Quantidade de movimento para
volume de controle sob aceleração arbitrária
4.7 Quantidade de movimento angular
4.8 Conservação da Energia
2
4.1 Equações para sistema
4.1.1 Conservação da massa (sem reações
químicas)
3
4.2 Relação entre as equações para sistema e a
formulação para volume de controle
4
Teorema de Transporte de Reynolds
5
4.3 Conservação da massa para volume de controle
6
Equação da Conservação da massa
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A2 50 cm2 V2 5 m/s
Exemplo 4.1 Calcule a velocidade média na seção
4 do misturador da figura
2
1
3
A1 25 cm2 V1 2 m/s
A3 50 cm2 V3 10 m/s
4
A4 25 cm2 V4 ?
8
Exemplo 4.2 Calcule a vazão em volume e a
velocidade média na seção da tubulação da figura,
sendo que o perfil de velocidades é parabólico,
umáx 1 m/s e R 1 m.
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? 62,4 lb/ft3
Exemplo 4.3 Esboçar graficamente a variação da
altura de líquido com o tempo no tanque da figura.
A3 ft2
1 lb 0,453 kg 1ft 0,3048 m
L ft
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Exemplo Considerando o conceito de
camada-limite, modelo de escoamento próximo a uma
placa plana onde o perfil da velocidade na
direção x é dado pela equação uf(y,d), determine
a vazão em massa através da superfície bc do
volume de controle mostrado na figura, sendo que
a largura da placa, W, é 0,6 m.
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(No Transcript)
12
4.4 Conservação da Quantidade de movimento para
volume de controle inercial
Exemplo típico Curva de 90o
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Conservação da Quantidade de movimento para
volume de controle inercial
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Exemplo 4.4 Calcular a força de reação que atua
sobre o anteparo devido ao jato de dágua com
vazão em massa de 1 kg/s e velocidade de 1 m/s.
Equação da Quant. de Mov.
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Sobre o fluido
Sobre o anteparo
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Exemplo 4.5 Calcular a força que atua sobre a
estrutura curva, que descarrega água na
atmosfera, para mantê-la fixa, considerando os
seguintes dados
p1 221 kPa (absoluta) pATM 101 kPa V2 16
m/s A1 0,01 m2 A2 0,0025 m2
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y
x
Determinação das forças de pressão nas direções x
e y
18
V.C.
y
x
19
Exemplo 4.6 Um reservatório metálico com altura
de 1 m e área de 2 m2 pesa 2.000 N. Este é
colocado sobre uma balança e água escoa para o
reservatório através de uma entrada no topo, e
para fora através de duas aberturas iguais nas
laterais, conforme esquema. Sob condições de
escoamento permanente, a altura da água no tanque
é 0,9 m, determine a leitura da balança.
Dados V1 1,6 m/s A1 A2 A3 0,1 m2
Como a área total de escoamento na saída é o
dobro da entrada, pela conservação da massa, a
velocidade nas seções de saída serão a metade da
velocidade na entrada V2 V3 0,8 m/s
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Como o fluxo da quantidade de movimento da saída
pelas duas laterais do reservatório se anulam
(direção x), a equação será aplicada somente para
a entrada (direção y)
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4.4.1 Análise do Volume de Controle diferencial
22
Equação de Bernoulli
23
Simplificações
24
Equação de Bernoulli
para escoamento sem perdas por atrito
Unidade gt N/m2
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Exemplo Descarga de um reservatório através de
uma tubulação para atmosfera, calcule a
velocidade de saída.
H30 m
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Quais são as transformações de energia que
ocorrem em um escoamento deste tipo ?
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4.4.2 Volume de Controle movendo em velocidade
constante
Um volume de controle, fixo em relação a um
sistema de referência xyz, movendo-se a
velocidade constante , Vrf, em relação a um
sistema de referência fixo (e inercial) XYZ,
também é inercial, visto que não possui
aceleração em relação a XYZ.
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Exemplo) O esquema mostra uma aleta de ângulo
de curvatura a igual a 60o, que se move em
velocidade constante U igual a 10 m/s,
recebendo um jato dágua que sai do bocal
estacionário a uma velocidade V igual a 30 m/s.
Sabendo que o bocal tem uma área de saída de
0,003 m2, calcule a força externa que atua na
aleta.
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Equação da Cons. da Quant. de Movimento, em
regime permanente
Desconsiderando as forças de campo (massa da água)
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(No Transcript)
31
4.5 Conservação da Quantidade de movimento para
volume de controle sob aceleração retilínea
32
Quando o movimento é somente de translação
Equação da Conservação da Quantidade de movimento
para volume de controle sob aceleração retilínea
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Exemplo) Uma aleta de ângulo de curvatura a
igual a 60o, é fixada a um carrinho. O carrinho e
aleta, de massa M75 kg, rolam sobre uma pista
nivelada. O atrito e a resistência do ar podem
sere desprezados. A aleta recebe um jato dágua,
que parte de um bocal estacionário
horizontalmente, com V35 m/s. A área de saída
do bocal é de 0,003 m2. Determine a velocidade,
U, do carrinho como função do tempo.
Não há forças resistentes ao movimento (dir. x)
atuando no V.C.
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Pode-se desprezar a variação da quantidade de
movimento no V.C. se considerarmos que a massa de
água é bem menor que a massa do carrinho
35
(No Transcript)
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4.6 Conservação da Quantidade de movimento para
volume de controle sob aceleração arbitrária
37
4.7 Quantidade de movimento angular
Lei da conservação da quantidade de movimento
angular
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4.8 Conservação da Energia
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Equação da energia para Vez
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4.8.1 Taxa de trabalho realizado em um Volume
de Controle
2 Trabalho realizado pelas tensões normais
(pressão) na superfície de controle
O sinal aparece devido a convenção de sinais
para sist.
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3 Trabalho realizado pelas tensões de
cisalhamento na superfície de controle
42
Equação da energia para VCs
43
Equação da energia para VCs
Em regime permanente
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4.7) Determine a taxa de transferência de calor
de um compressor cuja potência mecânica é de 600
HP e vazão em massa de 20 lbm/s sendo que as
condições de entrada e saída são dadas na figura.
45
(No Transcript)
46
(No Transcript)
47
Equação da energia para VC em regime permanente
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Exercício 4.8) A vazão da bomba instalada no
caminhão mostrado na figura é 42,5 l/s e o jato
d água lançado pelo canhão deve alcançar o plano
distante 18,3 m do hidrante. A pressão da água
na seção de alimentação da mangueira, que
apresenta diâmetro igual a 102 mm, é 69 kPa.
Determine a potência transferida à água pela
bomba.
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Considerando escoamento uniforme, a seção de
entrada na seção após o hidrante (onde z0 ) e a
seção de saída onde a velocidade é praticamente
zero (ponto mais alto da trajetória do jato),
tem-se
50
p1 69.000 N/m2 e p2 0 (atmosfera)
Determinação de V1
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Exercício 4.9) A vazão de óleo no tubo inclinado
mostrado na figura é 142 l/s. Sabendo que a
densidade do óleo é igual a 0,88 e que o
manômetro de mercúrio indica uma diferença entre
as alturas das superfícies livres do mercúrio
igual a 914 mm, determine a potência que a
bomba transfere ao óleo.
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Q 142 l/s d0,88
2
1
53
Q 142 l/s d0,88
2
1